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导与练普通班2017届高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第9节函数模型及其应用课件理

时间:2017-03-21


第9节 函数模型及其应用

最新考纲 1.了解指数函数、对数函数、幂函 数的增长特征,结合具体实例体会 直线上升、指数增长、对数增长等 不同函数类型增长的含义.

2.了解函数模型(如指数函数、 对数函数、幂函数、分段函数 等在社会生活中普遍使用的函 数模型)的广泛应用.

知识链条完善
考点专项突破 解题规范夯实

知识链条完善
【教材导读】

把散落的知识连起来

1.函数模型应用常见的有哪三种情形? 提示:(1)利用给定的函数模型解决实际问题;

(2)建立确定性函数模型解决实际问题;
(3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.应用函数模型解决实际问题的一般步骤有哪些? 提示:(1)审题;(2)建模;(3)求模;(4)还原.

知识梳理
1.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 图象的 变化 y=logax(a>1) y=xn(n>0)

单调 递增 函数
越来越 快 . 随x值增大,图象 与y轴接近平行

单调 递增函数
越来越 慢 . 随x值增大,图 象与x轴接近 平行

单调递增函数
相对平稳 随n值变化而 不同

2.几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数模型 “对勾”函数模型 函数解析式 f(x)= ax+b (a,b 为常数,a≠0) f(x)=
k (k≠0) x

f(x)= ax2+bx+c (a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数, a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c (a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b (a,b,n 为常数,a≠0,n≠0) y=x+
a (a>0) x

3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下:

【重要结论】 1.在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都 是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上. 2.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.

3.总会存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax.

夯基自测
1.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( (A)v=
1 ·ex (B)v=100ln x 100
A

)

(C)v=x100

(D)v=100×2x 1 x x 解析:只有 v= ·e 和 v=100×2 是指数函数, 100

并且 e>2,
1 所以 v= ·ex 的增大速度最快, 100

故选 A.

2.某种细胞,每15分钟分裂一次(1→2)这种细胞由1个分裂成4 096个 需经过( C (A)12小时 ) (B)4小时

(C)3小时

(D)2小时

解析:212=4 096,分裂了12次.共用时12×15=180分钟=3小时.

3.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动 物第2年有100只,到第8年它们发展到( A ) (A)200只 (B)300只 (C)400只 (D)500只

解析:由已知得100=alog3(2+1),得a=100, 则当x=8时,y=100log3(8+1)=200(只).

4.某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元,并且每生产一单位产品, 成本增加 10 万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数,K(Q)=40Q则总利润 L(Q)的最大值是 万元.
1 2 Q )-10Q-2 000= 20

1 2 Q, 20

解析:由已知得 L(Q)=K(Q)-10Q-2 000=(40Q1 (Q-300)2+2 500, 20

所以当 Q=300 时,L(Q)max=2 500(万元).
答案:2 500

5.某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期是x,本利和
(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数关系式是 解析:已知本金为a元,利率为r,则 .

1期后本利和为y=a+ar=a(1+r),
2期后本利和为y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2, 3期后本利和为y=a(1+r)3,

?
x期后本利和为y=a(1+r)x,x∈N. 答案:y=a(1+r)x,x∈N

考点专项突破

在讲练中理解知识

考点一 一次函数、二次函数模型 【例1】 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线 的一段.已知跳水板AB长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m.为安全和 空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达 到距水面最大高度4 m,规定:以CD为横轴,BC为纵轴建立直角坐标系.

(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;
解:由题意,最高点为(2+h,4,)(h≥1). 设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4.

(1)当h=1时,最高点为(3,4),
方程为y=a(x-3)2+4. 将点A(2,3)代入(*)式得a=-1. 即所求抛物线的方程为y=-x2+6x-5. (*)

(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果,求此 时h的取值范围.

解析:(2)将点 A(2,3)代入 y=a[x-(2+h)] +4,得 ah =-1. 由题意,方程 a[x-(2+h)]2+4=0 在区间[5,6]内有一解. 令 f(x)=a[x-(2+h)] +4=2

2

2

1 2 [x-(2+h)] +4, 2 h

1 2 ? f 5 ? ? 3 ? h ? ? ? ? 4 ? 0, 2 ? ? 4 ? h 则? 解得 1≤h≤ . 3 ? f ? 6 ? ? ? 1 ? 4 ? h ?2 ? 4 ? 0. ? h2 ?
4 答:达到比较好的训练效果时的 h 的取值范围是[1, ]. 3

反思归纳

解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的函数,这

个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来,同时注意实际问题的函数

定义域(指定的、根据实际意义的),一般不是由求出的函数解析式确定的.

考点二

指数函数、对数函数与幂函数模型

【例2】 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用, 据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满 足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);

?kt ,0 ? t ? 1, ? 解:(1)由图象,设 y= ?? 1 ?t ? a ?? ? , t ? 1, ?? 2 ?
1 1-a 当 t=1 时,由 y=4 得 k=4,由( ) =4 得 a=3. 2

?4t ,0 ? t ? 1, ? 所以 y= ?? 1 ?t ? 3 ?? ? , t ? 1. ?? 2 ?

(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有 效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.

?t ? 1, ?0 ? t ? 1, ? 解析:(2)由 y≥0.25 得 ? 或 ?? 1 ?t ? 3 ?4t ? 0.25 ?? ? ? 0.25, ?? 2 ?

解得

1 ≤t≤5. 16

1 79 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5- = (小时). 16 16

反思归纳 (1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的

实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在三类模型中,指数函
数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、 银行利率有关的问题都属于指数函数模型. (2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时,一般需要先通 过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必 要时可借助导数.

【即时训练】 一片森林原来的面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍 伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护 生态环境,森林面积至少要保留原面积的
2 . 2
1 ,已知到今年为止,森林剩余面 4

积为原来的

(1)求每年砍伐面积的百分比;

解:(1)设每年砍伐的百分比为 x(0<x<1),
1 1 ?1? 10 a,即(1-x) = .解得 x=1- ? ? . 2 2 ?2?
1 10

则 a(1-x) =

10

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

解:(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 则 a(1-x)m=
m 10

2 , 2

2 a, 2
1 2

?1? ?1? m 1 即 ? ? = ? ? , = ,解得 m=5. ? 2 ? 10 2 ?2?

故到今年为止,已砍伐了 5 年.

(3)今后最多还能砍伐多少年?

解:(3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 则 n 年后剩余面积为
1 2 n 令 a(1-x) ≥ a, 4 2

2 a(1-x)n. 2

即(1-x) ≥

n

2 ?1? ?1? ,? ? ≥? ? , 4 ?2? ?2?

n 10

3 2

n 3 ≤ ,解得 n≤15. 10 2

故今后最多还能砍伐 15 年.

考点三

分段函数模型 【例3】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在 一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/ 千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流 速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时,研究表 明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
解:(1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,
1 ? a ? ? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 再由已知得 ? 解得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?
?60,0 ? x ? 20, ? 故函数 v(x)的表达式为 v(x)= ? 1 ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200. ? ?3

(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,

单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)
?60,0 ? x ? 20, ? 解:(2)依题意及(1)可得 f(x)= ? 1 x ? 200 ? x ? , 20 ? x ? 200. ? ?3

当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200;
1 1 ? x ? ? 200 ? x ? ? 10000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? , ? = 2 3 3 3 ? ?
2

当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立.所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得 最大值
10000 . 3 10000 ≈3 333, 3

综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时.

反思归纳

本题的难点是函数模型是一个分段函数,由于月处理

量在不同范围内,处理的成本对应的函数解析式也不同,故此类最值 的求解必须先求出每个区间内的最值,然后将这些区间内的最值进 行比较确定最值.

【即时训练】 由于浓硫酸泄漏对河流形成了污染,现决定向河中投入固体碱.1 个单位的固体碱在水中逐步溶化,水中的碱浓度 y 与时间 x 的关系,可近似地表
? 16 ? x ? 8,0 ? x ? 2, ?? 示为 y= ? x ? 2 只有当河流中碱的浓度不低于 1 时,才能对污 ? ? 4 ? x, 2 ? x ? 4.

染产生有效的抑制作用. (1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间有多长?
? 16 ? x ? 8 ? 1, ?? 解:(1) ? x ? 2 ? ? ?0 ? x ? 2

? 5 ? 17 5 ? 17 5 ? 17 ?x? ? ? ≤x≤2, ? 2 2 2 ?0 ? x ? 2 ?

?4 ? x ? 1, 5 ? 17 ? 2<x ≤ 3. 综上 , 得 ≤x≤3. ? 2 ? x ? 4 2 ?
即若只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间为 35 ? 17 1 ? 17 = . 2 2

(2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放1个单位的固体碱,此后,
每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和 , 求河中时碱浓度可能取得的最大值. 16 解:(2)当 0≤x≤2 时,y=-x+8 单调递增, x?2

当 2<x≤4 时,y=4-x 单调递减. 因为当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放 1 个单位的固体碱, 所以 2<x≤4 时, y=4-x+[-

16 16 16 -(x-2)+8]=14-(2x+ )≤14-2 2 x ? =14-8 2 . x x ? x ? 2? ? 2
16 , x

故当且仅当 2x=

即 x=2 2 时,y 有最大值 14-8 2 .

备选例题
【例 1】 已知某物体的温度θ (单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规律 是θ =m·2 +2 (t≥0,并且 m>0). (1)如果 m=2,求经过多长时间,物体的温度为 5 摄氏度;
t 1-t

? t 1 解:(1)若 m=2,则θ=2·2 +2 =2 ? 2 ? t 2 ?
t 1-t

? ?, ?

当θ=5 时,2 +

t

1 5 = , t 2 2 1 5 = , x 2 1 (舍去),此时 t=1. 2

令 2t=x(x≥1),则 x+
2

即 2x -5x+2=0,解得 x=2 或 x=

所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度.

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.

解:(2)物体的温度总不低于 2 摄氏度, 即θ≥2 恒成立, 亦 m·2t+ 令
1 ? 2 ?1 ≥ 2 恒成立 , 亦即 m ≥ 2 恒成立. ? ? t t 2t ? 2 ?2 2 ?

1 2 =y, 则 0<y ≤ 1, 所以 m ≥ 2(y-y )恒成立, t 2 1 1 ,所以 m≥ . 4 2

由于 y-y2≤

?1 ? 因此,当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范围是 ? , ?? ? . ?2 ?

【例 2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要 建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造 成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系 C(x)=
k (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗 3x ? 5

费用为 8 万元,设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式;
解:(1)由已知条件得 C(0)=8, 则 k=40, 因此 f(x)=6x+20C(x)=6x+
800 (0≤x≤10). 3x ? 5

(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.

解:(2)f(x)=6x+10+

800 -10≥ 3x ? 5

2

? 6 x ? 10? ?

800 -10=70(万元), 3x ? 5
800 , 3x ? 5

当且仅当 6x+10=

即 x=5 时等号成立. 所以当隔热层厚度为 5 cm 时,总费用 f(x)达到最小,最小值为 70 万元.

解题规范夯实

把典型问题的解决程序化

利用函数模型解决实际问题

【典例】(2016 合肥模拟)已知美国苹果公司生产某款 iPhone 手机的年 固定成本为 40 万美元,每生产 1 万只还需另投入 16 万美元,设苹果公司 一年内共生产该款 iPhone 手机 x 万只并全部销售完,每万只的销售收入
?400 ? 6 x,0 ? x ? 40, ? 为 R(x)万美元,且 R(x)= ? 7400 40000 ? , x ? 40. ? 2 x ? x

(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式; (2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款 iPhone 手机的生产中所获 得的利润最大?并求出最大利润.

审题点拨
关键点 利润 求最大利润 所获信息 利润=收入-成本 求函数最大值

解题突破:转化为求分段函数的最大值

满分展示: (1)当 0<x≤40 时, W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40,…………2 分 当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40)=40000 -16x+7 360. x

??6 x 2 ? 384 x ? 40,0 ? x ? 40, ? 所以 W= ? 40000 …………4 分 ? 16 x ? 7360, x ? 40. ?? x ?

(2)①当 0<x≤40 时,W=-6(x-32)2+6 104, 所以 Wmax=W(32)=6 104;………………………………6 分 ②当 x>40 时,W=40000 -16x+7 360, x

由于

40000 40000 +16x≥2 ?16 x =1 600,…………10 分 x x
40000 =16x, x

当且仅当

即 x=50∈(40,+≦)时,取等号,W≤-1 600+7 360=5 760,所以 W 取最大 值为 5 760. 综合①②知,当 x=32 时,W 取最大值为 6 104 万美元.…12 分

答题模板:解函数应用题的一般步骤: 第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系. 第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数 学模型. 第三步:求模——求解数学模型,得到数学结论.

第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.
第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学 结论对实际问题有意义.


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