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2016年浙江省高考数学试卷(文科)及答案,精确校对版

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2016 年浙江省高考
数学(文科)试卷

一、选择题;本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1,2,4},则(?UP)∪Q=( A.{1} C.{1,2,4,6} B.{3,5} D.{1,2,3,4,5} ) )

2.已知互相垂直的平面 α,β 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则( A.m∥l
2

B.m∥n )

C.n⊥l

D.m⊥n

3.函数 y=sinx 的图象是(

A.

B.

C.

D.

4.若平面区域

,夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值

是( A.

) B. C. ) D.

5.已知 a,b>0 且 a≠1,b≠1,若 logab>1,则( A. (a﹣1) (b﹣1)<0 C. (b﹣1) (b﹣a)<0
2

B. (a﹣1) (a﹣b)>0 D. (b﹣1) (b﹣a)>0 )

6.已知函数 f(x)=x +bx,则“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x

7.已知函数 f(x)满足:f(x)≥|x|且 f(x)≥2 ,x∈R. ( A.若 f(a)≤|b|,则 a≤b
b



B.若 f(a)≤2 ,则 a≤b
1

C.若 f(a)≥|b|,则 a≥b

D.若 f(a)≥2 ,则 a≥b
*

b

8. 如图, 点列{An}、 {Bn}分别在某锐角的两边上, 且|AnAn+1|=|An+1An+2|, An≠An+1, n∈N , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|, Bn≠Bn+1,n∈N , (P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合)若 dn=|AnBn|,Sn 为△ AnBnBn+1 的面积,则(
*



A.{Sn}是等差数列 C.{dn}是等差数列

B.{Sn }是等差数列 D.{dn }是等差数列
2

2

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 cm ,体积是
2 2 2

cm .
2

3

10.已知 a∈R,方程 a x +(a+2)y +4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标 是
2

,半径是

. ,

11.已知 2cos x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0) ,则 A= b= .
3 2

12.设函数 f(x)=x +3x +1,已知 a≠0,且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a) , x∈R,则实数 a= 13.设双曲线 x ﹣
2

2

,b=



=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若点 P 在双曲线上,且△ F1PF2 . ,∠ADC=90°,沿直 . |+| |的最大值

为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是

14.如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=

线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD′, 直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值是 15.已知平面向量 , ,| |=1,| |=2, 是 . =1,若 为平面单位向量,则|

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acosB. (1)证明:A=2B; (2)若 cosB= ,求 cosC 的值.

2

17. (本题满分 15 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N . (Ⅰ)求通项公式 an; (Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和.

*

18. (本题满分 15 分) 如图, 在三棱台 ABC﹣DEF 中, 平面 BCFE⊥平面 ABC, ∠ACB=90°, BE=EF=FC=1, BC=2,AC=3. (Ⅰ)求证:BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

3

19. (本题满分 15 分)如图,设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF| ﹣1, (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M,求 M 的横坐标的取值范围.

2

20. (本题满分 15 分)设函数 f(x)=x + (Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x
2

3

,x∈[0,1],证明:

(Ⅱ) <f(x)≤ .

4

2016 年浙江省高考数学试卷(文科)答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。 1.C 3.D 2.C 解:∵sin(﹣x) =sinx ,
2 2 2

∴函数 y=sinx 是偶函数,即函数的图象关于 y 轴对称,排除 A,C; 由 y=sinx =0,则 x =kπ,k≥0,则 x=± 故函数有无穷多个零点,排除 B,故选:D 4.B 解:作出平面区域如图所示:
2 2

,k≥0,

∴当直线 y=x+b 分别经过 A,B 时,平行线间的距离相等. 联立方程组 ,解得 A(2,1) ,

联立方程组

,解得 B(1,2) .

两条平行线分别为 y=x﹣1,y=x+1,即 x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0. ∴平行线间的距离为 d= 5.D = ,故选:B.

解:若 a>1,则由 logab>1 得 logab>logaa,即 b>a>1,

此时 b﹣a>0,b>1,即(b﹣1) (b﹣a)>0, 若 0<a<1,则由 logab>1 得 logab>logaa,即 b<a<1, 此时 b﹣a<0,b<1,即(b﹣1) (b﹣a)>0,综上(b﹣1) (b﹣a)>0,故选:D. 6.A 解:f(x)的对称轴为 x=﹣ ,fmin(x)=﹣ . ,

(1)若 b<0,则﹣ >﹣

,∴当 f(x)=﹣ 时,f(f(x) )取得最小值 f(﹣ )=﹣

即 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等. ∴“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分条件. (2)若 f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等,则 fmin(x)≤﹣ ,即﹣ ∴“b<0”不是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的必要条件.故选 A. 7.B 解:A.若 f(a)≤|b|,则由条件 f(x)≥|x|得 f(a)≥|a|, ≤﹣ ,解得 b≤0 或 b≥2.

即|a|≤|b|,则 a≤b 不一定成立,故 A 错误,
5

B.若 f(a)≤2 ,则由条件知 f(x)≥2 ,即 f(a)≥2 ,则 2 ≤f(a)≤2 ,则 a≤b,故 B 正确, C.若 f(a)≥|b|,则由条件 f(x)≥|x|得 f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故 C 错误, D.若 f(a)≥2 ,则由条件 f(x)≥2 得 f(a)≥2 ,则 2 ≥2 ,不一定成立,即 a≥b 不一定成立,故 D 错误, 8.A 解:设锐角的顶点为 O,|OA1|=a,|OB1|=b,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,
2 b x a a b

b

x

a

a

b

由于 a,b 不确定,则{dn}不一定是等差数列,{dn }不一定是等差数列, 设△ AnBnBn+1 的底边 BnBn+1 上的高为 hn, 由三角形的相似可得 = = , = = ,

两式相加可得,

=

=2,即有 hn+hn+2=2hn+1,

由 Sn= d?hn,可得 Sn+Sn+2=2Sn+1,即为 Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn, 则数列{Sn}为等差数列.故选:A. 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,满分 36 分。 9.80;40. 10. (﹣2,﹣4) ,5. 解:∵方程 a x +(a+2)y +4x+8y+5a=0 表示圆,∴a =a+2≠0,解得 a=﹣1 或 a=2.
2 2 2 2 2 2

当 a=﹣1 时,方程化为 x +y +4x+8y﹣5=0, 配方得(x+2) +(y+4) =25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4) ,半径为 5; 当 a=2 时,方程化为 此时 11. ;1.
2 2 2

, ,方程不表示圆, 解:∵2cos x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ = sin(2x+ )+1,∴A= ( cos2x+ sin2x)+1

,b=1,

12.﹣2;1 解:∵f(x)=x +3x +1,∴f(x)﹣f(a)=x +3x +1﹣(a +3a +1)=x +3x ﹣(a +3a ) ∵(x﹣b) (x﹣a) =(x﹣b) (x ﹣2ax+a )=x ﹣(2a+b)x +(a +2ab)x﹣a b, 且 f(x)﹣f(a)=(x﹣b) (x﹣a) ,
2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2



,解得



(舍去) ,

6

13. 解:如图,由双曲线 x ﹣
2

=1,得 a =1,b =3,∴

2

2



不妨以 P 在双曲线右支为例,当 PF2⊥x 轴时,把 x=2 代入 x ﹣ 此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8; 由 PF1⊥PF2,得 两边平方得: 联立①②解得: 此时|PF1|+|PF2|= .

2

=1,得 y=±3,即|PF2|=3,

,又|PF1|﹣|PF2|=2,① ,∴|PF1||PF2|=6,② ,

∴使△ F1PF2 为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是( 14. 【考点】异面直线及其所成的角.
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) .

【解答】解:如图所示,取 AC 的中点 O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC, 在 Rt△ ACD′中, 作 D′E⊥AC,垂足为 E,D′E= = = . .

CO=

,CE=

=

=

,∴EO=CO﹣CE=



过点 B 作 BF∥BO,作 FE∥BO 交 BF 于点 F,则 EF⊥AC.连接 D′F.∠FBD′ 为直线 AC 与 BD′所成的角. 则四边形 BOEF 为矩形,∴BF=EO= .EF=BO= = .

则∠FED′为二面角 D′﹣CA﹣B 的平面角,设为 θ. 则 D′F =
2

+

﹣2×

cosθ=

﹣5cosθ≥

,cosθ=1 时取等号.

∴D′B 的最小值=

=2.∴直线 AC 与 BD′所成角的余弦的最大值=

=

=



【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题. 15.
7

【考点】平面向量数量积的运算. 【解答】解:| |+| |=

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其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和, 当 与 共线时,取得最大值.∴ = .

【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题 的能力,是中档题.

三、解答题 16. 【考点】正弦定理.
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【解答】 (1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB, ∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B) ,由 A,B∈(0,π) , ∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或 B=π﹣(A﹣B) ,化为 A=2B,或 A=π(舍去) .∴A=2B. (II)解:cosB= ,∴sinB= cosA=cos2B=2cos B﹣1=
2

= ,sinA=

. = . + × = .

∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=

【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 17. 【考点】数列递推式.
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【解答】解: (Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N .∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得 a1=1,a2=3, 当 n≥2 时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,两式相减得 an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an, 即 an+1=3an,当 n=1 时,a1=1,a2=3,满足 an+1=3an, ∴ =3,则数列{an}是公比 q=3 的等比数列,则通项公式 an=3
n﹣1 n﹣1

*



(Ⅱ)an﹣n﹣2=3

﹣n﹣2, ﹣n﹣2|,则 b1=|3 ﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,
n﹣1 0

设 bn=|an﹣n﹣2|=|3 当 n≥3 时,3
n﹣1

n﹣1

﹣n﹣2>0,则 bn=|an﹣n﹣2|=3

﹣n﹣2,
8

此时数列{|an﹣n﹣2|}的前 n 项和 Tn=3+



=



则 Tn=

=



【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明 列{an}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和. 18. 【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
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【解答】解: (Ⅰ)证明:延长 AD,BE,CF 相交于一点 K,如图所示: ∵平面 BCFE⊥平面 ABC,且 AC⊥BC;∴AC⊥平面 BCK,BF?平面 BCK;∴BF⊥AC; 又 EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的中点; ∴BF⊥CK,且 AC∩CK=C;∴BF⊥平面 ACFD; (Ⅱ)∵BF⊥平面 ACFD;∴∠BDF 是直线 BD 和平面 ACFD 所成的角; ∵F 为 CK 中点,且 DF∥AC;∴DF 为△ ACK 的中位线,且 AC=3; ∴ ;又 ;∴在 Rt△ BFD 中, ,cos



即直线 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值为



【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的 判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.

19. 【考点】直线与椭圆的位置关系;抛物线的简单性质.

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【解答】解: (Ⅰ)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于 A 到直线 x=﹣1 的距离, 由抛物线定义得, ,即 p=2;
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为 y =4x,F(1,0) ,可设(t ,2t) ,t≠0,t≠±1, ∵AF 不垂直 y 轴,∴设直线 AF:x=sy+1(s≠0) ,
9

联立

,得 y ﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(

2

) ,

又直线 AB 的斜率为

,故直线 FN 的斜率为



从而得 FN:

,直线 BN:y=﹣ ,则 N(

) ,

设 M(m,0) ,由 A、M、N 三点共线,得



于是 m=

=

,得 m<0 或 m>2.

经检验,m<0 或 m>2 满足题意.

∴点 M 的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞) . 【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属 中档题. 20. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【解答】解: (Ⅰ)证明:因为 f(x)=x +
3
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,x∈[0,1],

且 1﹣x+x ﹣x = 所以 1﹣x+x ﹣x ≤
2 3

2

3

= ,

,所以
2





即 f(x)≥1﹣x+x ;
3

(Ⅱ)证明:因为 0≤x≤1,所以 x ≤x, 所以 f(x)=x +
3

≤x+

=x+
2

﹣ + = + ≥ ,

+ ≤ ;

由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x = 且 f( )= + =

> ,所以 f(x)> ;综上, <f(x)≤ .

【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与 解决问题的能力,是综合性题目.

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