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圆锥曲线的综合问题-分题型整理

时间:2018-07-24

圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线 C 的位置关系 将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程, 消去 y 或者消去 x, 得到一个关于 x (或 y) 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 (1)交点个数 ①当 a=0 或 a≠0,⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a≠0,⊿>0 时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式:

| AB |? 1 ? k 2 ? | x2 ? x1 | ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2
2.对称问题: 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件:①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直(得出斜率) ②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点(⊿>0)③曲线上两点的中点在对称直线上 3.求动点轨迹方程 ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法 ②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化,一般用代入转移法 ★重难点突破★ 重点:掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式;掌握弦中点轨迹的求法; 理解和掌 握求曲线方程的方法与步骤,能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点:轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点:综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求 ②弦中点问题用“点差法”设而不求 2.体会数学思想方法(以方程思想、转化思想、数形结合思想为主)在解题中运用 问题 1:已知点 F1 为椭圆 小值为 点拨:设 F2 为椭圆的右焦点,利用定义将 PF1 转化为 PF2 ,在结合图形,用平面几何的知识解决。

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,点 A ?1,1? ,动点 P 在椭圆上,则 PA ? PF1 的最 9 5

PA ? PF1 ? 6 ? PA ? PF2 ,当 P, A, F2 共线时最小,最小值为 6 ? 2
★热点考点题型探析★ 考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型 1:交点个数问题 [例 1 ] 设抛物线 y 2 ? 8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l
1

的斜率的取值范围是( A. ? ? . ? 2 2

) C.[-1,1] D.[-4,4]

? 1 1? ? ?

B.[-2,2]

【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线 y 2 ? 8x 的准线 x ? ?2 与 x 轴的交点为 Q (-2 , 0),

于是,可设过点 Q (-2 , 0)的直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? y 2 ? 8 x, ? k 2 x 2 ? (4k 2 ? 8) x ? 4k 2 ? 0. 联立 ? ? y ? k ( x ? 2),
其判别式为 ? ? (4k 2 ? 8)2 ?16k 4 ? ?64k 2 ? 64 ? 0 ,可解得 ?1 ? k ? 1 ,应选 C. 【名师指引】 (1)解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法:一是判别式法;二是几何法 (2) 直线与圆锥曲线有唯一交点, 不等价于直线与圆锥曲线相切, 还有一种情况是平行于对称轴 (抛 物线)或平行于渐近线(双曲线) (3)联立方程组、消元后得到一元二次方程,不但要对 ? 进行讨论,还要对二次项系数是否为 0 进 行讨论 【新题导练】
2 2 1 已知圆 x ? y ? mx ?

1 1 ? 0 与抛物线 y ? x 2 的准线相切,则 m 的值等于( 4 4
B. 3 C. 2 D. ? 3



A. ? 2

2.已知将圆 x 2 ? y 2 ? 8 上的每一点的纵坐标压缩到原来的

1 ,对应的横坐标不变,得到曲线 C;设 2

M ? 2,1? ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点.
(1)求曲线 C 的方程;(2)求 m 的取值范围.

3. 求过点 ? 0,1? 的直线,使它与抛物线 y 2 ? 2 x 仅有一个交点.

2

题型 2:与弦中点有关的问题 [例 2]已知点 A、B 的坐标分别是 ? ?1,0? , ?1,0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积 为-2. (Ⅰ)求动点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若过点 N ?

?1 ? ,1? 的直线 l 交动点 M 的轨迹于 C、 D 两点, 且 N 为线段 CD 的中点, 求直线 l 的方程. ?2 ?

【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组,利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设 M ( x, y) , 因为 k AM ? kBM ? ?2 ,所以

y y ? ? ?2 ? x ? ?1? 化简得: 2x2 ? y2 ? 2 ? x ? ?1? x ?1 x ?1

(Ⅱ) 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) 当直线 l ⊥x 轴时,直线 l 的方程为 x ? 设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? ) 将 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) 代入 2x ? y ? 2 ? x ? ?1? 得
2 2

1 1 6 1 6 ,则 C ( , ), D( , ? ) ,其中点不是 N,不合题意 2 2 2 2 2

1 2

2 x12 ? y12 ? 2 …………(1)

2 2 2 x2 ? y2 ? 2 …………(2)

1 2? y ? y 2( x ? x ) (1)-(2)整理得: k ? 1 2 1 2 2 ??1 ?? ?? x1 ? x2 ( y1 ? y2 ) 2 ?1 2
直线 l 的方程为 y ? 1 ? ?

1 1 (x ? ) 2 2

即所求直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0

解法二: 当直线 l ⊥x 轴时,直线 l 的方程为 x ? 其中点不是 N,不合题意.

1 1 6 1 6 ,则 C ( , ), D( , ? ), 2 2 2 2 2

故设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? ) ,将其代入 2x ? y ? 2 ? x ? ?1? 化简得
2 2

1 2

k k (2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? ) x ? (1 ? ) 2 ? 2 ? 0 2 2

k 2 k 2 ? 2 2 ?4k (1 ? 2 ) ? 4(2 ? k )[(1 ? 2 ) ? 2] ? 0 ? k ? 2k (1 ? ) ? 2 x1 ? x2 ? ? (2) 由韦达定理得 ? 2 2 ? k ? k ? (1 ? ) 2 ? 2 ? 2 x1 ? x2 ? (3) ? 2 ? k2 ?
3

(1)

,

又由已知 N 为线段 CD 的中点,得 x1 ? x2

2
将 k ? ?1 代入(1)式中可知满足条件. 此时直线 l 的方程为 y ? 1 ? ?

k 1 k (1 ? ) 1 ? ,解得 k ? ? , 2 ?? 2 2 2 ? k2

1 1 ( x ? ) ,即所求直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 2 2

【名师指引】通过将 C、D 的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减.这里,代点 相减后,适当变形,出现弦 PQ 的斜率和中点坐标,是实现设而不求(即点差法)的关键.两种解法 都要用到“设而不求” ,它对简化运算的作用明显,用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】 1. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的弦被点 P ? 2,1? 所平分,求此弦所在直线的方程 16 4

2. 已知直线 y=-x+1 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L: a 2 b2

x-2y=0 上,求此椭圆的离心率

题型 3:与弦长有关的问题 [例 3]已知直线 y ? 2 x ? k 被抛物线 x2 ? 4 y 截得的弦长 AB 为 20 , O 为坐标原点. (1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时,△ ABC 面积最大? 【解题思路】用“韦达定理”求弦长;考虑△ ABC 面积的最大值取得的条件 [解析](1)将 y ? 2 x ? k 代入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? 8 x ? 4k ? 0 , 由△ ? 64 ? 16 k ? 0 可知 k ? ?4 ,
4

另一方面,弦长 AB ? 5 ? 64 ? 16k ? 20 ,解得 k ? 1 ; (2)当 k ? 1 时,直线为 y ? 2 x ? 1 ,要使得内接△ABC 面积最大,

? ? 则只须使得 y C

1 ? 2 xC ? 2 , 4

即 xC ? 4 ,即 C 位于(4,4)点处. 【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围 【新题导练】

x2 y 2 1. 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于两点 A、 B . a b
(1)当椭圆的半焦距 c ? 1 ,且 a 2 , b2 , c 2 成等差数列时,求椭圆的方程; (2)在(1)的条件下,求弦 AB 的长度 | AB | ;
O B y A

x

2.已知点 A ? 3, 0 和 B

?

?

?

3, 0 ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2,点 C 的轨迹与直

?

线 y ? x ? 2 交于 D、E 两点,求线段 DE 的长.

考点 2:对称问题 题型:对称的几何性质及对称问题的求法(以点的对称为主线,轨迹法为基本方法) [例 4 ] 若直线 l 过圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 的圆心 M 交椭圆 C : 关于点 M 对称,求直线 L 的方程. [解析] M (?2,1) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2

x2 y 2 =1 于 A、B 两点,若 A、B ? 9 4

5



2 2 2 2 2 2 y ? y2 x1 y x y x ? x2 2 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减得: 1 ? 1 ?0, 9 4 9 4 9 4

2

化简得 4( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 9( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 把 x1 ? x2 ? ?4, y1 ? y2 ? 2 代入得 k AB ?

y1 ? y 2 x1 ? x2

?

8 9

故所求的直线方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 所以直线 l 的方程为 :8x-9y+25=0. 【名师指引】要抓住对称包含的三个条件: (1)中点在对称轴上 (2)两个对称点的连线与轴垂直 (3)两点连线与曲线有两个交点( ? ? 0 ),通过该不等式求范围 【新题导练】 1. 已知抛物线 y 2 ? 2 px 上有一内接正△AOB,O 为坐标原点.求证:点 A、B 关于 x 轴对称;

1 2

2 在抛物线 y 2 ? 4 x 上恒有两点关于直线 y ? kx ? 3 对称,求 k 的取值范围.

2. 若抛物线 y ? ax 2 ? 1 ,总存在不同的两点 A、B 关于直线 y+x=0 对称,求实数 a 的范围.

考点 3 圆锥曲线中的范围、最值问题 题型:求某些变量的范围或最值
6

[例 5]已知椭圆 C1 : 率 e 满足

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于两点 A、 B .当椭圆的离心 a 2 b2

3 2 ,且 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围. ?e? 3 2

【解题思路】通过“韦达定理”沟通 a 与 e 的关系

?b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 [解析]由 ? ,得 (a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a2 (1 ? b2 ) ? 0 ? x ? y ?1 ? 0
由 ? 2a2b2 (a2 ? b2 ? 1) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 1 此时 x1 ? x2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x1 x2 ? 2 a 2 ? b2 a ? b2

由 OA ? OB ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0

a2 即 a ? b ? 2a b ? 0 ,故 b ? 2a 2 ? 1
2 2 2 2

2

c2 a 2 ? b2 由e ? 2 ? ,得 b2 ? a 2 ? a 2e2 2 a a
2

∴ 2a ? 1 ?
2

1 1 ? e2



3 2 5 ? a2 ? 3 得 ,∴ 5 ? 2a ? 6 ?e? 4 2 3 2

所以椭圆长轴长的取值范围为 [ 5, 6] 【名师指引】求范围和最值的方法: 几何方法:充分利用图形的几何特征及意义,考虑几何性质解决问题 代数方法:建立目标函数,再求目标函数的最值. 【新题导练】 1. 已知 P 是椭圆 C:

1 x2 y2 ? ? 1 的动点,点 A( ,0) 关于原点 O 的对称点是 B,若|PB|的最小值为 2 4 2

3 ,求点 P 的横坐标的取值范围。 2

7

2. 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y 2 ? x 上移动,记线段 AB 的中点为 M,求点 M 到 y 轴 的最短距离,并求此时点 M 的坐标.

3 直线 m:y=kx+1 和双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左支交于 A,B 两点,直线 l 过点 P(-2,0)和线段 AB 的 中点 M,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

4 已知椭圆

x2 y 2 ,B(2,2)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点, ? ? 1 ,A(4,0) 25 9
5 | PA | ? | PB | 的最小值; (2)求|PA|+|PB|的最小值和最大值. 4

求: (1)求

5.定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。

2

8

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一 种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为 它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之 和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此 解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。 考点 4 定点,定值的问题 题型:论证曲线过定点及图形(点)在变化过程中存在不变量 [例 6] 已知 P、Q 是椭圆 C:

x2 y2 6 ? ? 1 上的两个动点, M (1, ) 是椭圆上一定点, F 是其左焦 4 2 2

点,且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; 【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系 证明:设 P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ),由椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1知 4 2

| PF |? ( x1 ? 2 ) 2 ? y12 ? ( x1 ? 2 ) 2 ? 2 ?
同理 | OF |? 2 ?

x12 2 ? 2? x1 . 2 2

2 2 x2 , | MF |? 2 ? . 2 2 2 2 ) ? 4? ( x1 ? x2 ),? x1 ? x2 ? 2. 2 2

? 2 | MF |?| PF | ? | QF |,? 2(2 ?

2 2 ? ? x1 ? 2 y1 ? 4, 2 2 得( x12 ? x 2 ) ? 2( y12 ? y 2 ) ? 0, ①当 x1 ? x 2时,由? 2 2 ? ? x 2 ? 2 y 2 ? 4,

从而有

y1 ? y 2 1 x ? x2 ?? ? 1 . x1 ? x2 2 y1 ? y 2
y1 ? y2 1 ?? , x1 ? x2 2n

设线段 PQ 的中点为 N (1, n),由k PQ ?

得线段 PQ 的中垂线方程为 y ? n ? 2n( x ? 1).

1 ? (2 x ? 1)n ? y ? 0, 该直线恒过一定点 A( ,0). 2
②当 x1 ? x2时, P(1,?

6 6 6 6 ), Q(1, ),或Q(1,? ), P(1, ). 2 2 2 2
1 2 1 2

线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 A( ,0),? 线段 PQ 的中垂线过点 A( ,0). 【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法: (1)从特殊入手,求出定点和定值,再证明这个点(值)与变量无关;

9

(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量,从而得到定点(定值) . 【新题导练】
2 2 2 1.已知抛物线 C 的方程为 y ? x ? 2m x ? 2m ? 1 ,则抛物线 C 恒过定点________________

?

?

2 试证明双曲线

y2 x2 - =1(a>0,b>0)上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数. a2 b2

3. 设抛物线 y2=2px (p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,C 在抛物线上,且 BC//x 轴。证明直线 AC 经过原点 O。

考点 5 曲线与方程 题型:用几种基本方法求方程 [例 1]已知抛物线 C:y 2 ? 4 x , 若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线 C 的焦点 F 及准线 l 分别重合, 试求椭圆短轴端点 B 与焦点 F 连线中点 P 的轨迹方程; 【解题思路】探求动点满足的几何关系,在转化为方程 [解析]由抛物线 y 2 ? 4 x ,得焦点 F ?1,0 ? ,准线 l : x ? ?1 (1)设 P ? x, y ? ,则 B ? 2x ?1, 2 y ? , 椭圆中心 O ' ,则 FO ' ∶ BF = e , 又设点 B 到 l 的距离为 d , BF ∶ d = e , ∴ FO ' ∶ BF = BF ∶ d ,即 ? 2 x ? 2 ? ? ? 2 y ? ? 2 x ? 2 x ? 2 ? ,
2 2

化简得 P 点轨迹方程为 y 2 ? x ? 1( x ? 1)

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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[名师指引] 求曲线方程的方法主要有:直接法、定义法、代入法、参数法,本题用到直接法,但题 目条件需要转化 【新题导练】

10

1.点 P 为双曲线 _____________.

x2 ? y 2 ? 1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 中点,则点 M 的轨迹方程是 4 y2 ? 1 的右焦点 F 作直线 l 与双曲线 C 交于 P、Q 两点,OM ? OP ? OQ ,求点 3

2. 过双曲线 C: x 2 ? M 的轨迹方程.

3 已知动点 P 与双曲线 值为 ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值,且 2 3

cos ?F1 PF2 的最小

1 .求动点 P 的轨迹方程; 9

4.已知抛物线 C 的对称轴与 y 轴平行,顶点到原点的距离为 5.若将抛物线 C 向上平移 3 个单位,则 在 x 轴上截得的线段长为原抛物线 C 在 x 轴上截得的线段长的一半;若将抛物线 C 向左平移 1 个单 位,则所得抛物线过原点,求抛物线 C 的方程.

11


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