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【新】2019高中数学第一章不等关系与基本不等式4不等式的证明第课时学案北师大版选修450303

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4 不等式的证明 第 3 课时

几何法、反证法

1.了解几何法的证明过程,并会用几何法证明简单的不等式. 2.掌握反证法,并会用反证法证明不等式.

1.几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为______. 【做一做 1】已知 x,y,z∈(0,1).求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 2.反证法 反证法证不等式是:先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的反面成立,以此 为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结果,从而断定假设错误,因而 确定要证的不等式成立. 它的步骤是:(1)作出否定____的假设;(2)进行推理,导出____;(3)否定假设,肯定 ____. 1 1 【做一做 2】如果 a>b>0,证明 2< 2.

a

b

答案: 1.几何法 【做一做 1】分析:构造一个边长为 1 的正三角形,利用三角形的面积关系来证明.

证明:如图,构造正三角形 ABC,设其边长为 1,BD=x,AF=y,CE=z,则根据面积关 系 S△ABC>S△BDF+S△DCE+S△AEF,得 1·1·sin 60°>x(1-y)sin 60°+y(1-z)sin 60°+z(1 -x)sin 60°. 整理,得 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 即得证. 2.(1)结论 (2)矛盾 (3)结论 1 1 【做一做 2】分析:先假设 2≥ 2成立,从假设出发,推出矛盾.

b b2-a2 证明:假设 2≥ 2,则 2- 2= 2 2 ≥0. a b a b ab 2 2 2 2 ∵a>b>0,∴a b >0,b -a =(b+a)(b-a)≥0. ∵a>b>0,∴b+a>0, ∴b-a≥0,即 b≥a. 这与已知 a>b 矛盾.
1 1 1 1 1 1 ∴假设不成立,即 2< 2成立.

a

a

b

1.反证法中的数学语言 剖析:反证法适宜证明“存在性问题”,“唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至 多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面
1

列举一些常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 常见 至少有 至多有 唯一 不是 全 都是 词语 一个 一个 一个 否定 一个也 有两个或 没有或有 是 不全 不都是 假设 没有 两个以上 两个以上 对数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设 的否定也可以举一些特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此. 2.用反证法证明不等式 剖析:(1)用反证法证明,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况只有有限多种, 然后证明这种反面的结论都是不可能的, 是与已知条件、 已知事实或已证明过的定理相矛盾 的. (2)要证不等式 M>N, 先假设 M≤N, 由题设及其他性质推出矛盾, 从而肯定 M>N 成立. 凡 涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至多”、“至少”等字句时,可考虑 使用反证法. (3)用反证法证明不等式要把握三点: ①必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能, 证明都是不完全的. ②反证法必须从否定结论进行推理, 且必须根据这一条件进行论证; 否则, 仅否定结论, 不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法. ③推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾,有 的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等等,但推导出的矛盾必须是明显的.

题型一 用几何法证明不等式 2 2 2 2 2 2 【例 1】已知 a>0,b>0,c>0,求证: a -ab+b + b -bc+c ≥ a +ac+c ,当 1 1 1 且仅当 = + 时取等号.

b a c

分析:从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造图形,利用余弦定理 来证明. 反思: 利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形, 先要研究所证不等式两边的结构 特点, 再把其中的字母当作图形的边长, 最后用几何图形中的不等关系来表示所要证明的不 等式. 题型二 用反证法证明不等式 1+b 1+a 【例 2】已知 a>0,b>0,且 a+b>2.求证: , 中至少有一个小于 2.

a

b

分析:由于题目的结论比较复杂,讨论起来比较繁琐,宜采用反证法. 反思:从“正难则反”的角度考虑,即要证明不等式 A>B,先假设 A≤B.由题设及其 他性质推出矛盾, 从而肯定 A>B. 凡涉及到证明不等式为否定命题, 唯一性命题式含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 答案: 【例 1】 证明: 如图, 作 OA=a, OB=b,OC=c,∠AOB=∠BOC=60°,则∠AOC=120°, 2 2 2 2 AB= a -ab+b ,BC= b -bc+c ,AC= a2+ac+c2.

由几何知识知,AB+BC≥AC, 2 2 2 2 2 2 ∴ a -ab+b + b -bc+c ≥ a +ac+c ,
2

当且仅当 A,B,C 三点共线时等号成立. 1 1 1 此时有 absin 60°+ bcsin 60°= acsin 120°, 2 2 2 即 ab+bc=ac. 1 1 1 故当且仅当 = + 时,取得等号.

b a c

1+b 1+a 【例 2】证明:假设 , 都不小于 2,

a

b

1+b 1+a 即 ≥2, ≥2.

a

b

∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b. 两式相加,得 1+b+1+a≥2(a+b). 即 a+b≤2,这与已知 a+b>2 矛盾. 故假设不成立. 1+b 1+a 因此, , 中至少有一个小于 2.

a

b

1 若二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1 在区间[-1,1]内至少有一个值 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是( ). 3 1 ? ? ? ? ? 1 2? A.?-3, ? B.?-2, ? C.(-1,0) D.?- , ? 2 5 ? ? ? ? ? 2 3? 2 若△ABC 的三边 a,b,c 的倒数成等差数列,则( ). π π π π A.∠B= B.∠B< C.∠B> D.∠B= 2 2 2 3 3 设 a,b∈R,给出下列条件: 2 2 ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a +b >2;⑤ab>1. 其中能推出“a,b 中至少有一个实数大于 1”的条件是__________. 4 已知 a,b,c>0,a+b>c.求证:

2

2

a b c + > . a+1 b+1 c+1

答案: 1.A 如果在[-1,1]内没有满足 f(c)>0 的数 c,
? ?f 则? ?f ?



, ,

1 ? ?p≤-2或p≥1, 解得? 3 ? ?p≤-3或p≥2.

? 3? ∴ 此 时 p 的取 值 范围 是 ?p|p≤-3或p≥ ? , 取 补集 即 得所 求 实数 p 的 范围 , 即 2? ? ? 3? ?p|-3<p< ?. 2? ? π 2.B 假设∠B≥ ,则 b 最大,有 b>a,b>c, 2 1 1 1 1 ∴ > , > .

a b c b a c b

1 1 2 1 1 2 ∴ + > ,与题意中的 + = 矛盾.

a c b

π ∴∠B< . 2

3

3.③ 对于①,a,b 均可小于 1;对于②,a,b 均可等于 1;对于④⑤,a,b 均可为 负数;对于③,若 a,b 都不大于 1,则 a+b≤2,与③矛盾.故若③成立,则“a,b 中至 少有一个实数大于 1”成立. a b c 1 1 1 1 1 4.证明:假设 + ≤ ,则 1- +1- ≤1- ,即 1+ ≤ a+1 b+1 c+1 a+1 b+1 c+1 c+1 a+1 1 + , b+1 ∴(1+a)(1+b)(1+c)+(1+a)(1+b)≤(1+b)(1+c)+(1+a)(1+c), 即(c+2)(1+a)(1+b)≤(1+c)(a+b+2), ∴2ab+abc+a+b≤c.① 又∵a+b>c,a,b,c>0, ∴a+b+2ab+abc>c,与①矛盾. ∴假设不成立. a b c ∴ + > 成立. a+1 b+1 c+1

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是餐 理 管 动 走 场 现 直坚 一 人 本 , 之 中 重 的 理 管 常 日 厅 进行 则 原 八 二 照 按 格 严 间 期 班 当 持 配 分 间 时 管理 在 的 十 八 之 (百 在做 间 时 的 十 二 之 分 百 , 场 现 域 区 结 总 理 管 和 集 收 息 信 参与 接 直 并 ), 时的 及 予 给 题 问 的 出 对 , 务 服 场 现 详细 行 进 题 问 型 典 对 , 示 提 和 正 纠 定相 制 源 根 析 分 题 问 性 共 , 录 记 加强 洞 漏 题 问 塞 堵 , 划 计 训 培 的 应 ;领 登 的 表 查 检 核 考 、 录 记 作 工 己辖 自 分 划 任 责 值 据 根 管 主 班 督导 中 、 备 准 前 班 对 针 要 主 , 域 区 , 录 记 面 书 作 评 检 后 班 、 准备 前 餐 的指 应 相 作 求 需 个 人 客 与 性 分 充 状况 好 完 的 施 备 设 , 务 服 醒 提 和 点 。 整 调 的 态 状 神 精 工 员 , 3、 提升部 分主题 宴会服 务的质 量,从 菜单的 设计打 印到配 套餐具 与调料 的准备 ,特别 是上菜 的语言 服务设 计将是 整个服 务的点 缀和装 饰,开 盘菜的 欢迎词 导入, 餐中重 头菜肴 的介绍 宣传, 主食供 应时的 再次祝 福,将 时刻突 出主人 对主宾 的尊敬 热情, 也通过 此举服 务让客 人在 心里更加 加强对 朋友盛 情的美 好回忆 ,真正 达到客 人宴请 的物质 精神双 重享受 。 4、 建立完 善信息 收集制 度,降 低投诉 与提高 存酒的 信赖度 根据 上半年 收集的 案例汇 总看基 本集中 在客人 对存酒 的凝虑 ,由于 当时信 息记录 单一不 全面导 致客人 对自己 的酒水 存放不 放心, 后经部 门开会 加强细 化存酒 服务流 程,特 别注重 值台员 、吧台 的双向 记录要 求及自 带酒水 的饮用 与存放 的书面 记录, 以此避 免了客 人心中 的顾虑 , 查询时可 以第一 时间告 知客人 排除凝 虑。吧 台人员 在货架 的分类 上创新 编号排 放便于 快 速查 找,起 到了良 好的效 果。 5、 班会组 织趣味 活动, 展示餐 厅各项 技能 为营 造快乐 班会快 乐工作 的氛围 ,餐厅 经常以 活动的 形式来 组织趣 味游戏 ,虽然 时间短 暂但是 收获多 多,拓 展 P K 小游 戏配备 奖励式 处罚, 融洽气 氛、消 除工作 中的隔 阂,提 高相互 之间的 信赖度 有着推 波助澜 的作用 ,包括 每月的 消防突 击演练 以真正 检验全 员的真 实性效 果,提 高处变不 惊的能 力和处 理突发 事件的 反应, 当然托 盘摆台 技能的 比拼才 是我们 真正的 专业, 从时间 与质量 考验选 手的日 常基本 功,提 高服务 效率。 6、 开展各 类员工 培训, 提升员 工综合 素质 本年 度共开 展了班 会全员 培训相 对多一 点达到 46 场 次,业 务式技 能培训 11 场 ,新人 入职培 训 5 场 ,领班 主管的 自主专 题培训 海底捞 进行 4 场,通 过培训 来达到 思想意 识的提 高,拓 展管理 思路, 开阔行 业视野 。 7、 全员齐 努力, 销售新 突破 根据 年初部 门设定 的果汁 饮料销 售新目 标,全 员不懈 努力, 在客源 市场不 是很景 气的条 件下发 挥你追 我赶宁 创销售 新高不 伤相互 感情的 比拼精 神,使 我们的 果汁数 量屡创 新高, 到目前 已销售 1190 0 多扎 数,每 月销售 之星奖 励的喜 悦众人 分享, 从二连 冠三连 冠到现 在的年 终四 连冠都是 自身努 力和实 力的象 征,餐 厅也因 此涌现 出了一 批销售 之星。 但是也 有在销 售中因 没有注 意语言 技巧的 把握而 导致客 人感觉 有强买 强的嫌 疑。

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