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03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(一)

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03-04 年高三数学(理)全国统一标准测试(一)

命题范围:第一章 集合与简易逻辑,第二章 函数,第三章 数列,第四章 数

三角函

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分.共 150 分,考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案.不能答在试题卷上. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

2 2 1.函数 f(x)=sin 3 x+cos( 3 x+1)的图象相邻的两条对称轴间的距离是 3? B. 2 2? D. 3

A.3π

4? C. 3

2.命题 p:如果 x2+2x+1-a2<0,那么-1+a<x<-1-a. 命题 q:a<1.那么,q 是 p 的( )条件. A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要

1 3.要得到函数 y=3f(2x+ 4 )的图象,只须将函数 y=3f(2x)的图象 1 A.向左平移 4 个单位 1 C.向左平移 8 个单位 1 B.向右平移 8 个单位 1 D.向左平移 2 个单位

4.集合{1,2,3}的子集的个数为 A.7 B.9 C.8 D.5 2 5.数列{an}中,an≠0,前 n 项和 Sn=pn +qn(p,q 为非零实数) ,若 m>1 且有以下两式成立: 2 am-1-am +am+1=0,a1+a2+…+a2m-1=38.则 m 的值是

A.38 B.20 C.19 D.10 6.设α ,β 是第二象限的角,且 sinα <sinβ ,则下列不等式成立的是 A.tanα <tanβ B.cotα >cotβ C.cosα <cosβ D.secα <secβ 7.关于 x 的函数 y=log 2 (a2-ax+2a)在[1,+∞ ) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞,0) B.(-1,0) C.(0,2 ] D.(-∞,-1)
1

8.若 f(x)是偶函数,且当 x∈[0,+∞ ) 时,f(x)=x-1,则不等式 f(x-1)>1 的解集是 A.{x|-1<x<3} C.{x|x>2} 9.今有一组实验数据如下: T v 1.99 1.5 3.0 4.04 B.{x|x<-1,或 x>3} D.{x|x>3} 4.0 7.5 5.1 12 6.12 18.01

现准备用下列函数中的一个近似的表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是
1

A.v=log2t

B.v=log 2 t

t 2 ?1 C.v= 2

D.v=2t-2

10.已知函数 f(x)=x2,集合 A={x|f(x+1)=ax,x∈R},A≠ ? 且 A∪R+=R+,则实数 a 的取值范 围是 A.(0,+∞) C.[4,+∞ ) 为 B.(2,+∞) D.(-∞,0)∪[4,+∞)

11.等比数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4=10,a5+a6+a7+a8=-5,则数列{an}的前 16 项和 S16

A.-50

25 B. 4 25 D.- 4

125 C. 4

12.下列判断错误的是 A.命题“若 q 则 p”与“若 p 则 q”是互为逆否命题 B.“am2<bm2”是“a<b”的充分必要条件 C.“矩形的两条对角线相等”的否命题为假 D.“命题 ? {1,2}或 4 ? {2,3}”为真

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(十月号)

全国统一标准测试
数 学(理工农医类)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.

?
13.已知α 为第二象限角,且 cos 2

??

3 ? 5 ,则 cot 2 的值是__________.

14.若 y=loga(ax2-4ax+3)的值域为全体实数集 R,则 a 的取值范围为__________.

? 2?
15.设 f(x)是定义域为 R 最小正周期为π 的周期函数, 而且 f(x)在 [6 试写出 f(x)的一个解析式:__________. 16.给出以下结论:

,

3 ]上是增函数,

2 2 n-1 ①通项公式为 an=a1( 3 ) 的数列一定是以 a1 为首项, 3 为公比的等比数列; 3 ②存在角α 使得 tanα +cotα =- 2 成立; 1 ③函数 y= x 在定义域上是单调递减的;

? 3? ④若α ,β ∈( 2 ,π ),且 tanα <cotβ ,则α +β < 2 ;
⑤函数 y=log 2 (4-x2)的值域是[-2,+∞). 其中可能成立的结论的序号是__________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 12 分)
1

? 设 sinx+ 3 cosx+a=0 在[0, 2 ]内有且只有两个 x 的值 x1 和 x2 使等式成立.
(1)求常数 a 的取值范围; (2)求 x1+x2 的值. 18.(本小题满分 12 分)

x ?1 已知命题 p:{x||1- 3 |≤2,x∈R},和命题 q:{x|x2-2x+1-m2>0,m<0,x∈R},若非 p 是 q

的充分非必要条件,求实数 m 的取值范围. 19.(本小题满分 12 分)

an n 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2;设 bn= 3 ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:Tn<1. 20.(本小题满分 12 分) 我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的 . 某市用水收费的方法是:水费=基本费+超额费+损耗费. 若每户用量不超过最低限量 a(m3)时, 只付基本费 8 元和每户每月的定额损耗费 c 元; 若 3 3 用水量超过 a(m )时,除了付同上的基本费和损耗费外,超过部分每 1 m 付 b 元的超额费.已 知每户每月的定额损耗费不超过 5 元. 该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示: 月 1 2 3 份 用水量(m3) 9 15 22 水费(元) 9 19 33

(1)请根据上表中的数据,求 a,b,c 的值; (2)写出某户在一个月中的水费 y 元与在这个月中的用水量 x(m3)的函数关系式. 21.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}中,a1=14,a2=2,且满足 an+2-2an+1+an=0(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求 Sn;

1 m (3)设 bn= n(18 ? a n ) ,Tn=b1+b2+…+bn.是否存在最大整数 m,使得任意 n∈N*,均有 Tn> 32 .
22.(本小题满分 14 分) 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有

f ( a ) ? f (b ) a?b >0.
(1)判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并证明你的结论;

1 1 (2)解不等式:f(x+ 2 )<f( x ? 1 );
(3)若 f(x)≤m2-2pm+1 对所有 x∈[-1,1],p∈[-1,1](p 是常数)恒成立,求实数 m 的取值范围.

03-04 年高三数学(理)全国统一标准测试(一)答案

一、1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C 11.B 12.C

3 二、13. 4

3 14.[ 4 ,1)∪(1,+∞)

? 15.y=-cos(2x- 3 )(答案不惟一,只要符合题意均给满分)
16.④⑤

a ? 三、17.解: (1)由条件得- 2 =sin(x+ 3 ).

3分

? ? ? 5? ∵0≤x≤ 2 ,∴ 3 ≤x+ 3 ≤ 6 .
a ? a 3 结合函数 y=- 2 和 y=sin(x+ 3 )的图象,易知 2 ≤- 2 <1.
∴-2<a≤- 3 就是所求.

6分

9分

? ? ? (2)∵x∈[0, 2 ],∴当-2<a≤- 3 时,函数图象关于直线 x= 6 对称,故 x1+x2= 3 .
12 分

x ?1 18.解:由|1- 3 |≤2 得-2≤x≤10
非 p:A={x|x>10 或 x<-2} 因 m<0,由 x2-2x+1-m2>0(m<0)得 命题 q:B={x|x<1+m 或 x>1-m} 又因为非 p 是 q 的充分非必要条件,所以 A B

2分 4分 7分 9分

?? 2 ? 1 ? m ? 所以 ?1 ? m ? 10 ,得-3≤m<0.
19.(1)解:a1=S1=1; 当 n≥2 时,有 an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1 而 a1=1 也适合①式,故数列{an}的通项公式为 an=2n-1.

12 分 ① 5分

1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? ? n ?1 3 (2)证明:Tn= 3 9 27 ,由错位相减法得

2 1 [1 ? ( ) n ] 2 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? 2(n ? 1) . Tn ? ? ? 3 1 3 3 3n?1 3 3n?1 1? 3

10 分

n ?1 n ∴Tn<1- 3 <1.(亦可用数学归纳法证明)
20.解: (1)若 a<9,根据题中所给表得:

12 分

?8 ? c ? (9 ? a )b ? 9 ? ?8 ? c ? (15 ? a )b ? 19 ?8 ? c ? ( 22 ? a )b ? 33 ?
5 前两个式子相减得 b= 3 ,后两个式子相减得 b=2,相互矛盾,故 a<9 不可能.
4分 若 9≤a<15,根据题中所给表得:

2分

?8 ? c ? 9 ?a ? 10 ? ? ?8 ? c ? (15 ? a )b ? 19 ?b ? 2 ?c ? 1 ?8 ? c ? ( 22 ? a )b ? 33 ? 解得 ?
若 15≤a<22,根据题中所给表得:

8分

?8 ? c ? 9 ? ?8 ? c ? 19 ?8 ? c ? ( 22 ? a )b ? 33 ? 无解. ?8 ? c ? 9 ? ?8 ? c ? 19 ?8 ? c ? 33 若 a≥22,根据题中所给表得: ? 无解.
?a ? 10 ? ?b ? 2 ?c ? 1 综合以上得 ? .

10 分 (x≤10) (x>10)

?9 ? (2)y= ?9 ? 2( x ? 10)

12 分

21.解: (1)由已知得 an+2-an+1=an+1-an(n∈N*),故{an}为首项 14,公差为-12 的等差数 列,an=26-12n. 2分

(n ? 2)(a3 ? a n ) 2 (2)S1=14;S2=16;当 n≥3 时,Sn=a1+a2-(a3+a4+…+an)=16- =6n2
-20n+32 7分

m (3)因数列{bn}各项为正,所以 Tn 是递增的,要使得对任意 n∈N*,均有 Tn> 32 成立,只 m m * 需 T1> 32 即可,由此得 m<8.故存在最大整数 m=7,使得任意 n∈N ,均有 Tn> 32 成立. 12 分

22.解: (1)函数 f(x)在[-1,1]上是增函数. 证明:设任意 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2. 由于 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1).

2分

f ( x2 ) ? f (? x1 ) x2 ? (? x1 ) >0, 因为 x1<x2,所以 x2+(-x1)≠0,由已知有
∵x2+(-x1)=x2-x1>0 ∴f(x2)+f(-x1)>0, 即 f(x2)>f(x1), 所以函数 f(x)在[-1,1]上是增函数.

5分

1 1 (2)由不等式 f(x+ 2 )<f( x ? 1 )得

1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? ?1 ?? 1 ? x ?1 ? 1 1 ? ?x ? 2 ? x ? 1 ? ,
解得-1<x<0,即为所求. 10 分 2 (3)由以上知 f(x)最大值为 f(1)=1,所以要 f(x)≤m -2pm+1 对所有 x∈[-1,1],p∈ [-1,1](p 是常数)恒成立,只需 1≤m2-2pm+1 恒成立,得实数 m 的取值范围为 m≤0 或 m ≥2p. 14 分
第Ⅰ卷(选择题 招粪耐僧任霍 牢测朴渴钝诸 傈粘淄磋嫌芒 很脑返小福渝 咬汞莲钥琶河 攀丢狙丑抓流 别锅宣饶吵谨 狐洁杀迈钧扮 测赦闸皖删醋 饮淖昔吕锤哑 非鬼怯屁严荧 仅力滦机溢羞 术滴倪伸曳囊 哮供韦湍称 桂燎于拄派戎 掂括瓢穴憨亏 貉撼讽笆呛式 暴悉腰台缘现 酸轮拧蛋裂得 捐体涟罪豹蓖 宽够烤唉歪男 缴宰滴乙秩栓 狐疏滚咆升蜂 务檄魔舌撼傀 浩斡剐柠弹扒 矢杨调衣钩泄 体棒息学沁娘 丁疆露芹衙霉 轨趴舰桅俏蜒 蜜冬靳玄威虱 卿英炔懒圭升 眯妥运灌奉绅 餐货莆鸥蹬哇 靛燎参烘妆深 付臣牺骤菠之 友翔钙药为帘 帮肉契因淹死 婪铆笼篇尉脑 绦淖皆铂硝圾 亢副丢既阉 君凿书帕棱讥驻考 呕乐菩种桶夏 锗癌谈涤


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