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2012年高考数学静悟材料(理科)(青岛)

时间:2012-05-28


2012 年高考数学静悟材料
--------三轮复习静悟材料 赠言:亲爱的同学们,高考临近,我们应该认真的去做好哪些准备工作呢?首先要掌握 高中数学中的概念、公式及基本解题方法,其次要熟悉一些基本题型,明确解题中的易误点, 还应了解一些常用结论,最后还要通过多次仿真高考模拟训练,掌握一些的应试技巧。因此 我们在教学中注意积累所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和解题规律进行了总结, 并按章节进行了系统的整理,现在印发给你们,希望同学们作为复习中的重要材料,认真阅 读和使用。它能助你在高考中乘风破浪,实现自已的理想报负。加油吧!同学们!用行动让 你的青春无悔! ——爱你们的老师

集合简易逻辑与函数
一考试内容及要求
1.集合、简易逻辑 (1)集合的含义与表示 ① 了解集合的含义,元素与集合的“属于”关系. ② 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. (2)集合间的基本关系 ① 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. ② 在具体情境中,了解全集与空集的含义. (3)集合的基本运算 ① 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ③ 能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. (3)命题及其关系 ①理解命题的概念. ②了解“若 p ,则 q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相 互关系. ③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. (4)简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、 “且”“非”的含义. 、 (5)全称量词与存在量词 ① 理解全称量词与存在量词的意义. ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2.函数
1

(1)函数 ① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表 示函数. ③ 了解简单的分段函数,并能简单应用. ④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性 的含义. ⑤ 会运用函数图象理解和研究函数的性质. (2)指数函数 ① 了解指数函数模型的实际背景. ② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. ③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质, 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用 对数;了解对数在简化运算中的作用. ② 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型. ④ 了解指数函数 y ? a 与对数函数 y ? log
x
a

x ( a ? 0 且 a ? 1) 互为反函数.

(4)幂函数 ① 了解幂函数的概念. ② 结合函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ?
2 3

1 x

1

, y ? x 2 的图象,了解它们的变化情况.

(5)函数与方程 ① 结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在 性及根的个数. ② 根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. (6)函数模型及其应用 ① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征;知道直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义. ② 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用
2

的函数模型)的广泛应用.

二、重要知识、技能技巧
1.函数是一种特殊的映射:f:A→B (A、B 为非空数集), 定义域: ?
?自然定义域 ?限定定义域 : 给解析式 , 常涉及分母 , : 应用条件的限制或有附 , 开方 , 指数幂 , 对数或三角函数 加条件的制约 , 复合函数

解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点. 2.函数值域、最值的常用解法 ⑴观察法; ⑵配方法;⑶分离常数法、函数有界;如 y=
cx ? d ax ? b 或y ? sin
2

x ?1
2

2 ? cos

x

⑷基本不等式法;⑸单调函数法;⑹数形结合法;⑺换元法;⑻导数法. 3.函数奇偶性 ⑴判断
? 定义域关于原点对称 ? ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ? ? ①解析式 ? ? ? ? f ( x ) ? f ( ? x )或 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? ? 1, f ( x ) ? 0 ? ? ? ? ? f (x) ? ?

②图象(关于 y 轴或坐标原点对称) ⑵性质:如果 f(x)是奇函数且在 x=0 有定义,则 f(0)=0;常数函数 f(x)=0 定义域(-

l,l)既是奇函数也是偶函数; 在公共定义域上, 两个奇、 偶函数的运算性质. 略) (
4.函数单调性 ⑴定义的等价形式如:
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

>0 ? (x 1-x2)[f(x 1)-f(x2 )]>0

⑵判断:①定义法;②导数法;③结论法(慎用). 奇偶函数在对称区间上的单调性; 互为反函数的两函数单调性; 复合函数的单调性 (同 增异减) ;常见函数的单调性(如 y=x+ 5.函数周期性 ⑴f(x)=f(x+a)对定义域中任意 x 总成立,则 T=a.如果一个函数是周期函数,则其周期有无数 个. ⑵f(x+a)=f(x-a),则 T=2a. 公式 ⑷f(x)图象关于 x=a 及 x=b 对称,a≠b,则 T=2(b-a).
3
a x

, a ? R ? 和 y=x-

a x

, a ? R ? ).

⑶f(x+a)=-

k f (x)

( k ? 0 ) ,则

T=2a.,我们称为半周期

⑸f(x)图象关于 x=a 及点(b,c) (b≠a)对称,则 T=4(b-a). 6.函数图象的对称性 ⑴若 f(a+x)=f(a-x)或[f(x)=f(2a-x)], f(x)图象关于 x=a 对称, 则 特别地 f(x)=f(- x)则关于 x=0 对称; ⑵若 f(a+x)+f(b-x)=2c, f(x)图象关于( 则 则关于(0,0)对称; ⑶若 f(a+x)=f(b-x),则 y=f(x)关于 x=
a ? b 2

a?b 2

,c)中心对称, 特别地 f(x)+f(-x)=0,

对称;

⑷y=f(x)与 y=f(2a-x)关于 x=a 对称;y=f(x)与 y=-f(x)+2b 关于 y=b 对称;y=f(x) 与 y=-f(2a-x)+2b,关于(a,b)对称. ⑸y=f(a+x)与 y=f(b-x),关于 x=
b ? a 2

对称.

7.⑴要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题,并能结合二次函数的图象进行分 类讨论;结合图象探索综合题的解题切入点。 ⑵抽象函数未给出函数解析式,但给出函数的一些性质来探讨它的其他性质,这样的 题目常以具体的函数为背景,处理时要用广义的定义、性质、定理去处理,不能用 具体函数去论证. 8.指数对数函数 ⑴对数恒等式 a log x =x
a

(a>0 且 a≠1,x>0).

⑵对数运算性质(M>0,N>0,p∈Q) ①loga(MN)=log aM+loga N;②loga
M N

=log aM-log aN;③log aN p=plog aN.
1 a

⑶y=logax 与 y=log 1 x; y=ax 与 y=(
a

) x;y=ax 与 y=b x (a>b)

y=logax 与 y=logbx 图象间关系:(略) 9.掌握 5 个幂函数的图像及性质: 1)__________________________________________________ 2)__________________________________________________ 3)__________________________________________________ 10.逻辑联结词,四种命题 ⑴且、或、非可理解为与交、并、补对应. ⑵非 p 即 ? p 是对 p 的否定,而 p 的否命题,则是否定条件,否定结论.
4

例:p:如果 x=1,那么 x2-1=0;

则 ? p:如果 x=1,那么 x2-1≠0.
2

而命题 p 的否命题是:如果 x≠1,那么 x -1≠0. ⑶原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题,互为逆否的两个命题真 假性一致,因此一个命题的真假性难以判断或一个命题难以证明时,可以判断或证 明它的逆否命题. 11.充要条件 ⑴充分条件,必要条件,充要条件的等价叙述,如,p 是 q 的充分条件 ? 若 p,则 q ? p ? q ? q 的一个充分条件是 p. ⑵关于充要条件的几个结论: ①“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件. ②在△ABC 中,A>B ? a>b. sin A ? sin B . ③“| a |=| b |”是“ a ? b ”的必要不充分条件 ④“{a n}既是等差,又是等比数列”是“ {an}是常数数列”的充分不必要条件. ⑤“方程 x2 +y2+Dx+Ey+F=0”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件. ⑥f′(x)=0 是 x 为极值点的必要不充分条件. ⑶证明充要条件的命题要证明两个方面,首先必须找准一个命题的条件和结论.. 12.反证法 反证法就是假设命题的结论不成立,从这个假定出发,经过推理证出其矛盾,然后推翻 假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以下几种: ⑴与公理、定理、定义矛盾; ⑵与熟知的事实矛盾; ⑶与已知矛盾; ⑷与不同方向推出的其他结论矛盾。 以下情形适宜用反证法证明: ⑴难以甚至无法由已知条件直接证明结论的; ⑵“至多” “至少”型问题; 、 ⑶唯一性的证明; ⑷问题的结论本身以否定形式给出的; ⑸要证命题的逆命题是正确的。 注意若命题结论的反面情况有多种,则必须将每一种反面情况都驳倒。 13.解答函数应用题的基本步骤为:
5

⑴审题:审题是解题的基础,它包括阅读、理解、翻译、挖掘等,通过阅读,理解问 题的类型、内涵、实质,以及应建立的数学模型; ⑵建模:在细心阅读,深入理解题意的基础上,引进数学符号,将题目中的非数学语 言转化成数学语言,然后,根据题意,列出数量关系——建立函数模型,注意字母 为取值范围应符合实际事实。 ⑶解模:通过函数的有关性质的运用,进行推理、运算,使问题得到解决; ⑷还原评价:应用问题不是单纯的数学问题,对于理论的推导结果,要代入原问题中 进行检验、评价,判断是否符合实际情况。 分析、解决应用问题的思维过程: 建
实际问题


数学问题

(审题、转化、抽象)

问题解决
实际问题结论 数学问题结果

解模推算





(检验、评价)

三.易错点提示
⑴多变量问题注意主元与辅助元的转换 如 p∈( ,4)时,不等式 px+1>2x-p 恒成立,可看成关于 p 的函数 g(p)=(x+1)p+1-
4
1

1

2x>0,在( ,4)上恒成立 ?
4

? 1 ? g ( ) ? 0, (等号不同时取) 4 ? g (4) ? 0. ?

⑵单调函数要与区间对应. ⑶关于范围的结论的书写注意端点的“开闭” ⑷y=
bx ? c x?a

的中心(a,b),渐近线 x=a,y=b,单调区间(-∞,a),(a,+∞) (ab+c≠0)

⑸图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变化率、最高、最低点等. ⑹复合函数要注意定义域的作用 如求 y=log2 (x2-3x+2)的单调区间,已知 f(x+ ⑺解决映射的有关问题,注意分类讨论.
6

1 x

)=x2 +

1 x
2

,求 f(x)均须考虑定义域.

如 M={x,y,z},N={1,0,-1},f:M→N 满足 f(x)-f(y)=f(z)的映射个数(7). ⑻注意代表元素的不同对集合意义的影响。如{y|y=x }、{x|y=x }、{(x,y)|y=x }就表示 完全不同的三个集合,它们分别表示[0,+∞ ) ,R 两个数集及抛物线 y=x2 上的点集。避 免如下错误:{y|y=x 2}∩{y|y=2x}={(2,2)、(4,4)}。 ⑼用列举法表示集合时,元素既不能遗漏,又不能违反互异性原则,如方程(x-1)2 (x+2)=0 的解集表示为{1,1,-2}是错误的,作为集合只能表示为{1,-2}.另外注意 (1,2),{1,2},{(1,2)}的区别. ⑽一般来说图象直观不能代替代数论证.
2 2 2

典型错误分析与纠错:
例题 1、已知 A={x| m ? 1 ? 【错解】A ? B ? ?
x ? 2m ? 1

},B={x| ? 2 ?

x?5

},若 A ? B,求实数 m 的取值范围.

?? 2 ? m ? 1 ?2m ? 1 ? 5

,解得: - 3 ? m ? 3

【分析】忽略 A= ? 的情况. 【正解】 (1)A≠ ? 时,A ? B ? ?
?? 2 ? m ? 1 ?2m ? 1 ? 5

,解得: - 3 ? m ? 3 ;

(2)A= ? 时, m ? 1 ? 2 m ? 1 ,得 m ? 2 . 综上所述, m 的取值范围是( ? ? , 3 ]

四、典题训练:
一、选择题:每小题给出的四个选项中,仅有一项是正确的。 1.设集合 I ? { x || x |? 3, x ? Z }, A ? {1, 2}, B ? { ? 2, ? 1, 2} ,则 A ? ( C I B ) ? A.{1} B.{1,2}
2 0 .5

C.{2}

D.{0,1,2} R,命题 q:函数 y ? ? ( 5 ? 2 a ) x 是减函数。 )

2.已知命题 p:函数 y ? log

( x ? 2 x ? a ) 的值域为

若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是( A.a ? 1 B.1<a<2 C.a<2
?1 ?
2

D.a ? 1 或 a ? 2
x)

3.若函数 y ? f ( x ) 的定义域为 ? , 2 ? ,则 f (log ?2 ? 4.已知点 P ( x , y ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,求
y x?2

的定义域为__________;

及 y ? 2 x 的取值范围
1


1 8

5.若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 ( ? ? , 0 ) 上是减函数,且 f ( ) =2,则不等式 f (log
3

x) ? 2

的解

集为____ 6.用

__. 表示 a,b 两数中的最小值。若函数 的图像关于直线

7

x= ?

1 2

对称,则 t 的值为( B.2
1 x ?1

) D.1

A.-2

C.-1

7.函数 y ? ln
y

的大致图象为
y

y

y

?1 O 1

2

x

O

1

2

x ?2

?1

O

x

A.

B.
?2 ?1 O x

C.

D.

8.设 f ? x ? 是定义域为 R 的函数,且 f ? x ? 2 ? ?1 ? f ? x ? ? ? 1 ? f ? x ? ,又 f ? 2 ? ? 2 ? ? ?
f ? 2006 ?

2

,则

=

; ( C. (2,3) D. (3,4)
2

9.方程 2 x ?1 ? x ? 5的解所在区间是 A. (0,1) B. (1,2) 10.(2010 江苏) 已知函数 f ( x ) ? ? x ?
?1, ? 1, x ? 0 x?0



,则满足不等式 f (1 ? x 2 ) ? f (2 x ) 的 x 的范围是____

x 11.设函数 f ( x ) ? log a ( a ? 0 且 a ? 1), 若 f ( x 1 ? x 2 ? x 3 ? ? ? x 2008 ) ? 50 , 则

f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) ? ? ? f ( x 2008 )
2 2 2 2

的值等于

A.10 B.100 C.1000 D.2007 12.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都 有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当 x1 , x 2 ? [0, 3] ,且 x1 ? x 2 时,都有 题: (1)f(3)=0; (2)直线 x=一 6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; (3)函数 y=f(x)在[一 9,一 6]上为增函数 (4)函数 y=f(x)在[一 9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为_____________(把所有正确命题的序号都填上) .. .. . 13、已知定义域为 R 的函数 ①求 a , b 的值; ②若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t 2 ? 2 t ) ? f (2 t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;
8

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

?0

给出下列命

f (x) ?

?2 ? b
x

2

x ?1

?a

是奇函数。

14、设 p : 函数 f ( x ) ? lg( ax 2 ? x ?
2

1 16

a ) 的定义域为 R

,

q : ? x ? R , x ? 2 ax ? 2 ? a ? 0 ,如果命题 p ? q

为真命题,求实数 a 的取值范围。

15、已知函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ? ? ) ,当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,且 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) . (Ⅰ)证明 f ( x ) 在定义域上是减函数; (Ⅱ)如果 f ( 3 ) ? 1 ,求满足不等式 f ( x ) ? f ( 1 ) ≥ ? 2 的 x 的取值范围.
3
x?2


一、考试要求:
(1)导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景. ② 理解导数的几何意义. (2)导数的运算



①能根据导数定义,求函数 y ? c , y ? x , y ? x , y ?
2

1 x

的导数.(理)

② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的
9

导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式:
( c ) ? ? 0 ( c 为常数);
( x )? ? n x
n x x n ?1

( n ? ? ? ) ; (sin x ) ? ? co s x ; (co s x ) ? ? ? sin x ;
x x

( e ) ? ? e ; ( a ) ? ? a ln a ( a ? 0, 且 a ? 1) ; (ln x ) ? ? (lo g a x ) ? ? 1 x lo g a e ( a ? 0, 且 a ? 1)

1 x

;

? ?法则 1: ?u ( x ) ? v ( x ) ? ? u ? ( x ) ? v ? ( x )

?法则 2: ?u ( x ) v ( x ) ? ? u ? ( x ) v ( x ) ? u ( x ) v ? ( x ) ?法则 3: ? u ( x ) ? ? ?
? v(x) ? ? ? ? ? u ?( x ) v ( x ) ? u ( x ) v ?( x ) v (x)
2

?

(v ( x ) ? 0)

(3)导数在研究函数中的应用 ① 了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单 调区间(其中多项式函数一般不超过三次) . ② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极 小值(其中多项式函数一般不超过三次) ;会求闭区间上函数的最大值、最小值 (其中多项式函数一般不超过三次) . (4)生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题. (5)定积分与微积分基本定理 ①了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念 ②了解微积分基本定理地含义

二、重要知识与技能技巧
1、导数的定义 设函数 y=f(x)在点 x0 及其近旁有定义,当自变量 x 在 x0 处有增量(或称改为量)△x, 那么函数 y 相应的有增量 (或称改变量) △y, △y=f(x0+△x)-f(x0)比值 在 x0 到 x0+△x 之间的平均变化率. 如果当△x→0 时,
?y ?x ?y ?x ?y ?x

就叫做函数 y=f(x)

=

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

.

有极限,我们就说函数 y=f(x)在 x0 处可导,并把这个极限值叫做

10

函数 f(x)在 x0 处的导数(或称变化率) ,记作 f′(x0)或 y′|x=x0 或 f′(x)|x=x0.即:
lim f′(x0)= ? x ? 0 ?y ?x ? lim f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x
?x ? 0

.

这里须指出:f′(x0)是函数 y=f(x)在 x0 点的导数值,瞬时速度 v t 就是位移函数 s(t)在
0

点 t0 处的导数,即:S′(t0)=

vt

0

2、求函数 y=f(x)在 x0 点处的导数的步骤 ⑴求函数的增量△y=f(x0+△x)-f(x0) ⑵求平均变化率:
?y ?x

=

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

.
?y ?x

⑶取极限,求函数在 x0 点的变化率,即导数:f′(x0)= ?lim 0 x?

.

3、“函数 f(x)在点 x0 处的导数”、“导函数”及“导数”的概念间的区别与联系: ⑴函数在一点处的导数,就是在该点的函数增量△y=f(x0+△x)-f(x0)与自变量的增量 △x 之比的极限。它是一个常数,不是变量。 ⑵如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导,这时称 y=f(x)在区间(a,b)内可导, 对于区间(a,b)内一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′(x0),这样的对应就构成了 以区间(a,b)为定义域的一个新函数,称为函数 f(x)的导函数,简称导数,所以函数的导数 是对某一区间内任意一点 x 而言的。 ⑶y=f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值, 即 f′(x)| x ? x =f′(x0),值得注意的是:f′(x0)≠[f(x0)]′
0

4、导数的几何意义 ⑴函数 f(x)在点 x0 处有导数,则函数 f(x)的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线 的斜率;但函数 f(x)的曲线在点 x0 处有切线,函数 f(x)在该点处不一定可导。如 f(x)=
x

在 x=0 有切线,但不可导。

⑵函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是指: 曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜 率,即曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0),切线方程为 y- f(x0)=f′(x0)(x-x0)

三、导数的应用及易错点提示
1、利用导数判断函数的单调性 设函数 y=f(x)在某区间内可导,并且在该区间内,f′(x)>0,则 f(x)在该区间内为增 函数;若在该区间内,f′(x)<0,则 f(x)在该区间内为减函数.
11

指出:若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零,不影响函数在该区间内的单调性, 如 y=x ,在(-∞,+∞)内,y=3x ≥0(只在 x=0 处 y′=0)不影响 y=x 在(-∞,+∞)内 为单调增加. 2、求可导函数 f(x)单调区间的一般方法和步骤如下: ⑴确定函数 f(x)的定义区间; ⑵求函数 f(x)的导数 f′(x); ⑶令 f′(x)>0,所得 x 的范围(区间)为函数 f(x)的单调增区间;令 f′(x)<0,得 单调减区间. 3、利用导数求函数的极值 ⑴极值的定义:设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 左右近旁的所有 x 值,都有 f(x)<f(x0), 我们就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0), 我们就说 f(x0)是 f(x)的一个极
3 2 3

如果对 x0 左右近旁的所有 x 值,都有 f(x)>f(x0), 小值,记作 y 极小值=f(x0) 极大值、极小值统称为 f(x)的极值.

指出:一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值可以大于或等于极 大值);极值是函数的局部性质,它仅与左右近旁的函数值进行比较;极值点一定 是区间的内点。可导函数导数为零的点是该点为极值点的必要条件,不是充分条 件。 ⑵极值的判定方法。 当可导函数 f(x)在 x0 处有定义时,判别 f(x0)是极大(小)值的方法是: ①如果在 x0 在左侧近旁 f′(x0)>0,右侧近旁 f′(x0)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 在左侧近旁 f′(x0)<0,右侧近旁 f′(x0)>0,那么 f(x0)是极小值. ⑶求函数的极值的步骤: ①求函数的定义域 ②求导数 f′(x) ③求导数 f′(x)=0 的根. ④检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根的左右的符号,如果左正、右负,那么 f(x)在这个 根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 4、函数的最大值与最小值 ⑴闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函数不一定有最大值 和最小值).
12

⑵求闭区间[a,b]上的连续函数 f(x)的最大值和最小值的步骤: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与端点函数值 f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小 的一个是最小值. ⑶如果函数 f(x)在开区间(a,b)或(-∞,+∞)内可导且有惟一的极值点 x0, 那么当 f(x0) 是极大值时,f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值;当 f(x0)是极小值时,f(x0)就是 f(x)在该区间上的最小值. ⑷对于实际问题,如果连续函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个点使 f′(x)=0,而且实 际问题本身又可以知道 f(x)在(a,b)内必定取得最大值或最小值, f(x0)就是所求的 则 最大值或最小值,这时也就无须判断是极大值还是极小值. 5、易错点提示: (1)注意区分“求曲线 y ? f ( x ) 上过点 M 的切线”与“求曲线 y ? f ( x ) 上在点 M 处的切 线”; 前者只要求切线过 M 点,M 点未必是切点;而后者则很明确,切点就是 M 点。 [举例]求函数 y=x3-3x2+x 的图象上过原点的切线方程 解析:易见 O(0,0)在函数 y=x3-3x2+x 的图象上,y’=3x2-6x+1,但 O 点未必是切点。 设切点 A(x0,y0)∵y’=3x2-6x+1, ∴切线斜率为 3x02-6x0+1,又切线过原点, ∴ k AO ?
y0 x0

= ① [来源:Zxxk.Com] ②

3x02-6x0+1 即:y0=3x03-6x02+x0

又∵切点 A(x0,y0)y=x3-3x2+x 的图象上∴y0=x03-3x02 +x0 由①②得:x0 =0 或 x0 =
3 2

,∴切线方程为:y=x 或 5x+4y=0

点评:一般地,过三次曲线的对称中心(不难证明三次曲线一定是中心对称图形,且对称 中心在曲线上)的切线有且仅有一条;而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切 线有二条。以下给出简单证明(不要求学生掌握) :由于三次曲线都是中心对称曲 线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为
f ( x ) ? ax
3

? bx

。若 M(x1,y1)是三次曲线 f ( x ) ? ax 3 ? bx 上的任一点,设过 M 的切

线与曲线 y=f(x)相切于(x0,y0 ) ,则切线方程为 y ? y 0 ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ) ,因点 M 上此切线上,故 y 1 ? y 0 ? f ?( x 0 )( x 1 ? x 0 ) ,又 y 0 ? ax 0 ? bx 0 , y 1 ? ax 1 ? bx 1 ,所以
3 3

ax 1 ? bx 1 ? ( ax 0 ? bx 0 ) ? ( 3 ax 0 ? b )( x 1 ? x 0 ) ,整理得: ( x 0 ? x 1 ) ( 2 x 0 ? x 1 ) ? 0
3 3 2
2

,解

13

得, x 0 ? x 1 或 x 0 ? ?

x1 2

。 当点 M 是对称中心即 x 1 =[-

x1 2

=0 时,过点 M 作曲线的切

线切点是惟一的,且为 M,故只有一条切线;当点 M 不是对称中心即 x 1 ? 0 时,过 点 M 作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其 中一条就是以 M 为 切点(亦即曲线在点 M 处)的切线。 [巩固] 曲线 y ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 上过点 (1, 3) 的切线方程是 ? [巩固] 5 x ? y ? 2 ? 0 ,或 21 x ? 4 y ? 9 ? 0 (2)“极值点”不是“点”,而是方程 f / ( x ) ? 0 的根。 x 0 是函数 f ( x ) 极值点则 f / ( x 0 ) ? 0 ; 但是 f / ( x 0 ) ? 0 , x 0 未必是极值点(还要求函数 f ( x ) 在 x 0 左右两侧的单调性相反) ;若
f (x0 ) ? 0
/



(或 f / ( x 0 ) ? 0 )恒成立,则函数 f ( x ) 无极值。

典型错误分析与纠错:
例题: 设函数 f ( x ) ? ax ? ( a ? 1) ln( x ? 1) ,其中 a ? ? 1 ,求 f ( x ) 的单调区间 错解:由已知得 f / ( x ) ?
ax ? 1 x ?1 ( a ? ? 1)

(1) 当 ? 1 ? a ? 0 时, f / ( x ) ? 0 函数 f ( x ) 在 ? ? 1, ?? ? 上单调递减, (2) 当 a ? 0 时,由 f / ( x ) =0,解得 x ?
f ( x ), f ( x ) 随
/

1 a

x 的变化情况如下表:
1 a ) 1 a

x

( ?? ,

?1 ? ? , ?? ? ?a ?

f (x)
f (x)

/



0 极小值

+

从上表可知: 当 x ? ( ?? , ) 时, f / ( x ) ? 0 函数在 ( ?? , ) 上单调递减
a a 1 1

当 ? , ?? ? 时, f / ( x ) ? 0 函数 f ( x ) 在 ? , ?? ? 上单调递增
?a ? ?a ?

?1

?

?1

?

错因分析: 本题解答过程中考生易忽视了求函数的单调区间的前提:先求函数定义域,这一点考生务必

14

牢记!这样就需要解 f / ( x ) ?

ax ? 1 x ?1

? 0

这一分式不等式,一方面给解题增加了难度,另一方
ax ? 1 x ?1

面本题由于忽视了定义域限制导致全盘皆输。 正解:由已知得函数的定义域为 ( ? 1, ?? ) ,且 f / ( x ) ?
( a ? ? 1)

(1)当 ? 1 ? a ? 0 时, f / ( x ) ? 0 函数 f ( x ) 在 ? ? 1, ?? ? 上单调递减, (2)当 a ? 0 时,由 f / ( x ) =0,解得 x ?
f ( x ), f ( x ) 随
/

1 a

x 的变化情况如下表:

x

( ? 1,

1 a

)

1 a

?1 ? ? , ?? ? a ? ?

f (x)
f (x)

/



0 极小值

+

从上表可知: 当 x ? ( ? 1, ) 时, f / ( x ) ? 0 函数在 ( ? 1, ) 上单调递减
a
?1 ?a ? ?

1

1 a

当 ? , ?? ? 时, f / ( x ) ? 0 函数 f ( x ) 在 ? , ?? ? 上单调递增
?a ?

?1

?

综上所述: 当 ? 1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 ? ? 1, ?? ? 上单调递减, 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 ( ? 1, ) 上单调递增
a 1

四.典题训练: 1、设 f ( x ) 为可导函数,且满足 lim
x? 0

f (1) ? f (1 ? 2 x ) 2x

? ? 1 ,则过曲线 y ? f ( x )

上点 (1, f (1)) 处

的切线斜率为(



A、 2

B、 ? 1

C、 1

D、 ? 2

2.过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是______. 3、函数 f ( x ) ? x 3 ? a x 2 ? 3 x ? 9 ,已知 f ( x ) 在 x ? ? 3 时取得极值,则 a 等于( ) A、 2 B、 3
1 x

C、 4

D、 5 )

4.曲线 y ? e 2 在点 ( 4, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围 的三角形的面积为( A、 e 2
9
15

2

B、 4 e 2

C、 2 e 2

D、 e 2

5、若 f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? cx ? d , a ? 0 为增函数,则一定有( A、 b 2 ? 4 a c ? 0 B、 b 2 ? 3 a c ? 0 C、 b 2 ? 4 a c ? 0

) D、 b 2 ? 3 a c ? 0

6.已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则 a 的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 7、设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ?( x ) 的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是( )
y y

x x

A

B

y y

x x

C
4 3

D

8..若函数 y=- x3+bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是________.
, ? g ) ) 9、 已知对任意实数 x , f ( ?x ) ?? f (x ) g( x ?( x 有

, x ? 0 时,f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 , x ? 0 且 则

时(

) B、 f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 D、 f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0

A、 f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 C、 f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0

10、已知 f ( x ) 与 g ( x ) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x ) 与 g ( x ) 仅当 x ? 0 时的函数值为 0, 且 f ( x ) ? g ( x ) ,那么下列情形不可能出现的是( A、0 是 f ( x ) 的极大值,也是 g ( x ) 的极大值 B、0 是 f ( x ) 的极小值,也是 g ( x ) 的极小值
16



C、0 是 f ( x ) 的极大值,但不是 g ( x ) 的极值 D、0 是 f ( x ) 的极小值,但不是 g ( x ) 的极值 11、函数 f ( x ) ? x ln x ( x ? 0) 的单调增区间是 12、已知直线 2 x ? y ? 4 ? 0 ,则曲线 y ? e x 上到直线距离最近的点的坐标是 13.设函数 f ( x ) ?
1 3 x ?
3

1 2

ax

2

? x ? b ( a ? 0 ), g ( x ) ? ?

? ax

? f ( x ) ,求f(x)的单调区间。
'

14. 已知 f ( x ) ? 2 a x ? (1)求 a , b 的值

b x

? ln x

在 x ? ? 1, x ?

1 2

处取得极值,

(2)若对 x ? [ , 4 ] 时, f ( x ) ? c 恒成立,求 c 的取值范围
4

1

15.设函数 f ( x ) ? ? x ( x ? a ) 2 ( x ? R ) ,其中 a ? R (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 处的切线方程 (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极大值和极小值 (3) a ? 3 时, 当 证明存在 k ? [ ? 1, 0] , 使得不等式 f ( k ? cos x ) ? f ( k 2 ? cos 2 x ) 对任意的 x ? R 恒 成立

数列
一、 考试内容与要求
17

(1)数列的概念和简单表示法 ① 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) . ② 了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ① 理解等差数列、等比数列的概念. ② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式. ③ 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相 应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

二、重要知识,技能技巧
1、数列是一种特殊的函数,数列单调性是相邻项比较大小, 2.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:定义法 a n ?1 ? a n ? d ( d 为 常 数 )或 a n ?1 ? a n (2)等差数列的通项: a n
? a1 ? ( n ? 1) d

? a n ? a n ?1 ( n ? 2 )



。 , S n ? n a1 ?
n ( n ? 1) 2 a?b 2 d

(3)等差数列的前 n 和: S n ?

n ( a1 ? a n ) 2

。 。

(4)等差中项:若 a , A , b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

提醒:为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2 d , a ? d , a , a ? d , a ? 2 d ?(公差为 d ) ; 3.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差 d ;前 n 和 S n ? n a1 ?
n ( n ? 1) 2 d ? d 2 n ? ( a1 ?
2

d 2

)n

是关于 n 的二次函数且常数项为

0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 , 则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,
{ { { (4) 若 { a n } 、 b n } 是等差数列, { ka n } 、 ka n ? p b n } ( k 、p 是非零常数)、 a p ? n q } ( p , q ? N * ) 、 则

,?也成等差数列,而 { a a } 成等比数列;若 { a n } 是等比数列,且 a n ? 0 , 则 {lg a n } 是等差数列.
S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2n
n

(5)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差 数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组 ? a ?
? 0 ? ?a ? 0 ? n ?或 ? n ? ? a n ?1 ? 0? ? ? a n ?1 ? 0 ? ?

确定

出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求 二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N * 。 4.等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法:定义法 a n ? 1
an ? q ( q 为 常 数 ),其中 q ? 0, a n ? 0 或

a n ?1 an

?

an a n ?1

(n ? 2) 。

(2)等比数列的通项: a n

? a1 q

n ?1

18

(3)等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, S n ? n a1 ;当 q ? 1 时, S n ?

a 1 (1 ? q )
n

1? q

?

a1 ? a n q 1? q



特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要 判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要 对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 (4)等比中项:若 a , A , b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。 提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? a b 。 提醒:为减少运算量,要注意设元的技巧,如 3 数个数成等比,可设为 , a , a q , (公比为
q a

) ; 5.等比数列的性质: (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,
q

6.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 ⑵已知 S n (即 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? f ( n ) )求 a n ,用作差法: a n ? S 1 ? S , ( n ? 2 ) 。 n n ?1 (3)若 a n ? 1 ? a n ? f ( n ) 求 a n 用累加法: a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 2 ? a1 )
? a1 ( n ? 2 ) 。

?S , ( n ? 1)

(4)已知

a n ?1 an

? f (n ) 求 an

,用累乘法: a n ?

an a n ?1

?

a n ?1 an?2

?? ?

a2 a1

? a1 ( n ? 2 ) 。

(5)已知递推关系求 a n ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地, (1)形如 a n ? ka n ?1 ? b ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 a n 。 (2)形如 a n ?
a n ?1 ka n ? 1 ? b

的递推数列都可以用倒数法求通项。

注意: 用 a n ? S n ? S n ?1 求数列的通项公式时, (1) 你注意到此等式成立的条件了吗? n ? 2 , ( 当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ) ; (2)一般地当已知条件中含有 a n 与 S n 的混合关系时,常需运用关系式 a n ? S n ? S n ?1 ,先将 已知条件转化为只含 a n 或 S n 的关系式,然后再求解。 7.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式, 特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.; ③常用公式: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n ( n ? 1) ,.
2

(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一 起,再运用公式法求和. (3) 错位相减法: 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). (4)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那 么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有: ① ③
1 k
2

1 ? 1 ? 1 ; n ( n ? 1) n n ?1
? 1 k ?1
2


1

1 ? 1 (1 ? 1 ); n(n ? k ) k n n?k
)

?

1

2 k ?1

(

1

?

k ?1



1 k

?

1 k ?1

?

1 ( k ? 1) k
19

?

1 k
2

?

1 ( k ? 1) k

?

1 k ?1

?

1 k



④ 2( n ? 1 ? n ) ?

2 n ? n ?1

? 1 ? n

2 n ? n ?1

? 2( n ?

n ? 1) .

(5)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 (6)倒序相加法:到首末等距离的和相等 8. “分期付款”“森林木材”型应用问题 、 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.

三.易错点提示
(1) 忽视通项 如:已知 Sk 表示{an}的前 K 项和,Sn—Sn+1=an(n∈N+) ,则{an}一定是_______。 A、等差数列 B、等比数列 C、常数列 D、以上都不正确 正确答案:D (2) 忽视性质 如:已知数列-1,a1,a2 ,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 ___________。 A、
1 2
a 2 ? a1 b2

的值为

B、—

1 2

C、

1 2

或—

1 2

D、

1 4

正确答案:A (3) 忽视公式 如:数列 ?a n ? 的前 n 项和为 s n =n2+2n-1,则 a 1 ? a 3 ? a 5 ? ? ? a 25 ? ( A 350 B 351 C 337 D 338 )

(正确答案:A)

四.典题练习
1.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3?a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( A.180 B.-180 C.90 D.-90 2.设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95 B.97
2 f (n) ? n 2

) )

(n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为( D.192

C.105

3.已知数列{an}的通项公式 an=log2 整数 n A.有最小值 63 C.有最小值 31 点(Sn ,Sn+1)在 A.直线 y=ax-b 上 C.直线 y=bx-a 上

n+1 (n∈N+),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的正 n+2

B.有最大值 63 D.有最大值 31

4.设数列{an}是公比为 a(a≠1),首项为 b 的等比数列,Sn 是前 n 项和,对任意的 n∈N+ , B.直线 y=bx+a 上 D.直线 y=ax+b 上
1 a

5.已知 1 是 a2 与 b2 的等比中项,又是

与 的等差中项,则
b

1

a ?b a
2

?b

2

的值是(



20

A.1 或

1 2

B.1 或-
1

1 2
*

C.1 或
1

1 3

6.在等比数列{an}中,已知 n∈N ,且 a1+a2+?+an=2n-1,那么 a12+a22+?+an2 等于( A.4n-1 7. 已知 a n ? A. a 1 , a 50 8. 已知: a n ? log
( n ?1)



B. (4n-1)
3

C. (2n-1)2
3

D. n-1)2 (2 )

n? n?

79 80

, n? N?) ( ,则在数列{ a n }的前 50 项中最小项和最大项分别是( B. a 1 , a 8
*

C. a 8 , a 9

D. a 9 , a 50 为整数的数 n 为劣数,则在 ( )

( n ? 2 ) ( n ? Z ) ,若称使乘积 a 1 ? a 2 ? a 3 ? a n

区间(1,2002)内所有的劣数的和为 A.2026 B.2046 C.1024

D.1022

9. an}是递增数列, 若{ 对于任意自然数 n, n=n2+λ n 恒成立, a 则实数λ 的取值范围是_______. 10.设 ?a n ? 是公比为 q 的等比数列,其前 n 项积为 T n ,并满足条件
a 1 ? 1 , a 99 a 100 ? 1 ? 0 , a 99 ? 1 a 100 ? 1 ? 0

,给出下列结论:

(1) 0 ? q ? 1 ; (2) T 198 ? 1 ; (3) a 99 a 101 ? 1 ; (4)使 T n ? 1 成立的最小自然数 n 等于 199 ,其中正确的编号为 11. (江苏 10)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 12.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若
Sn Tn

=

2n 3n ? 1

,则

a 11 b11

=_________.

13(本小题满分 12 分)甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第一分钟走 2 m,以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后,几分钟相遇. (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分 钟走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

21

14. (本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn?Sn-1=0(n≥2) a1= . ,
2

1

(1)求证:{

1 Sn

}是等差数列;

(2)求 an 表达式; (3)若 bn=2(1-n)an(n≥2) ,求证:b22+b32+?+bn2<1.

15. 数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足:an+2-2an+1+an=0(n∈N*) , (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 b n
? 1 n (12 ? a n ) ( n ? N ), S n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? b n
*

,是否存在最大的整数 m,使得任意的

n 均有 S n

?

m 32

总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由

不等式
一、 考试内容与要求
(1)不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式的实际背景 (2)一元二次不等式 ①会从实际情境抽象出一元二次不等式模型 ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。 (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组 ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 (4)基本不等式 ①了解基本不等式的证明过程 ②会用基本不等式解决简单的最大小问题
22

二、重要知识及技能技巧
1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘, (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方: 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号 得出结果; (2)作商(常用于分数指数幂的代数式)(3)分析法; ; (4)平方法; (5)分子(或 分母)有理化; (6)利用函数的单调性; (7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较 法(作差、作商)是最基本的方法。
2 2 3、常用不等式有: (1) a ? b ? a ? b ?

2

2

ab ?

2 1 ? 1 a b

(根据目标不等式左右的运算结构选

用) ; (2)a、b、c ? R, a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号)(3)若 ;
a ? b ? 0, m ? 0 ,则
b a ? b?m a?m

(糖水的浓度问题) 。

4、证明不等式的方法: 比较法:作差——分解因式、配方等——判断符号——结论(也可作商与比较) 综合法:利用不等式性质、定理证明不等式 分析法:从欲证不等式出发,寻找它成立的充分条件.注意书写的规范性,否则可能不得 分。 反证法:反设→推出矛盾→否定假设→得出结论 放缩法:对通项进行适当的放缩 构造法:构造函数 h ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ,利用函数的单调性、有界性,或转化为恒成立 问题 图像法:类比几何意义,做出函数图像 常用的放缩技巧有: ?
n 1 1 n ?1 ? 1 n ( n ? 1) k ? ? 1 n
2

?

1 n ( n ? 1) ? k

? 1

1 n ?1 ?

?

1 n 1 ? k k ? k ?1

k ?1 ?

1 k ?1 ?

2 k

k ?1 ?

5、简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并 使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的 右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x ) 的符号变化规 律,写出不等式的解集。 6、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分 母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时, 一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 7、绝对值不等式的解法: (1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集) : (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合;
23

8、 含参不等式的解法: 求解的通法是 “定义域为前提, 函数增减性为基础, 分类讨论是关键. ” 注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?” 。注意:按参数讨论,最后应按参数取 值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集.

三、易错点提示
1、利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到: “一正二定三相等,和定积最大,积定和 最小”这 17 字方针。 2、不等式的恒成立,不等式恒成立问题的常规处理方式?(常应用函数方程思想和“分离变 量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法) .恒成立问题 若不等式 f ? x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ? m in ? A 若不等式 f ? x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ? m ax ? B 3、. 能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ? m ax ? A 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ? m in ? B .

四.典题练习
1、对于实数 a , b , c 中,给出下列命题: ① 若 a ? b , 则 ac 2 ? bc 2 ;② 若 ac 2 ? bc 2 , 则 a ? b ; ③ 若 a ? b ? 0 , 则 a 2 ? ab ? b 2 ; ④ 若 a ? b ? 0 , 则 ⑥ 若 a ? b ? 0 , 则 a ? b ;⑦ 若 c ? a ? b ? 0 , 则 其中正确的命题是__ 2、下列命题中正确的是 A、 y ? x ?
1 x

1 a b

?

1 b

; ⑤ 若 a ? b ? 0, 则
1 a ? 1 b

b a

?

a b



a c?a

?

c?b

;⑧ 若 a ? b ,

,则 a ? 0, b ? 0 。

____ ( ) B、 y ?
x ?3
2

的最小值是 2
4 x

x ?2
2

的最小值是 2

C、 y ? 2 ? 3 x ? D、 y ? 2 ? 3 x ?
4 x

( x ? 0 ) 的最大值是 2 ? 4 3

( x ? 0 ) 的最小值是 2 ? 4 3

3、若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值是___ 4、正数 x , y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则
1 x ? 1 y

__; ___ ___

的最小值为___

5、正数 x , y 满足 x ? y ? 2 xy ,则 x ? 2 y 的最小值为___ 6、如果正数 a 、 b 满足 ab
? a ? b ? 3 ,则 ab

的取值范围是___ ___

7、解不等式 ( x ? 1)( x ? 2 ) 2 ? 0 8、不等式 ( x ? 2 ) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是__ 9、设 a ? 0 且 a ? 1, t ? 0 ,比较 log a t 和 log
2 1 t ?1
a

__ 的大小;
2
24

10、对于满足 0 ? 11、已知不等式

p ? 4的实数 p , 使 x

2

? px ? 4 x ? p ? 3

恒成立的 x 的取值范围是________

x?4 ? x?3 ?a

在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围;

三角函数、平面向量
一、考试内容及要求
(1)任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念. ② 了解弧度制概念,能进行弧度与角度的互化. (2)三角函数 ① 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、 余弦、 正切的诱导公式, 能画出 的 图象,了解三角函数的周期性. ③ 理解正弦函数、余弦函数在区间 ?0 , 2 ? ? 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与
x

轴的交点等) ,理解正切函数在区间 ? ?
?

?

? ? ?
, 2 ? 2 ?

内的单调性.

④ 理解同角三角函数的基本关系式:
sin
2

x ? cos

2

x ? 1,

sin x cos x

? tan x .

⑤ 了解函数 y ? A sin( ? x ? ? ) 的物理意义;能画出
A, ? ,?

y ? A sin( ? x ? ? )

的图象,了解参数

对函数图象变化的影响.

⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函数解决一些简单实际问 题. (3)平面向量的实际背景及基本概念 ① 了解向量的实际背景. ② 理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. ③ 理解向量的几何表示. (4)向量的线性运算 ① 掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. ② 掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. ③ 了解向量线性运算的性质及其几何意义. (4)平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义. ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
25

③ 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件. (5)平面向量的数量积 ① 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ② 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. ③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. (6)向量的应用 ① 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ② 会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题

二、重要知识、技能技巧
(一)角的概念的推广: 1.角的定义 2.与 ? 角终边相同的角(含 ? 角)的表示形式:__________________________ 3.象限界角,象限角的表示: 4. ? ,
?
2

角的关系:

(二)弧度制: 1.1 弧度角的定义: 2.弧度与角度的换算关系: 3.弧度数公式: 4.弧长公式、扇形面积公式: (三)任意角的三角函数: 1.定义: sin ? ?
y r cos ? ? x r tan ? ? y x

2.象限界角的三角函数值: 3.象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三两切,四余弦 (四)三角函数线的定义及常用结论: 1.定义: sin ? ? MP
cos ? ? OM
?

tan ? ? AT

2.常用结论: sin x ? x ? tan x ( x ? [ 0 , ] )
2

3.应用:利用三角函数线解三角不等式。 (五)三角函数的图象与性质: 1.熟记 y ? sin x , y ? cos x 在 x ? [ 0 , 2? ] 上的图象; y ? tan x 在 x ? ( ? 在 x ? ( 0 , ? ) 上的图象。
? ?
, 2 2 )

的图象;

26

2.掌握 y ? A sin( ? x ? ? ) ? k (或 y ? A cos( ? x ? ? ) ? k )的图象的作法: 〈1〉 “五点法” :列表、描点、连线 〈2〉图象变换法:实质:与一般函数图象的变换规律完全一样! 3.图象和性质: 函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

( ?? , ?? )
值域 极值性

( ?? , ?? )
[ ? 1,1]
x ? 2 k ? 时, y max ? 1

{ x | x ? k? ?

?
2

且 x ? R}

[ ? 1,1]
x ? 2 k? ?

R

?
2

时, y max ? 1

x ? 2 k? ?

?
2

时, y min ? 1

x ? 2 k ? ? ? 时, y min ? 1

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

2 2 ( k ? Z )时,为增函 ( k ? Z )时,为增函数 数 ( k ? Z )时,为增函 x ? [ 2 k? ? ? ,2 k? ] ? 3? 数 x ? [ 2 k? ? ,2 k? ? ] 2 2 ( k ? Z )时,为减函 ( k ? Z )时,为减函数 数
2 2

x ? [2 k? ?

?

,2 k? ?

?

]

x ? [ 2 k? ,2 k? ? ? ]

x ? (k? ?

?

, k? ?

?

)

周期性

T ? 2?
一般性周期: 2 k ?
y ? A sin( ? x ? ? ) ? k

T ? 2?
一般性周期: 2 k ? 的 周
y ? A cos( ? x ? ? ) ? k

T ??
一般性周期: k ? 的
y ? Ata

的周

期T ?

周期 T ?

期T ?

对称中心: 对称轴方程: (六)三角函数公式 1.诱导公式: 2.同角三角函数的基本关系式: 3.和角公式:

对称性

对称中心: 对称轴方程:

对称中心:

27

4.差角公式: 5. 倍角公式: 6.半角公式: (七).解三角形 1.正弦定理
a sin A ? b sin B ? c sin C
a
2

=2R.
?b
2

2.余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC;cosC=
1

?c

2

.
1

2 ab

3.三角形的面积公式:S△= ah(其中 h 是 a 边上的高). S△= absinC= ? a ? b ? c ? ? r (r 是
2 2

1

2

? ABC

的 内 切 圆 的 半 径 ) =
1 2

abc 4R

( R

是 ? ABC

的 外 切 圆 的 半 径 )

?

p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) ( p ?

( a ? b ? c ))

4.由 A+B+C=π ,易推出 ①sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),tanA=-tan(B+C) ②sin
A 2

=cos

B ?C 2

, cos

A 2

=

B ?C 2

,tan

A 2

=cot

B ?C 2

.

⑽a>b ? A>B ? sinA>sinB. ⑾锐角△ABC 中,A+B>
?
2

,A>

?
2

-B,sinA>cosB,cosA<sinB,a2+b2>c2,同样可类比锐角△

ABC 中结论. (八)利用正、余弦定理判断三角形的形状 由已知,利用三角形中的主要知识点,特别是角的关系和边角关系,推出满足题设条件的三 角形的形状。 (九)利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形.

三.易错点提示
1.先将函数 y=sin2x 的图象向右平移 则所得函数图象对应的解析式为 A.y=sin(-2x+ π ) 3 2π ) 3 π 个单位长度,再将所得图象作关于 y 轴的对称变换, 3 ( B. D ) π ) 3 2π ) 3

y=sin(-2x-

C.y=sin(-2x+

D.

y=sin(-2x-

错解:B

错因:将函数 y=sin2x 的图象向右平移

π ? 个单位长度时,写成了 y ? sin( 2 x ? ) 3 3

2.零向量与任何向量的数量积等于 0,故平行向量不具有传递性即 a . // b , b // c推不出 a // c . 3.平面向量数量积的消去律不成立,即若 c 是非零向量,且 a ? c ? b ? c 并不能得到 a ? b ,只
28

可得到 a 、 b 在 c 上的投影相等.
? ? ? ? (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点 a ? b ,则 a ? b 。 ??? ???? ? 相同,终点相同。 (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)若 ABCD 是平行四边形,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? AB ? DC 。 (5)若 a ? b , b ? c ,则 a ? c 。 (6)若 a // b , b // c ,则 a // c 。其中正确的是______

例题:例如下列命题: (1)若

(答: (4) (5) ) 四.典题训练: (1) 已 知 向 量 a 和向量 b 的夹角为 3 0 o , | a |? 2,| b |? ___________。 (2)已知向量 a ? (1, 3 ) , b ? ( ? 2 , 0 ) ,则 a ? b =_____________________. (3)已知向量 a ? (1, n ), b ? ( ? 1, n ) ,若 2 a ? b 与 b 垂直,则 a ? ( A. 1
? ? ? ?
? ? 3

,则向量 a 和向量 b 的数量积 a ? b =

?

?

? ?



B. 2
?

C. 2
?

D.4
? ?

(4)平面向量 a 与 b 的夹角为 6 0 0 , a ? ( 2, 0 ), | b |? 1 ,则 | a ? 2 b| ? ( (B) 2 3 (C)4
?
3

) (A)

3

(D)12 1 )( x ? R ) 有下列命题,○y=f(x)图象关于直线 x ? ?
?
6 )

(5)关于函数 f ( x ) ? 4 sin( 2 x ?

?
6

2 对称 ○ 4 ○由

y=f(x) 的 表 达 式 可 改 写 为 y ? 4 cos( 2 x ?
f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 可得 x 1 ? x 2 必是 ?

3 ○ y=f(x) 的 图 象 关 于 点 ( ?

?
6

,0 )

对称 。

的整数倍。其中正确命题的序号是
?
3 ,

6.设ω >0,函数 f(x)=2sinω x 在 [ ? 7.若 A ? ?0 , ? ? ,且 sin A ? cos A ? 8 .已知向量 a
7 13

?
4

]

上为增函数,那么ω 的取值范围是_____
?

,则

5 sin A ? 4 cos A 15 sin A ? 7 cos A

_______________ .

? ( 2 sin x , cos x ), b ? ( 3 cos x , 2 cos x ), 定义函数 f ( x ) ? a ? b ? 1

(1)求函数 f ( x 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的单调减区间;
y

(3)画出函数 g ( x ) ? 中心.

f ( x ), x ? [ ?

7? 12

,

5? 12

] 的图象,由图象研究并写出 g ( x )

的对称轴和对称

2 1

?

7? 12

?

5? 12

?

?
4

?

?
12

290

?
12

?
4

5? 12

x

-1 -2

9.设函数 f ( x ) ?

3 co s ? x ? sin ? x co s ? x ? a (其中 ? ? 0, a ? R ) .且 f ( x ) 的图像在 y
2

轴右侧的第一个最高点的横坐标是

?
6


?
3 , 5? 6 ] 上的最小值为 3

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)如果 f ( x ) 在区间 [ ?

,求 a 的值.

10.已知定义在区间[-?,
2 3

2 3

?

]

上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= ?
2

?
6

对称,当 x?[-

?
6



?

]时,函数 f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0,2 3

<?<

?
2

),其图象如图所示。

(1)求函数 y=f(x)在[-?, (2)求方程 f(x)=
2 2

?

]的表达

式;

的解。

直线与圆的方程
一、考试内容及要求:
(1)内容 1、直线的倾斜角和斜率。 2、直线方程的点斜式和两点式。直线方程的一般式。 3、两条直线平行与垂直的条件。 4、两条直线的交角。点到直线的距离。 5、用二元一次不等式表示平面区域。简单的线性规划问题。 (2)考试要求: 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式。掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。
30

二、重要知识、技能技巧
1、直线倾斜角的范围 ?0 , ? ? 。 如(1)直线 x cos ? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是_ __; (答: [0 ,
?
2? 3

?
6

]?[

5? 6

,? ) )

( 2 ) 过 点 P ( ? 3 ,1), Q ( 0 , m ) 的 直 线 的 倾 斜 角 的 范 围 ? ? [ ,
3

], 那么 m

值的范围是

___________________ (答: m ? ? 2 或 m ? 4 ) 2、直线的斜率: (1)定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ,即 k = tan ? ( ? ≠90°);倾斜角为 90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点 P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) 的直线的斜率为 k ?
y1 ? y 2 x1 ? x 2

? x1

? x2 ? ;

(3)直线的 方向向量 a ? ( m , n ) ,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: k A B ? k B C 。 如(1) 两条直线斜率相等是这两条直线平行的__________条件; (答:既不充分也 不必要) (2)实数 x , y 满足 3 x ? 2 y ? 5 ? 0 ( 1 ? x ? 3 ),则
y x

的最大值、最小值分别为______ (答:
2 3 , ?1 )

3、直线的方程: (1)点斜式:已知直线过点 ( x 0 , y 0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ,它不包括 垂直于 x 轴的直线。 (2)斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包括 垂直于 x 轴的直线。 (3)两点式:已知直线经过 P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) 两点,则直线方程为 它不包括垂直于坐标轴的直线。 (4)截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b ,则直线方程为
x a ? y b ? 1 ,它不包括
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1



垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 (5)一般式:任何直线均可写成 A x ? B y ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 如 (1) 经过点 (2, 且方向向量为 v =(-1, 3 )的直线的点斜式方程是___________; 1) (答: y ? 1 ? ? 3 ( x ? 2 ) ) (2)直线 ( m ? 2) x ? (2 m ? 1) y ? (3 m ? 4) ? 0 ,不管 m 怎样变化恒过点______; (答: ( ? 1, ? 2 ) ) (3)若曲线 y ? a | x | 与 y ? x ? a ( a ? 0) 有两个公共点,则 a 的取值范围是_______ (答: a ? 1 ) 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,; ) (2)直线在坐标轴上的截距可正、 可负、 也可为 0.,直线两截距相等不要忘了直线过 原点; 如过点 A (1, 4) ,且纵横截距的相等的直线共有___条。 答案:2 条
31

?

4.设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线过点 ( x 0 , y 0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x 0 ) ? y 0 ,当斜率 k 不 存在时,则其方程为 x ? x 0 ; (3)与直线 l : A x ? B y ? C ? 0 平行的直线可表示为 A x ? B y ? C 1 ? 0 ; (4)与直线 l : A x ? B y ? C ? 0 垂直的直线可表示为 B x ? A y ? C 1 ? 0 . 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离: (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 A x ? B y ? C ? 0 的距离 d ?
A x0 ? B y0 ? C A ?B
2 2


C1 ? C 2 A ?B
2 2

(2)两平行线 l1 : A x ? B y ? C 1 ? 0, l 2 : A x ? B y ? C 2 ? 0 间的距离为 d ? 6、直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 与直线 l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 的位置关系:



(1)平行 ? A1 B 2 ? A2 B1 ? 0 (斜率)且 B1C 2 ? B 2 C 1 ? 0 (在 y 轴上截距) ; (2)相交 ? A1 B 2 ? A2 B1 ? 0 ; (3)重合 ? A1 B 2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C 2 ? B 2 C 1 ? 0 。 (4)直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 与直线 l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 垂直 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 。 如(1)已知直线 l 的方程为 3 x ? 4 y ? 1 2 ? 0 ,则与 l 平行,且过点(—1,3)的直线方程 是______; (答: 3 x + 4 y - 9 = 0 ) (2)设 a , b , c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 x sin A ? ay ? c ? 0 与 bx ? y sin B ? sin C ? 0 的位置关系是____; (答:垂直) 7、对称(中心对称和轴对称)问题——代入法: 如(1)已知直线 l1 与 l 2 的夹角平分线为 y ? x ,若 l1 的方程为 ax ? by ? c ? 0( ab ? 0) ,那么
l 2 的方程是___________; (答: bx ? ay ? c ? 0 )

(2)点A(4,5)关于直线 l 的对称点为B(-2,7),则 l 的方程是_________; (答: y = 3 x + 3 ) 8、简单的线性规划: (1)二元一次不等式表示的平面区域的画法:直线定边界,点定区域, (任取一点,坐 标代入不等数组成立则在区域内) (2)目标函数最优解,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解; (3)求解线性规划问题的步骤是什么? ①根据实际问题的约束条件列出不等式;②做出可行域,写出目标函数; ③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解。 如 (1) (-2,t ) 点 在直线 2x-3y+6=0 的上方, t 的取值范围是_________; 则 (答:t (2)不等式 | x ? 1 | ? | y ? 1 |? 2 表示的平面区域的面积是_________; (答:8) (3)如果实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ? | x ? 2 y ? 4 | 的最大值______(答:21)
?2 x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 2 ? 0 ?
? 2 3



(4)在求解线性规划问题时要注意: ①将目标函数改成斜截式方程;②寻找最优解时注意作图规范。

三、易错点提示
1、直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量,应
32

正确理解;直线方程有五种形式,其中点斜式要熟练掌握,这五种形式的方程表示的直 线各有适用范围,解题时应注意不要丢解;含参数的直线方程问题用数形结合法常常简 捷些。 2、直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式,其中 点斜式是最基本的,其他形式的方程皆可由它推导。直线方程的特殊形式都具有明显的 几何意义,但又都有一些特定的限制条件,因此应用时要注意它们各自适用的范围,以 避免漏解。 3 、使用直线方程要注意方程的限制条件:例如点斜式和斜截式要求斜率存在;截 距式不适用于过原点的直线;两点式要求直线既不与 x 轴垂直,也不与 y 轴垂直。

四.典题训练:
(一)选择题 1.若直线过点 (1, 2 ) , ( 4, 2 ? A
30
0

3 ) ,则此直线的倾斜角是(
60
0





45

0





90

0

2. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) 3. 直线 2 x ? (A)平行 B (2,1) C (1,-2) D (1,2)

y ? m ? 0 和 x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是

(B)垂直

(C)相交但不垂直 (D)不能确定

4.已知 A(1,2) 、B(-1,4) 、C(5,2) ,则 Δ ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为 ( ) (A)x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 ( )
? y 0 ? k ? x ? x 0 ? 表示

(D)y-3=0

5.下列说法的正确的是

A.经过定点 P0 ? x 0 , y 0 ? 的直线都可以用方程 y B.经过定点 A ?0, b ? 的直线都可以用方程 y C.不经过原点的直线都可以用方程
x a ? y b

? kx ? b 表示

? 1 表示

D.经过任意两个不同的点 P1 ? x 1, y 1 ?、 P2 ? x 2, y 2 ? 的直线都可以用方程

?y ?

y 1 ?? x 2 ? x 1 ? ? ? x ? x 1 ?? y 2 ? y 1 ? 表示
y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P

6.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3 x ? A. 3 x ?
y?6?0
0

的轨迹方程为(



B. x ? 3 y ? 2 ? D. 3 x ?

0

C. x ? 3 y ? 2 ?

y?2?0
33

(二)填空题 7.已知点 A ( ? 5, 4) 和 B (3, 2 ) 则过点 C ( ? 1, 2) 且与 A,B 的距离相等的直线方程 为 . . . .

8.过点P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是 9.直线 5x+12y+3=0 与直线 10x+24y+5=0 的距离是 10. 原点O在直线 l 上的射影为点H (-2, , 1) 则直线 l 的方程为 11.直线 x cos ?
? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是_

12.如果实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z
?2 x ? y ? 5 ? 0 ?

?x ? y ? 2 ? 0 ?

? | x ? 2 y ? 4 | 的最大值________

(三)解答题 13、 ①求平行于直线 3x+4y-12=0,且与它的距离是 7 的直线的方程; ②求垂直于直线 x+3y-5=0, 且与点 P(-1,0)的距离是 3
5 10

的直线的方程.

14、 求函数 f ( x ) ?

x ? 2x ? 2 ?
2

x ? 4x ? 8
2

的最小值。

15. 12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0. (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 负半轴于 A,交 y 正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,试求 S 的最小值并求 出此时直线 l 的方程.

圆与方程
一、考试内容及要求
圆与方程: ① 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. ② 能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方 程,判断两圆的位置关系. ③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
34

④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

二、重要知识、技能技巧
1、圆的方程: ⑴圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 。
2 2

⑵圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? D x ? E y ? F ? 0(D 2+ E 2- 4F ? 0) , 特 别 提 醒 : 只 有 当 D 2+ E 2- 4F ? 0 时 , 方 程 x 2 ? y 2 ? D x ? E y ? F ? 0 才 表 示 圆 心 为
(? D 2 ,? E 2 ) ,半径为 1 2 D ? E ? 4F
2 2

的圆

( 二 元 二 次 方 程 A x 2 ? B xy ? C y 2 ? D x ? E y ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 什 么 ? ( A ? C ? 0, 且 B ? 0 且 D 2 ? E 2 ? 4 A F ? 0 ); ) 如(1)圆 C 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为____________; (答: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ) (2)圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________; (答: ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 9 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ) (3)如果直线 l 将圆:x2+y2-2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围 是____; (答:[0,2]) ( 4 ) 若 k ? R , 且 k ? ?? 2 , 2 ? , 则 k 的 值 使 得 过 A (1,1) 可 以 做 两 条 直 线 与 圆
x ? y
2 2

? kx ? 2 y ? 1 2

5 4

k ? 0

相切的概率等于(
3 4

) 答案:B,请认真研究其中奥妙。
2 2

A.

B.

1 4

C.

D.不确定

10、点与圆的位置关系:已知点 M ? x 0 , y 0 ? 及圆 C :x - a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0 ? , ? (1)点 M 在圆 C 外 ? C M ? r ? ? x 0 ? a ? ? ? y 0 ? b ? ? r 2 ;
2 2

(2)点 M 在圆 C 内 ? C M ? r ? ? x 0 ? a ? ? ? y 0 ? b ? ? r 2 ;
2 2

(3)点 M 在圆 C 上 ? C M ? r ? ? x 0 ? a ? ? ? y 0 ? b ? ? r 2 。
2

2

如点 P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1 的内部,则 a 的取值范围是______ (答:| a 11、直线与圆的位置关系:直线 l : A x ? B y ? C ? 0 和圆 C :x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ?
2 2

|?

1 13



?r

? 0 ? 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断:

(1) 代数方法 (判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况) ? ? 0 ? 相交;? ? 0 ? : 相离; ? ? 0 ? 相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) :设圆心到直线的距离为 d ,则 d ? r ? 相交; d ? r ? 相离; d ? r ? 相切。 提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
( , 如圆 2 x 2 ? 2 y 2 ? 1 与直线 x s i n? ? y ? 1 ? 0 ? ? R ? ?

?
2

? k?

, k ? z ) 的位置关系为____;

(答:相离) 12、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断) :已知两圆的圆心分别 为 O 1, O 2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则(1)当 |O 1O 2 ?? r ? r 时,两圆外离; (2)当 |O 1O 2 ?? r ? r 时, 1 2 1 2 两圆外切; (3)当 r1 ? r2 < |O 1 O 2 ?? r1 ? r2 时,两圆相交; (4)当 |O 1 O 2 ?? ? r1 ? r2 | 时,两圆内切;
35

(5)当 0 ? |O 1 O 2 ?? ? r1 ? r2 | 时,两圆内含。 如双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的左焦点为

F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别 (答:内切)

以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为 13、圆的切线与弦长: (1)切线: ①过圆 x 2 ? y 2 ? R 2 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 圆的切线方程是: xx 0 ?

yy 0 ? R

2



一般地,如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的距离等于半径) ; ②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何 方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求; 如设 A 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 上动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为 __________; (答: ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ) (2)弦长问题:圆的弦长的计算:常用弦心距 d ,弦长一半 a 及圆的半径 r 所构成的
2 1

直角三角形来解: r 2 ? d 2 ? ( a ) 2 ;
2

1

14.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、 弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 如 1.如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线
kx ? y ? 1 ? 0
x? y ? 0

对称,则不等式组:
1 4

kx ? my ? 0 y ? 0

表示的平面区域的面积是 C.1 D.2 答案 B

A.

B.
? y
2

1 2

2.在圆 x 2

? 5 x 内 , 过点 (

5 3 , ) 2 2

有 n 条弦长的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项
?( 1 1 , ] ,则 6 3

a1,最长弦长为数列的第 n 项 an,若公差 d
A.{4,5,6} B.{6,7,8,9} 答案:A 三.易错点提示

n 的取值的集合为





C.{3,4,5}

D.{3,4,5,6}

1 再用点斜式,斜截式求直线的方程时,是否注意到 k 不存在的情况? 2 直线方程的几种形式:点斜式,斜截式,两点式,截距式,一般式以及各种形式的局 限性。 3 注意二元二次方程表示圆的条件,善于利用切割线定理,垂径定理等平面中圆的有关 定理解题,注意将圆上动点到定点定直线的距离转化为圆心到它们的距离。 4 处理直线与圆的位置关系方法 (1) 几何法 点到直线的距离与半径的大小; (2) 判别式法 直线方程与圆的方程联立,得一元二次方程判别式, 5 由直线的斜率求其倾斜角范围问题,一般是:先求出直线的斜率 k 的范围,再利用数
36

形结合求倾斜角的范围 1.圆 C 与圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 关于直线 y 2.圆心在直线 2 x ?
? ?x

对称,则圆 C 的方程为____________;

y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________;

3.如果直线 l 将圆:x2+y2-2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围是 ____;
x ? y
2 2

4.若 k ? R ,且 k ? ?? 2 , 2 ? ,则 k 的值使得过 A (1,1) 可以做两条直线与圆
? kx ? 2 y ? 5 4 k ? 0

相切的概率等于( C.
3 4

) D.不确定

A.

1 2

B.
x a
2 2

1 4

5.双曲线

?

y b

2 2

? 1 的左焦点为

F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别

以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为 6.在圆 x 2
? y
2

? 5 x 内 , 过点 (

5 3 , ) 2 2

有 n 条弦长的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项
?( 1 1 , ] ,则 6 3

a1,最长弦长为数列的第 n 项 an,若公差 d
A.{4,5,6} B.{6,7,8,9}

n 的取值的集合为





C.{3,4,5}

D.{3,4,5,6}

7.直线与圆位置关系: 若过点 A ( 4, 0 ) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 1 有公共点, 则直线 l 的 斜率的取值范围为( A. [ ?
3, 3]

) B. ( ?
3, 3)

C. [ ?

3 3

,

3 3

]

D. ( ?

3 3

,

3 3

)

8.弦长问题:已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 .设该圆过点(3,5)的最长弦和最短 弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) (A)10 6 (B)20 6 (C)30 6 (D)40 6

9.圆的方程:已知圆 C 的圆心与点 P ( ? 2,1) 关于直线 y

? x ? 1 对称.直线 3 x ? 4 y ? 1 1 ? 0 与

圆 C 相交于 A , B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为__________________. 10.圆中最值问题: 已知直线 l : x ? 距离的最小值为_______。 11.若存在实数 k 使得直线 l :kx-y-k+2=0 与圆 C:x2+2ax+y2-a+2=0 无公共点,则实数 a 的取值范围是: 。
y?4?0

与圆 C : ? x ? 1 ?

2

? ? y ? 1? ? 2 , C 则
2

上各点到 l 的

12.从直线 x-y+3=0 上的点向圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 引切线,则切线长的最小值是 ( )
37

A.

3 2 2

B.

14 2

C.

3 2 4

D.

3 2 2
y?c?0

13. 能够使得圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上恰有两个点到直线 2 x ? 的一个值为: ( A.2 ) B. 5
? y
2

距离等于 1 的 c

C.3
? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, 则

D. 3 5
y?4 x?2
4 3 ]

14.实数 x,y 满足 x 2 A. [
4 3 , ?? )

的取值范围为 ( D. [ ?
4 3



B. [ 0 ,

4 3

]

C. ( ?? , ?

,0 )

15.已知两圆 O1:x2+y2=16,O2:(x-1)2+(y+2)2=9,两圆公共弦交直线 O1O2 于 M 点,则 O1 分有向线段 MO2 所成的比 λ = ( A.
6 5

) B.
5 6

C.-

6 5

D.-

5 6

16. 若 A ? {( x , y ) | x 2 ? y 2 ? 16 }, B ? {( x , y ) | x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? a ? 1}且 A ? B ? B , 则 a 的取值范围是 A. a ? 1 B. a ? 5 ( ) D. a ? 5

C. 1 ? a ? 5

答案 1: x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ) 2: ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 9 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 3:[0,2]) 10
2

4:B

5 内切

6 12

A B

7 13

C

8

B A

9 15

x ? ( y ? 1) ? 1 8
2 2

11

-7<a<-2 或 a>1.

C 14

C

16

C

四.典题训练: 1 、过原点且倾斜角为 6 0 ? 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为(
A 3 B 2 C 6 D 2 3



2、 x 2 ? y 2 ? 4 kx ? 2 y ? k ? 0 所表示的曲线是圆的充要条件是(
A 1 4 ? k ? 1 B k ? 1 4 或k ?1 C k ? 1 4 或k ? 1 D k?R



3、 已知一圆的圆心为(2,-3), 一条直径的端点分别在 x 轴和 y 轴上, 则此圆的方程是(
A C

)

? x ? 2? ? x ? 2?

2

? ( y ? 3) ? 1 3
2

B D

?x ? 2?

2

? ( y ? 3) ? 1 3
2 2

2

? ( y ? 3) ? 5 2
2

?x ? 2?

? ( y ? 3) ? 5 2
2

4、 a 为任意实数时, 当 直线 ( a ? 1) x ? 的圆的方程为()

y ? a ?1 ? 0

恒过定点 C , 若以 C 为圆心, 半径为 5

38

A x ? y ? 2x ? 4 y ? 0
2 2

B D

x ? y ? 2x ? 4 y ? 0
2 2

C x ? y ? 2x ? 4 y ? 0
2 2

x ? y ? 2x ? 4 y ? 0
2 2

5 若圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? (A)-2 或 2 (B)
1 2 或 3 2

y ? a ? 0 的距离为

2 2

,则 a 的值为

(C)2 或 0

(D)-2 或 0

6、已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 7、若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,则 8、已知两圆 x 2 9、直线 x ?
? y
2 2

y?2 x ?1
2

的最小值为

。 ,则它们的公共弦长为 .

? 10 x ? 10 y ? 0 和 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 40 ? 0

y ?1 ? 0

被圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 所截得的线段的中点坐标是 以后,再反射到一点 B

10、光线从点 A 线从 A 到 B 的长度

( ? 3, 5) 射到直线 l : x ? y ? 1 ? 0

? 2, 4 ? .这条光

11、圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 3 x ? 4 y ? 4 ?

0

的距离 d ? .



12、直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 8 相交于 A、B 两点,则?A B? ? 13、 求与直线 x ? 方程。
y?2?0

和曲线 x 2 ? y 2 ? 1 2 x ? 1 2 y ? 5 4 ? 0 都相切的半径最小的圆的标准

14、直线 y

? kx ? 1 与圆 x ? y ? m
2 2

恒有公共点,求 m 的取值范围。

15、曲线 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? 3 ? 0 上两点 P , Q 满足: (1)关于直线 kx ?
y?4?0

对称, (2) O P

? OQ

,求直线 P Q 的方程.

圆锥曲线与方程
39

一、 考试内容与要求
(1) 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 (2) 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质。 (3) 了解圆锥曲线的简单应用。 二、 重要知识,技能技巧

(一)椭圆. (1)定义: 用式子表示: MF 1 ? MF 2 ? 2 a ? 2 a ? 2 c ? 注意:1° 2 a ? | F1 F 2 | :椭圆;2° 2 a ? | F1 F 2 | :线段 F1 F 2 ;3° 2 a ? | F1 F 2 | :不表示任何 轨迹; (2)标准方程: (1)焦点在 x 轴中心在原点: 2)焦点在 y 轴中心在原点:
y a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0



?

x b

2 2

? 1(a ? b ? 0 )

(3) a , b , c , e 的意义与关系: a 2 ? b 2 ? c 2 (对应的几何线段??) e ? ; (4) M ( x 0 , y 0 ) 是椭圆
x a
2 2

c a

,

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )上一点: | MF | max ? a ? c



| MF | min ? a ? c ,并且距离最大和最小的点恰为椭圆长轴的两个端点

(5)弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x 1 ? x 2 | ? 1 ? k 2 ( x 1 ? x 2 ) 2 ? 4 x 1 x 2 ? 1 ? k 2
1 k
2

? a

(a 是联

立后 x 的二次项系数)或 | AB |? 1 ?

| y1 ? y 2 | ;

(6)直线和椭圆的位置关系:相离、相切、相交 判断方法:代数法 (1) 相离:没有公共点 ? ? ? 0 ; (2) 相切:只有一个公共点 ? ? ? 0 (3) 相交:两个交点 ? ? ? 0 ; (二)双曲线: (1)定义:用式子表示: MF 1 ? MF 2
? 2 a ?2 a ? 2 c ?

注意: (1)1° 2 a ? | F1 F 2 | 双曲线;2° 2 a ? | F1 F 2 | 以 F1、 F 2 为端点的射线; 3° 2 a ? | F1 F 2 | 不表示任何轨迹; (2)满足 | MF 1 | ? | MF 2 |? 2 a ( 2 a ? 2 c )的动点 M 的轨
40

迹仅为双曲线靠近 F 2 的一支,满足 | MF 2 | ? | MF 1 |? 2 a ( 2 a ? 2 c )的动点 M 的轨迹仅为双曲 线靠近 F1 的一支。 (2)双曲线的标准方程: 1°中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线标准方程:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0



2°中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线标准方程: 3°渐近线: y ? ?
y a
2 2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 )

b a

x或

x a

?

y b

? 0


a b
y a x b
c a

双曲线

?

x b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )类同 渐近线: y ? ?

x或

?

? 0



(3) a , b , c , e ,的意义与关系: c 2 ? a 2 ? b 2 (对应的几何线段??) e ? ; (4)直线和双曲线的位置关系: 相离:没有公共点:1° ? ? 0 ;2°渐近线 相切:只有一个公共点, ? ? 0

相交:1°两个交点 ? ? ? 0 ;2°一个交点 ? 二次方程二次项的系数为零,直线和渐近 线平行(故当直线和双曲线只有一个公共点是包括两种情况:1°相切: ? ? 0 ; 2°一个交点 ? 直线和渐近线平行;也即直线和双曲线只有一个公共点是直线与双曲线 相切的必要不充分条件。 ) (5)弦长公式:
| AB |? 1? k
2

| x1 ? x 2 | = 1 ? k
2

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2
2 2

1? k

2

? a

或? 1 ?

1 k
2

| y1 ? y 2 |

通径: | PQ |? 2 ep ?

2b a

; P (c,

b

) , Q (c ,?

b

)

a

a

(6)等轴双曲线的方程: x 2 ? y 2 ? ? ( ? ? 0 ) 离心率: e ?
2
x
2

渐近线: y ? ? x 或 x ? y ? 0
? y
2

(7)与双曲线

? 1 ( m ? n ? 0 )有共同渐近线的双曲线系方程:

x

2

?

y

2

? ? (其

m

n

m

n

中 ? 为参数, ? ? 0 ) (8)渐近线方程是
x m ? y n ? 0 的双曲线系方程:
x m
2 2

?

y n

2 2

? ?

(? ? 0 )

41

(三)抛物线 (1)定义:用式子表示: | (2)抛物线的标准方程:
y
2

MF | ? d

? 2 px ( p ? 0 )

y

2

? ? 2 px ( p ? 0 )

x

2

? 2 py ( p ? 0 )

x

2

? ? 2 py ( p ? 0 )

(3)抛物线的图形与性质: 标 准 方 程

y
?p

2

? 2 px

y
?p

2

? ? 2 px

x
?p

2

? 2 py
? 0?

x
?p
y

2

? ? 2 py

? 0?
p 2
P

? 0?
l:x ? p 2
P

? 0?

l:x ? ?

y

P

y

y

图 形 开 口 范 围 对 称轴 性 顶 点 焦 点 准 质 线 离 心率 焦 半径

o

˙
F(

p

,0 )

x

2

˙
F

o

x

l: y ? ?

˙
o
F

l: y ?

p 2

p

x

2

˙
P F

o

x

向右
x ? 0, y ? R

向左
x ? 0, y ? R

向上
y ? 0, x ? R

向下

y ? 0, x ? R

x轴
原点 O ( 0 , 0 )

y 轴

F(

p 2

,0 )

F (?

p 2

,0 )

F (0,

p 2

)

F (0,?

p 2

)

x ? ?

p 2

x ?

p 2

y ? ?

p 2

y ?

p 2

e ?1
| PF |? x 0 ? p 2
| PF | ? ? x 0 ? p 2 | PF | ? y 0 ? p 2 | PF |? ? y 0 ? p 2

42


2p

径 (4) 直线和抛物线的位置关系: (1)直线和抛物线位置关系的判定方法:代数法 1°相离:没有公共点: ? ? 0 ; 2°相切:只有一个公共点, ? ? 0 3°相交:1°两个交点 ? ? ? 0 ;2°一个交点 ? 直线和抛物线的对称轴平行。 (故当直线和抛物线只有一个公共点时,包括两种情况:1°相切: ? ? 0 ;2°一个交点
?

直线和抛物线对称轴平行) (5)直线和抛物线的相交弦的弦长的求法: 1°弦长公式: | AB |?
1? k
2

| x1 ? x 2 | ?

1?

1 k
2

| y1 ? y 2 |

2°焦点弦长的求法:设过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点 F 的弦为 AB , A ( x 1 , y 1 ) ,
B ( x 2 , y 2 ) ,则有: |

AB |? x 1 ? x 2 ? p ;

三、 易错点提示
⑴设直线方程时,应注意对斜率 k 是否存在进行讨论,有时为避免讨论或方便起 见,可设直线方程为 x=my+n,但应注意此时直线不可能垂直于 y 轴. ⑵判断两直线位置关系时,联系向量垂直共线。 ⑶直线与双曲线右支(或左支)相交于两点时,联立它们的方程,消 y 得关于 x 的一元二次方程,此方程应满足:
? 二次项系数 ? ?? ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? 0 ?x x ? 0 ? 1 2 ? 0 ? 二次项系数 ? ?? ? 0 (或 ? ? x1 ? x 2 ? 0 ?x x ? 0 ? 1 2 ? 0



⑷直线与圆相交时弦长问题用勾股定理解较简单 . ⑸椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

=1 中,a 2 -b 2 =c 2 (a 最大),e= =1 中,a 2 +b 2 =c 2 (c 最大),e=
c a

c a ?

?

b 2 1? ( ) a b 2 1? ( ) a

.;

双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

⑹直线与圆锥曲线位置关系的题型,一般是先联立它们的方程,然后消 y(或 x) 得 x(或 y)的一元二次方程,要考虑到判别式△,要注意有意识地应用距离公式,韦达 ..
43

定理 、坐标运算、三角形面积公式等,有时还需要用基本量思想设参数等,有时要注 .. 意对向量条件如 AM ? BM =0 即 M 为 AB 中点,AM M、B 共线等的转化. ⑺涉及焦点三角形问题可考虑用解三角形及第一定义知识解题;涉及圆锥曲线上 两点的对称、弦的中点问题可考虑用韦达定理或代点作差法解题 . 二、命题规律、典型题型、通性通法剖析: 1.规律特点:考察定义、方程、几何性质、位置关系等。通过几何图形、判别式、韦达 定理、点差法等进行研究。
? BM

=0 即∠AMB=90°;AM

// BM

即 A、

四、 典型题目
(一)椭圆 1. 椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的离心率为
2 2

1 2

,则 m =

4

m x a
2 2

2. 已知椭圆

?

y b

? 1(a

>0, b >0)的左焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,若 。

BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为 3. 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F

, 右顶点为 A , B 在椭圆上, B F ? x 点 且 )

轴, 直线 A B 交 y 轴于点 P .若 A P ? 2 P B ,则椭圆的离心率是( A.
3 2

??? ?

??? ?

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

4.已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25 及点 A (1, 0 ), Q 为圆上一点,AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M,则 点 M 的轨迹方程为 .

5.P 为直线 x-y+2=0 上任一点,一椭圆的两焦点为 F1(-1,0) 2(1,0) 、F ,则椭圆过 P 点且长轴最短时的方程为 6. 已知焦点在 x 轴上的椭圆
? ?


x
2

?

y b

2 2

? 1, ( b ? 0 ),

F1,F2 是它的两个焦点, 若椭圆上存在点 P, 。

4

使得 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则 b 的取值范围是 7.椭圆
x
2

?

y

2

9

4

? 1 的焦点为 F1 、 F 2

,点 P 为其上的动点,当 ? F1 PF 2 为钝角时,点 P 横坐

标的取值范围是________。 8.已知 P 是椭圆
x
2

?

y

2

? 1 上一点,F1 和
44

F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△PF1F2 的面积

5

4

为( A.


4 3 3

B. 4 ( 2 ? 3 )
x
2

C. 4 ( 2 ? 3 )
y b
2 2

D.4 )

9.若动点( x , y )在曲线
?b2 ? 4 ? A. ? 4 ?2b ? ( 0 ? b ? 4 ), (b ? 4 )

?

? 1( b ? 0 )

上变化,则 x 2 ? 2 y 的最大值为 (
( 0 ? b ? 2 ), (b ? 2 )

4

?b2 ? 4 ? B. ? 4 ?2b ?

C.

b

2

?4

D.2 b

4

(二)双曲线 1.双曲线 m x 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? A. ?
1 4

B. ? 4
? y
2

C. 4
2

D.

1 4

2. P 是等轴双曲线 x 2 设

? a (a ? 0)

右支上一点, 1、 2 是左右焦点, PF 2 ? F1 F 2 ? 0 , F F 若

|PF1|=6,则该双曲线的方程为 3.过双曲线 2x2-y2=2 的右焦点 F 的直线交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,则这样的直 线有 条。 4.双曲线 tx 2 ? y 2 ? 1 ? 0 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则双曲线的离心率为: A. 5 B.
5 2

C.
x
2

3 2

D.

3





5.与双曲线 线的距离是: (

?

y

2

? 1 有共同渐近线,且过 A ( ? 3 , 3 2 ) 的双曲线的一个焦点到一条渐近

9

16



A.

2 4

B. 2 2

C.

3 2 4

D. 2 。

6.曲线 C: x ? 1 ? y 2 与直线 y=kx+1 有两个不同的公共点,则 k 的取值范围是 7. 设双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)两焦点

Y P Q X F2

为 F1、 2,点 Q 为双曲线上除顶点外的任一点,过 、F 焦点 F2 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 M,则 M 点轨迹是( ) B.双曲线的一部分; D.圆的一部分
45

M F1 O

A.椭圆的一部分; C.抛物线的一部分;

8.P 是双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的右支上一点,M、N

分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的 ( )

9

16

点,则|PM|-|PN|的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9

9.等轴双曲线 x2-y2=a2,(a>0)上有一点 P 到中心的距离为 3,那么点 P 到双曲线两个焦 点的距离之积等于 (三)抛物线 1.抛物线 y ? ax 2 的准线方程为 y ? 2 ,则 a 的值为 (A)
1 8



(B) ?
2

1 8

(C) 8

(D) ? 8

2.]若椭圆 x 2
a

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为

F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx

的焦点分成 5∶3 的两段,则此椭圆的离心率为 : 3.AB 是抛物线 y 2
? 2x

的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( B. 1
2



A.2

C. 3
2

D. 5
2

4.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线
l

的斜率的取值范围是: ( A.[1 2

) D.[-4,4]



1 2

]

B.[-2,2] C.[-1,1]

5.如图,设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作 抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.则△APB 的重心 G 的轨迹 方程为 .

6. 已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, y12+y22 则 的最小值是 .
? 0

7.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) 上一定点 P( x 0 , y 0 ) y 0 (

)作两条直线分别交抛物线于
y1 ? y 2 y0

A( x 1 , y 1 ) ,B( x 2 , y 2 ) ,若 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,则

=



概率与统计
一 、考试内容及要求 1.概率 (1)事件与概率:了解两个互斥事件的概率加法公式 (2)古典概型
46

① 理解古典概型及其概率计算公式. ② 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. (3)随机数与几何概型 ① 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. ② 了解几何概型的意义. (4)概率(仅理科) ① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. ② 理解超几何分布并能进行简单的应用. ③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型及二项分 布,并能解决一些简单的实际问题. ④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的 均值、方差,并能解决一些实际问题. ⑤ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.统计 (1)随机抽样 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法. (2)总体估计 ① 会列频率分布表、 会画频率分布直方图、 频率折线图、 茎叶图, 理解它们各自的特点. ②会计算数据标准差. ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差) ,并给出合理的解释. ④ 会用样本的频率分布估计总体分布, 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特 征,理解用样本估计总体的思想. ⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. (3)变量的相关性 ① 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系. ② 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 3.统计案例 了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题. 回归分析了解回归的基本思想、方法及其简单应用

二、重要知识、技能技巧
(一).随机事件的概率 1、事件的分类: 2、概率定义:. 3、等可能性事件的概率:事件 A 的概率 P(A)=
m n

.

[例题]1 将三个不同的小球随意放入 4 个不同的盒子中,求 3 个小球恰好在 3 个不同盒

47

子中的概率.(P(A)=

A4 4
3

3

?

3 8

)

[例题]2 设 10 件产品中有 4 件次品,6 件正品,求下列事件的概率:①从中任取 2 件都是次 品;②从中任取 5 件恰有 2 件次品;③从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品;④从中依次 取 5 件恰有 2 件次品。 (答:①
2 15

;②

10 21

;③

44 125

;④

10 21



(二) 、互斥事件有一个发生的概率 1、互斥事件,对立事件定义 2、互斥事件的充要条件 A、B 互斥 ? P(A+B)=P(A)+P(B) A1,A2,?,An 彼此互斥 ? P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 3、对立事件的概率:P(A)+P( A )=P(A+ A )=1 ∴P(A)=1-P( A ). [注意] ①互斥事件是对立事件的必要不充分条件; ②如果 A、B 互斥,则 A 与 B , A 与 B,A 与 B 不一定互斥; ③把一个复杂事件分解成几个彼此互斥事件时要做到不重复不遗漏; ④计算稍复杂事件的概率通常有两种方法: a.将所求事件化成彼此互斥事件和; b.先去求事件的对立事件概率,然后再求所求事件概率. [例题]1 从一副扑克牌(52 张)抽出 1 张,放回后重新洗牌,再抽出 1 张,前后两次所抽的 牌为同花的概率.(P=
C 13 C 13 52
2 1 1

?4=

1 4

)

[例题] 2 有 A、B 两个口袋,A 袋中有 4 个白球和 2 个黑球,B 袋中有 3 个白球和 4 个黑球, 从 A、B 袋中各取两个球交换后,求 A 袋中仍装有 4 个白球的概率。 (答:
8 21

) ;

(三) 、相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件定义. ⑵两个相互独立事件的充要条件:A、B 相互独立 ? P(A?B)=P(A)?P(B). ⑶独立重复试验: 如果一次试验中某事件发生的概率为 P, 那么在 n 次独立重复试验中这 k k n-k 个事件恰好发生 K 次的概率是 Pn(k)=Cn P (1-P) . [注意]①如果 A、B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也是相互独立的。 ②独立重复试验应满足条件:a.每次试验之间是相互独立的;b.试验结果只有发生与 不发生两种之一;c.每次试验过程重复,且发生的机会是均等的. [例题]某人向某个目标射击,直至击中为止,每次射击击中目标的概率为 ,求在第 n
3 1

次才击中目标的概率并证明,这样无限继续下去,目标迟早被击中. 略解:第 n 次才击中目标,Pn=(1- )n-1?( ),??,如此下去,
3 3
2 n 1? ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 3 P= + ? +( )2? +?+( )n-1? = ? 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1? 3
48

1

1



→1.

(四) 、几何槪型 1.定义:如果事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成正比,则称这样 的概率模型为几何模型。 构成事件 A 的区域长度(面积、体 积) 2. 公式: P ( A ) ?
试验的全部结果所构成
2

的区域长度(面积、体

积)

如:在面积为 10 cm 的Δ PBC 内任取一点 P,求所得的Δ PBC 面积小于 5 cm 2 的概率。 (答 案:
3 4



(五) 、条件概率 1.条件概率的定义:在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫做条件概率。用符号 P ( B | A ) 表示。 2.条件概率公式: P ( B | A ) ?
P( AB ) P ( A) ( P ( A) ? 0)

注:1°一般的概率乘法公式: P ( A ? B ) ? 2°求条件概率的方法: ①用公式: P ( B | A ) ?
P( AB) P ( A)

P ( A) ? P (B | A)

②依据: P ( B | A ) ?

n( AB ) n( A)

(六) 、几个重要分布 1.两点分布:若随机变量 X 的分布列为两点分布列,则 X 服从两点分布。 两点分布列
?

0
1? p

1
p

P

2.二项分布: 如果在一次随机试验中, 某事件发生的概率为 p , 那么在 n 次独立重复试验中, 这个事 件发 生的 次数 ? 是一个 随机 变量 ,并 且 P (? ? k ) ? C nk p k q n ? k (其 中 q ? 1 ? p , ) ,则称这样的随机变量服从参数为 n 和 p 的二项分布,记为: ? ~ B ( n , p ) ,其分布列为:
23 0 ? p ? 1 , k ? 1,,? , n

?
P
0

0
Cn p q
0 n

1
Cn p q
1 1 n ?1

? ?
k

k
Cn p q
k n?k

? ?
n

n
Cn p q
n 0

3.超几何分布:在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品的概率为
P(X ? k) ? C M C N ?M CN
n k n?k

, k ? 0,1, 2 ? m 其中 m ? m in { M , n } ,且 n ?

N

,M

? N

,n , M , N ? N ? 。

则称分布列 为

?
0

0
C M C N ?M CN
n n

1
C M C N ?M CN
n 1 n ?1

?
k

k
C M C N ?M CN
n n?k

?
m

m
C M C N ?M CN
n n?m

P

?

?

超几何分布列。如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几何分布 列。 (七) 、离散型随机变量的分布列及期望与方差
49

求离散型随机变量的概率分布的步骤: ①设出随机变量,定出随机变量 ? 的所有可能值 x i ; ②求出随机变量 ? 取各值的概率 P (?
? xi )

= pi ;

③列出表格。 4.离散型随机变量的期望与方差 (1)期望与方差的定义:一般地,若离散型随机变量的概率分布为:
?
P

x1

x2
p2

? ?

xi pi

? ?

p1

则称 E ? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x i p i ? ? ? x n p n 为 ? 的数学期望或均值,简称为期望。 一般地,若离散型随机变量的概率分布为:
?
P

x1

x2
p2

? ?

xi pi

? ? 为随机变量 ? 的方

p1

则称
D ? ? ( x1 ? E ? ) ? p 1 ? ( x 2 ? E ? ) ? p 2 ? ? ? ( x i ? E ? ) ? p i ? ? ? ( x n ? E ? ) ? p n
2 2 2 2

差。 期望与方差的性质: E ( a ? ? b ) ? aE ? ? b (其中 a , b 是常数) 特别地:① E ( a ? ) ? aE ? ;② E ( b ) ? b
D (a? ? b) ? a D ?
2

(其中 a , b 是常数)

特别地:① D ( a ? ) ? a D ? ;② D ( b ) ? 0 (3)常见离散型随机变量的期望与方差: 两点分布:若随机变量 ? 服从两点分布,则 E ? ? p ; D ? ? p (1 ? p )
2

二项分布:若 ? ~ B ( n , p ) ,则 E ? ? np ; D ? ? npq (其中 q ? 1 ? p ) 正态分布:若 ? ~ N ( ? , ? 2 ) ,则 E ? ? ? ; D ? ? ? 2 (八) 、正态曲线: 1. 正态曲线的特点: 曲线是单峰的,它关于直线 x ? ? 对称; 当 x ? ? 时,曲线上升;当 x ? ? 时,曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以
x

轴为渐进线,向它无限靠近;曲线在 x ? ? 出达到峰值
?

1 2?



正态曲线下方, x 轴上方的总面积为 1。 2.正态分布在三个特殊区间内取值的概率: 2 若 ? ~ N ( ? , ? ) ,则: P ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) = 0 . 6826
P ( ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544

P ( ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 0.9974

(九) 、统计 ⑴总体、个体、样本、样本容量、频数、频率、平均数、方差、标准差. x ?
50

x1 ? x 2 ? ? ? x n n



S2= [( x 1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 ]
n

1

或 S2= ( x 12 ? x 22 ? ? ? x n2 ? n x ) .
n

1

2

例如:已知数据 x1,x2??xn,其平均数为 x ,方差为 S2. 则:kx1+m,kx2+m,?kxn+m 的平均数为 k x +m.方差为 k2S2. ⑵抽样方法:①简单随机抽样;②系统抽样(了解) ;③分层抽样 每个个体被抽到的概率为
n N

3.频率分布直方图 频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小 .频率 =
频数 样本容量

.小长方形面积=组距?

频率 组距

=频率.所有小长方形面积的和=各组频率和=1.

三.易错点提示
1. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解; 第一: 互斥事件研究的是两个事件之间的关系, 第二:所研究的两个事件是在一次实验中涉及的,第三:两个事件互斥是在实验的结果不 能同时出现来确定的。 2. 在应用题背景条件下,能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或互相独立,即不重复 又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键,也是考查学生分析问题、解决问题能力的 重要环节。 3. 古典概型满足两点:所有的基本事件只有有限个;每个基本事件的发生都是等可能的。而 几何概型适用于有无限多个结果而又是等可能的实验。 4. 问题要弄清几个基本概率事件:等可能事件、互斥事件、相互独立事件 、独立重复试验、 合理选择公式,注意解题的规范性,注意过程的分解。 5. 直方图:长方形的面积=
频率 组距 ? 组距

=频率,所有小长方形面积和等于 1.
n

0 6. 分布列: 离散型随机变量的概率分布的两个本质特征: ? p i ? 1( i ? 1, 2 ,3 ......, n ) 与 ? p i ? 1 是
i ?1

确定分布列中参数值的依据。 7. 由于两点分布于二项分布的均值与方差都有关或得直接结论, 因此在解题重要重视这两类 特殊数列的简化作用。

错误典例:
1. 设袋中有 4 只白球和 2 只黑球,现在从袋中无放回的摸出 2 只球 (1) 求这 2 只球都是白球的概率。 (2)求这 2 只球中 1 只是白球 1 只是黑球的概率。 ( ,
2 8



5 15

2. 在等腰直角三角形 ABC 中,过直角顶点 C 在 ? ACB 内部任作一条射线 CM,与线段 AB 交于 点 M,求 AM<AC 的概率 (
3 4
51

)

3. 袋中有 5 只白球,4 只黑球,陆续从中取出 3 只球(不放回),求顺序为“黑白黑”的概率。 (
5 42



4. 假定生男生女是等可能的,某家庭有 3 个孩子,其中有 1 名女孩,求至少有 1 个男孩的概 率。 (
6 7


2 3

5 若对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲解出该题的概率是 是 6
4 5

,乙解出该题的概率

,设接出该题的人数是 X,求 EX.

(

22 15

)

某射手有 5 发子弹,射击一次命中的概率为 0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹

用尽,求耗用子弹数 ? 的分布列
?

1

2

3

4

5

P

0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001

四 .典题训练: 1 袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同 的概率是________; 2 一项“过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的 点数之和大于 n 2 ,则算过关,那么,连过前二关的概率是________; 3 一个口袋内装有 2 个白球和 3 个黑球,则先摸出 1 个白球后放回,再摸出一个白球的 概率是( )A.
2 3

B.

1 4

C.

2 5

D.

1 5

4 已知男人中有 5℅患色盲,女人中 0.25℅有患色盲.从 100 个男人和 100 个女人中任 选一人, (1)求此人患色盲的概率; (2)若此人是色盲,求此人是男人的概率
频率/组距

5 如图 2 是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图 (样本容量 n=200) ,若成绩不低于 60 分为及格,则 样本中的及格人数是_____;

0.018 0.012 0.009 0.006 0.005

分数 20 40

0

图2

60

80

100

6.已知数据 x 1 , x 2 , ? , x n 的平均数 x ? 5 ,方差 S 2

? 4

,则数据 3 x 1 ? 7 ,3 x 2 ? 7 , ? ,3 x n ? 7 的平均数

和标准差分别为 ( ) A.15,36 B.22,6 C.15,6 D.22,36 2 7 .设一组数据的方差是 s ,将这组数据的每个数据都乘以 10,所得到的一组新数据的方差是 A.0.1s2 B.s2 C.10s2 D.100s2 ( ) 8 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名高三学生的视 力情况,得到频率分布直方图,如右, 频率
52
组距

0.3

由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组的频数成 等差数列,设最大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 b,则 a, b 的值分 别为 ( ) A.0,27,78 B.0,27,83 C.2.7,78 D.2.7,83 9 .设一组数据的方差是 s2,将这组数据的每个数据都乘以 10,所得到的一组新数据的方差是 ( ) 2 A.0.1s B.s2 C.10s2 D.100s2 10 .若样本 x1+1,x2+1,?,xn+1 的平均数是 7,方差为 2,则对于样本 2x1+1,2x2+1,?,2xn+1, 下列结论中正确的是 ( ) A.平均数是 7,方差是 2 B.平均数是 14,方差是 2 C.平均数是 14,方差是 8 D.平均数是 13,方差是 8 11 .某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取一 个容量为 n 的样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2,则 n= _______; 12(08.山东理科)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对 本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为
2 2 1 2 3

,乙队中 3 人答对的概率分

别为 , , ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ? 表示甲队的总得分.
3 3 2

(Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于 乙队总得分”这一事件,求 P ( A B ) .

立体几何
一、考试内容及要求
① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单 物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能 识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图, 了解空间图 形的不同表示形式. ④ 会画出某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作 严格要求).
53

⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) (2)点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补 ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的 有关性质和判定定理 理解以下判定定理: (1) 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 (2) 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行 (3) 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直 (4) 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直 理解以下性质定理,并能够证明: (1) 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面得交线和 该直线平行 (2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行 (3) 垂直于同一平面的两条直线平行 (4) 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 ③ 能运用公理,定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

二、重要知识及技能技巧。
(一)多面体与旋转体的几何性质,侧面积,体积. 1.多面体:棱柱,棱锥,棱台(正棱柱,正棱锥,正棱台) 旋转体:圆柱,圆锥,圆台 (1)要掌握几何体的性质 (2)能将侧面展开,会求侧面积. (3)掌握体积公式.柱体的体积 V ? S h ;锥体的体积 V ?
V ? 1 3 h ( s1 ? s1 s 2 ? s 2 )
4 3 1 3 Sh

;台体的体积

(4)球的体积和表面积公式:V= ? R 3 , S ? 4 ? R 2 。 特别注意:①正三棱锥与正四面体的联系与区别;②棱与侧棱的区别;③面对角线与体 对角线的区别;④几类特殊的平行六面体: {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}; ? ? ? ? 2、直观图的画法(斜二侧画法规则) : 3.三视图 ①三视图的画法规则是:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽,看不到的棱画成虚线。
54

三视图的排列顺序是:先画正视图,侧视图画在正视图的右边,俯视图画在正视图的下方。 ②三视图中的线是立体图中的各顶点在三个垂直平面(可以用长方体的三个相邻面作为 投影面)上的投影连线(也叫轮廓线) 。 ③由三视图能准确地画出立体图形,是高考的一个新的热点。 注意球的截面的性质, (1)利用 Rt ? 求解, R 2 ? r 2 ? d 2 , (2)构造球内接长方体求解, (3)球的定义, 特别提醒:求多面体体积的常用技巧是割补法(割补成易求体积的多面体。补形:三棱 锥 ? 三棱柱 ? 平行六面体;和等积变换法(平行换点、换面). 4、空间点、直线、平面间的关系 三个公理和三条推论:公理 1:是判断直线在平面内的常用方法。公理 2、证多点共线和 找两面交线的方法,公理 3:公理 3 和三个推论是确定平面的依据。 5、空间直线的位置关系:平行,相交,异面. 6、异面直线所成角 ? 的求法:1)范围: ? ? (0, ] ; (2)求法:平移(中点平移,顶点
2

?

平移以及补形法)法与向量法(主要使用建立空间坐标系,利用向量的夹角公式:
cos ? ? a ?b a ?b

)

7 直线与平面的位置关系:主要研究直线与平行,垂直,相交,在平面内. 8、直线与平面平行的判定和性质: 9、直线和平面垂直的判定和性质: 10、了解三垂线定理及逆定理:正定理:面内的直线与斜线的射影垂直,那么它也和这 条斜线垂直。在高考中可以直接使用。 11、直线和平面所成的角: (1)定义: (2)范围: [0 ? , 9 0 ? ] ; (3)求法: 12、平面与平面的位置关系:平行,相交,垂直. 13、两个平面平行的判定和性质: 14、二面角: (理科用) (1)作平面角的主要方法:①定义法:直接在二面角的棱上取一 点(特殊点) ,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形 的特性;②三垂线法:过其中一个面内一点作另一个面的垂线,然后作一线连一线证一线得 出平面角;③垂面法:过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角; (2)二面角的范围: [0, ? ] ; (3) 二面角的求法: ①转化为求平面角; ②面积射影法: 利用面积射影公式 S 射= S 原 ? co s ? , 其中 ? 为平面角的大小。③法向量法:建空间坐标系,求出两个平面的法向量,然后使用公 式. 15、两个平面垂直的判定和性质: (1)判定:①判定定理:如果一个平面经过另一个平 面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。②定义法:即证两个相交平面所成的二面角为直 二面角; (2)性质:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另 一个平面。 特别指出:立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即:
线∥线 ? ? 线∥面 ? ? 面∥面 ? ? 判定 性质 ? ? ?? 线 ⊥ 线 ? ? 线 ⊥ 面 ? ? 面 ⊥ 面 ? ? ? ? ? ? 线∥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面∥面 ? ?

18、空间距离的求法: (特别强调:立体几何中有关角和距离的计算,要遵循“一作,二
55

证,三计算”的原则) (1)点到直线的距离:一般作出垂线再求解。 (2)点到平面的距离:①垂面法:借助于面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点确定 已知面的垂面是关键;②体积法:转化为求三棱锥的高;③等价转移法。 (3)直线与平面的距离:前提是直线与平面平行,利用直线上任意一点到平面的距离都 相等,转化为求点到平面的距离。 20、你熟悉下列结论吗? (1)从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠BOC 上的 射影在∠BOC 的平分线上; (2)AB 和平面所成的角是 ? 1 ,AC 在平面内,AC 和 AB 的射影 A B ? 成 ? 2 ,设∠BAC= ? 3 ,则 cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ; (3)如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线也垂直于第三个平面; (4)在三棱锥中:①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ? 顶点在底上射影为底面外 心;②侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ? 顶点在底上射影为底面垂心;③顶点到底面三角形各 边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内 ? 顶点在底 上射影为底面内心. (5)正四面体边长为 a 则它的高是
6 3 a

,内切圆半径 r ?

6 12

a

,外接圆半径 R ?

6 4

a

21.空间向量 (1) 空间向量及其运算, ①空间向量的加法与减法, 数乘运算及运算律和平面向量类同. ② 共线向量(也叫平行向量) a ∥ b ? a ? ? b ( b ? 0 ) : ③ a ? b ? a ? b co s a ? b , a ? b ? b ? a ; a ? a ; a ? b ? a ? b ? 0 中点向量 P M ?
PG ?
? ?
? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

?2

?

?

?

?

1 2
?

(PA? PB )

?

?

(M 为线段 AB 的中点) 为 ? A B C 重心,则 ;G

1 3

( P A ? P B ? P C ) .④空间向量基本定理,首先选三个不共面的向量作为基向量,然后任

?

?

一个向量都可以用基向量来表示. (2)空间向量的坐标运算: a ? ( a1 , a 2 , a 3 ), b ? ( b1 , b 2 , b3 ) ,① a ? b ?
?
? ?
? ?

a? b ?
?

?

, a ∥ b ? a = ? b =(
?

?

?

?

?

) ??R ) ( ;

;平面法向量 n 的求法是: (3)空间角与距离的向量解法:
a ? b ?

?

①异面直线所成的角: A ? a , B ? a , C ? b , D ? b , 设 且直线 a 与 b 是异面直线, A B , C D 就 则 是异面直线 a 与 b 所成的角或它的补角; ②二面角:设 ? , ? 是二面角 ? ? ? ? ? 的两个面, m , n 分别是 ? , ? 的法向量,当这两个法向 量的方向都指向二面角的内部或外部时则这个二面角的大小是 ? ? m , n ; 当这两个法向量的 方向一个指向二面角的内部另一个指向外部时,则这个二面角的大小是 m , n ; ③直线与平面所成角 ? :设直线与平面交点为 A,P 为直线上的点,P 点到平面的距离为 d ,
56
? ? ? ?

?

?

?

?

则 sin ? ?

d PA

。其中 P 点到平面的距离 d 可以用法向量法求出。
?

④点到平面的距离:P 为平面外一点,A 是平面内的任一点, n 是平面的法向量,则 P 点到
PA ? n
? ?

这个平面的距离是 d ?

?



n

(4)空间位置关系的向量解法: ① 三点 A 、 B 、 C 共线 ? A B ? ? A C ; ②两线平行 A B ∥ C D ? A B ? ? C D ; ③两线垂直 A B ⊥ C D ? A B ? C D ? 0 ; ④两平面垂直:设 m , n 分别是平面 ? , ? 的法向量,那么 ? ? ? ? m ? n ? 0
? ? ? ?
? ? ? ?

?

?

三.易错点提示
1、公式记忆错误致误 例 1 底面是菱形的直棱柱,它的对角线的长分别是 9 和 15,高是 5,求这个棱柱的侧面积. 错解:设底面菱形的边长为 x ,则 (
? 菱形的边长 x ? 2 7

2 x) ? 5 ? 9
2 2

2



, .

? S ? 4 ? 2 7 ? 5 ? 40 7

剖析:直棱柱的侧面积为底面周长乘于高.错解中把底面菱形当成了正方形. 正解:设底面两条对角线的长分别为 a、 b ,则 a 2 ? 5 2 ? 9 2 , b 2 ? 5 2 ? 1 5 2 ,
?a ? 56 , b ? 10 2


a 2 b 2 ( ) ?( ) ?8 2 2

? 菱形的边长 x ?



? S ? 4 ? 8 ? 5 ? 160 .

2.简单的组合体画不出适当的截面图致误 例 2 已知球的内接正方体的体积为 V ,求球的表面积. 错解:如图,作圆的内接正方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为 x ,球的半径为 R ,则 有:
? x3 ? V ? ? ? 2x ? 2R ? ( 1)


2x

( 2)
2 2

解得: R

?

3

V


3

x

? S 球 ? 4? R ? 2?
2

V

2

.
57

即球的表面积为 2 ? 3 V 2 . 剖析:过球内接正方形的一个对角面作球的大圆截面,得到的是一个宽为正方体棱长 x ,长 为 2 x ,对角线长为 3 x 的矩形(如图) ,故错解所作的大圆截面是错误的.因此,将错解中 的方程(2)改为 3 x ? 2 R 即可. 正解:如图,作圆的内接正方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为 x ,球的半径为 R ,则 有:
? x3 ? V ? ? ? 3x ? 2R ? ( 1)


2x

( 2)

解得: R

?

3 2

3

V


3x
3

x

? S 球 ? 4 ? R ? 3?
2

V

2

.

即球的表面积为 2 ? 3 V 2 .

四.典题练习
1、 四面体 ABCD 中, 有如下命题: ①若 AC ? BD , AB ? CD , AD ? BC ; 则 ②若 E 、 F 、 G 分别是 BC 、 AB 、 CD 的中点,则 ? F E G 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大小;③若 点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在面 ABD 上的射影是 ? ABD 外心;④若四个面是全 等的三角形,则 ABCD 为正四面体。其中正确的是___ 2、把四个半径为 R 的小球放在桌面上,使下层三个,上层一个,两两相切,则上层小球 最高处离桌面的距离为________ 3、已知棱长为 1 的正方体容器 ABCD—A1B1C1D1 中,在 A1B、A1B1、B1C1 的中点 E、F、G 处各 开有一个小孔,若此容器可以任意放置,则装水较多的容积(小孔面积对容积的影响忽略不 计)是_____ 4、已知正 ? A B C 的边长为 a ,那么 ? A B C 的平面直观图 ? A ? B ?C ? 的面积为_____ 相关关系 式为: 5、右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得 2 该几何体的表面积是( ) 3 A. 9 π B. 1 0 π C. 1 1π D. 1 2 π
2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
? 6、 BAD ? 60 ? , 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD 1

上运动,另一端点 N 在底面 ABCD 上运动,则 MN 的中点 P 的轨迹(曲面)与共一顶点 D 的 三个面所围成的几何体的体积为为______ B 7,如图的多面体 ABC-DEFG 中,AB、AC、AD 两两垂直,平面 ABC∥DEFG,平面 BEF∥ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积为________ E 8、在正方体 AC1 中,M 是侧棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是棱 A1B1 上 F 的一点,则 OP 与 AM 所成的角的大小为____ 9、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保持 AP
58

A C D G

⊥BD1,则动点 P 的轨迹是___________ 10、 , PB , PC 是从点 P 引出的三条射线, 每两条的夹角都是 60 ? , 则直线 PC 与平面 PAB PA 所成角的余弦值为______( 11、给出以下六个命题:①垂直于同一直线的两个平面平行;②平行于同一直线的两个 平面平行;③平行于同一平面的两个平面平行;④与同一直线成等角的两个平面平行;⑤一 个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行;⑥两个 平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行,则这两个平面平行。其中正确的序号是 __________ 12、 将∠A 为 60°的棱形 ABCD 沿对角线 BD 折叠, A、 的距离等于 BD, 使 C 则二面角 A-BD-C 的余弦值是______ 解答题: 13、在四棱锥 P ? A B C D 中, A B ? A D , C D ? A D , P A ? 底面 A B C D , M 为 P C 中点,在平 面 PAD 内 找一点 N ,使 M N ? 平面 P B D . 14、如图,已知四棱锥 P ? A B C D ,底面 A B C D 为菱形, P A ? 平 面
ABCD

, ? A B C ? 60 ? , E, F 分别是 B C , P C 的中点.

P F A B E C D

(Ⅰ)证明: A E ? P D ; (Ⅱ)若 H 为 P D 上的动点, E H 与平面 P A D 所成最大角的正切
6 2





,求二面角 E ? A F ? C 的余弦值.

推理与证明
一、 考试内容、要求
考试要求: ① 了解合情推理的含义,能利用简单的归纳推理和类比推理,体会合情推理在数学发现 中的作用. ② 了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三 段论”,能运用“三段论”进行一些简单推理. ③ 了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和 特点. ④ 了解反证法的思考过程和特点. 考试内容:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明

二、重要知识、技能技巧
1.归纳推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.归纳推理
59

是由部分到整体,由个别到一般地推理.如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推 广的一般性命题也就越可靠,应用归纳推理可以获得新的结论. (2)归纳推理的一般步骤: ①通过观察个别情况发现某些相同性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想) . 2.类比推理 (1)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理,类比的结论不一定真,在一般情况下, 如果类比的相似性越多,相似性之间越相关,那么类比得到的结论也就越可靠. (2)类比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 3.演绎推理 (1)从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理叫做_______,它 的一般模式为三段论. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提:__________; ②小前提:__________; ③结论:根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 4.综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 5.分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要 证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) ,这种证明的 方法叫做分析法. 6.反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错 误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 注意事项 1.归纳和类比都是____________.前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后
60

者是由___________到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论 不一定为真,有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同,是由______到特殊的推理,是数学证明的基本推理 形式,也是公理化体系所采用的推理形式.另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的, 前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性. 3.______和_______是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法 是_______和_______,_________是从已知条件推导出结论的证明方法;_________是由结论 追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用.间接证法的一种基本 方法是__________,它是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法.

三、易错点及注意问题
1、用归纳法解决有关问题时容易取例过偏,请注意验证(证明) 2、用反证法证明有关问题时注意所取反面要全不漏。 四、典题训练: 1.观察下列等式:1 3 ? 2 3 ? 3 2 ,1 3 ? 2 3 ? 3 3 ? 6 2 ,1 3 ? 2 3 ? 3 3 ? 4 3 ? 10 2 , ? ,根据上述规律, 第五个等式为 __________ __ . ..... 2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,?,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角 形数;类似的,称图 2 中的 1,4,9,16,?这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数 又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378

3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类似地,在 空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为
61

.

4.已知数列 { a n } 满足: a 4 n ? 3 ? 1, a 4 n ?1 ? 0, a 2 n ? a n , n ? N ? , 则 a 2 0 0 9 ? ________;
a 2 0 1 4 =_________.

5.观察下列等式:
C5 ? C5 ? 2 ? 2
1 5 3


3

C9 ? C9 ? C9 ? 2 ? 2
1 5 9 7 1 5 9 13


11

C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 2
1 5 9

?2

5


15

C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 2
13 17

?2

7



???
1 由以上等式推测到一个一般的结论:对于 n ? N * , C 4 n ? 1 ? C 45n ? 1 ? C 49n ? 1 ? ? ? C 44nn??11 ?



6.将正⊿ABC 分割成 n 2( n ≥2, n∈N) 个全等的小正三角形 (图 2, 3 分别给出了 n=2,3 图 的情形) ,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC 的三遍及平行于某边的任一直线 上的数(当数的个数不少于 3 时)都分别一次成等差数列,若顶点 A ,B ,C 处的三个数互不 相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 f(n),则有 f(2)=2,f(3)= ,?,f(n)=

7.已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 1, a n ? 1 ? c ? (Ⅰ)设 c ?
5 2 , bn ? 1 an ? 2

1 an

.

,求数列 ? b n ? 的通项公式;

(Ⅱ)求使不等式 a n ? a n ? 1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

排列、组合和二项式定理
一、考试内容及要求
1、排列与组合 (1)理解排列与组合的概念; (2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 (3)能解决简单的实际问题。 2、二项式定理
62

(1)能用计数原理证明二项式定理; (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二、重要知识、技能技巧
1.排列数公式
A n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? ( n ? m ? 1) ?
m

n! (n ? m )!

( m ? n ) ; An ? n ! ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 2 ? 1 。
n

例题 1、 (1)1!+2!+3!+?+n! n ? 4, n ? N * )的个位数字为 ( x x?2 (2)满足 A8 ? 6 A8 的 x = (答:8) 组合数公式
Cn ?
m

; (答:3)

An A

m

m m

?

n ? ( n ? 1) ? ? ? ( n ? m ? 1) m ? ( m ? 1) ? ? ? 2 ? 1

?

n! m !? n ? m ? !

( m ? n ) ;规定 0! 1 , C n ? 1 . ?
0

n 如已知 C nm ? C m ? 1 ? Anm ? 6 ,求 n,m 的值 .(答:m=n=2)

(了解)排列数、组合数的性质:① ④ C rr
? C r ?1 ? C r ? 2 ? ? ? C n ? C n ?1
r r r r ?1

Cn ? Cn
m

n?m

;②
n

C n ? C n ?1 ? C n ?1
m m

m ?1

;③ .

kC n ? n C n ? 1
k

k ?1



;⑤ n ? n ! ? ( n ? 1) !? n ! ;⑥

( n ? 1) !

?

1 n!

?

1 ( n ? 1) !

2.解排列组合问题的依据是: 分类相加(每类方法都能独立地完成这件事,它是相互独立的,一次的且每次得出的是 最后的结果,只需一种方法就能完成这件事) , 分步相乘(一步得出的结果都不是最后的结果,任何一步都不能独立地完成这件事,只 有各个步骤都完成了,才能完成这件事,各步是关联的) , 有序排列,无序组合. 例题 2、 (1)将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有 种; (答: 3 5 ) (2)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少要甲型与乙型电视机各一 台,则不同的取法共有 种; (答:70) A (3)从集合 ?1, 2 , 3? 和 ?1, 4, 5, 6? 中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系 中能确定不同点的个数是_ ; (答:23) C B (4)72 的正约数(包括 1 和 72)共有 个; (答:12) (5) ? A 的一边 AB 上有 4 个点,另一边 AC 上有 5 个点,连同 ? A 的顶点共 10 D 个点,以这些点为顶点,可以构成___ __个三角形; (答:90) (6)用六种不同颜色把右图中 A、B、C、D 四块区域分开,允许同一颜色涂不同区域, 但相邻区域不能是同一种颜色,则共有 种不同涂法; (答: 480) (7)同室 4 人各写 1 张贺年卡,然后每人从中拿 1 张别人送出的贺年卡,则 4 张贺年卡 不同的分配方式有 种; (答:9) 3.解排列组合问题的方法有: (1)特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置) 。 例题 3、 (1)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成无重复数字的四位偶数_______ 个; (答:156) (2)某班上午要上语、数、外和体育 4 门课,如体育不排在第一、四节;语文不排在第 一、二节,则不同排课方案种数为_____; (答:6) (2)间接法(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉))。 例题 4、在平面直角坐标系中,由六个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),(-1,-2),(-2,
63

-1)可以确定三角形的个数为_____。 (答:15) (3)相邻问题捆绑法(把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素,然后再与其余“普 通元素”全排列,最后再“松绑” ,将特殊元素在这些位置上全排列) 。 例题 5、 把 4 名男生和 4 名女生排成一排, (1) 女生要排在一起, 不同的排法种数为_____; (答:2880) (2) 某人射击8枪, 命中4枪, 4枪命中中恰好有3枪连在一起的情况的不同种数为___; (答:20) (3)把一同排 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少 分 1 张,至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是___ __ (答:144) (4)不相邻(相间)问题插空法(某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空 法,即先安排好没有限制元条件的元素,然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素 之间) 。 例题 6、3 人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有___ 种; (答:24) (5)定序后排法 例题 7、 (1)书架上有 3 本不同的书,如果保持这些书的相对顺序不便,再放上 2 本不 同的书,有 种不同的放法; (答:20) (2)某班新年联欢晚会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目。如 果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为___ __。 (答:42) (6)多元问题分类法。 例题 8、 (1)某化工厂实验生产中需依次投入 2 种化工原料,现有 5 种原料可用,但甲、 乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲必须先投放. 那么不同的实 验方案共有_______种; (答:15) (2)某公司新招聘进 8 名员工,平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人 员不能同给一个部门;另三名电脑编程人员也不能同给一个部门,则不同的分配方案有_____ 种; (答:36) (7)选取问题先选后排法。 例题 9、某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不相同且可区分,今每次取出一 只测试,直到 4 只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时,被发现的不同情 况种数是__。 (答:576) (8)至多至少问题间接法。 例题 10、从 7 名男同学和 5 名女同学中选出 5 人,至少有 2 名女同学当选的选法有_______ 种(答:596) (9)相同元素分组(指标分配)可采用隔板法。 例题 11、 (1)10 个相同的球各分给 3 个人,每人至少一个,有多少种分发?每人至少两个 呢?(答:36; ) (2)某运输公司有 7 个车队,每个车队的车都多于 4 辆且型号相同,要从这 7 个车队中抽出 10 辆车组成一运输车队,每个车队至少抽 1 辆车,则不同的抽法有多少种?(答:84) 4、分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别忘除以 n! 。 例题 12、4 名医生和 6 名护士组成一个医疗小组,若把他们分配到 4 所学校去为学生体检, 每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种(答:37440) ; r n 0 n 1 n ?1 r n?r r n n 5.二项式定理: ( a ? b ) ? C n a ? C n a b ? ? ? C n a b ? ? ? C n b ,其中组合数 C n 叫做第 r+1 项的二项式系数;展开式共有 n+1 项,其中第 r+l 项 T r ? 1 ? C nr a n ? r b r ( r ? 0,1, 2, ? , n ) 称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项. 特别提醒:
64

项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就 是二项式系数。如在 ( a x ? b ) n 的展开式中,第r+1项的二项式系数为 C nr ,第r+1项的系 数为 C nr a n ? r b r ;而 ( x ? ) n 的展开式中的系数就是二项式系数;
x 1

例题 13、 (1) ( 2 x 3 ?

1 x

)

7

的展开式中常数项是_

___; (答:14)

(2) (1 ? x ) 3 ? (1 ? x ) 4 ? ? ? (1 ? x ) 10 的展开式中的 x 3 的系数为_____ ; (答:330) 6、二项式系数的性质: (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 C nm ? C nn ? m ; (2)增减性与最大值:二项式系数 C rn 在中间取得最大值。当 n 为偶数时,中间一项(第
n 2

+1 项)的二项式系数取得最大值。当 n 为奇数时,中间两项(第

n ?1 2



n ?1 2

+1 项)的

二项式系数相等并同时取最大值。 例题 14、 (1)在二项式 ( x ? 1)11 的展开式中,系数最小的项的系数为_____; (答:-462) n (2)在 (1 ? x ) 的展开式中,第十项是二项式系数最大的项,则 n =_ (答:17,18 或 19) (3)二项式系数的和: n n 0 1 r 0 2 1 3 n ?1 Cn ? Cn ? ? ? Cn ?? ? Cn ? 2 ;Cn ? Cn ? ??? ? Cn ? Cn ? ??? ? 2 。 7、赋值法:应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和 ? 例题 15、 已知 (1 ? 3 x ) 9 ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 9 x 9 , a 0 ? a1 ? a| 2 |? ? |a 9 | 等于__ ; (1) 则 (答: ) (2) (1 ? 2 x ) 2004 ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 2004 x 2004 ,则 ( a 0 ? a1 ) ? ( a 0 ? a 2 ) + ? ? ( a 0 ? a 2004 ) =_ ____; (答:2004)
4
9

8、系数最大项的求法:设第 r 项的系数 Ar 最大,由不等式组 ? 例题 16、求 ( x ?
1 2
9
3

? A r ? A r ?1 ? Ar ? Ar ?1

确定 r 。

x)

10

的展开式中,系数的绝对值最大的项和系数最大的项。
105 8
13

(答:系数绝对值最大的项为 ? 1 5 x 2 ,系数最大的项为

x

3



三.易错点提示
1.“加法”“乘法”原理混淆 、 两个原理的区别在于一个和分类有关, 一个与分步有关.如果完成一件事有 n 类方法, n 这 类方法彼此之间是相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事,求完 成这件事的方法种数,就用分类计数原理;如果完成一件事有 n 个步骤,缺一不可,即需要 依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成 这件事的方法数就用分步计数原理. 【例 1】50 件产品中有 4 件次品,从中任意抽出 5 件,其中至少有 3 件次品的抽法有_______ 种.(注:所选高考题为理科题,以下同) 2 1 【错解】有 ( C 43 + C 46 )( C 44 + C 46 ) =46575 种. 【错因】分类与分步概念不清,即加法原理与乘法原理混淆. 【正解】分为二类:第一类,先取 3 件次品,再取 2 件正品,其抽法有(分两步,用乘法原 2 1 理) C 43 C 46 种;第二类,有 4 件次品的抽法同理有 C 44 C 46 种,最后由加法原理,不同的抽法共
65

2 1 有 C 43 C 46 + C 44 C 46 =4186 种.

2. “排列”“组合”概念混淆 、 【例 2】有甲、乙、丙 3 项任务,甲需要 2 人承担,乙、丙各需要 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选法有( )种. (A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040 4 【错解一】分三步完成:首先从 10 人中选出 4 人,有 C 10 种方法;再从这 4 人中选出二人承 担任务甲,有 A 42 种方法;剩下的两人去承担任务乙、丙,有 A 22 种方法,由乘法原理,不同 4 的选法共有 C 10 A 42 A 22 =5040 种,选 D. 【错因】 “排列” 、 “组合”概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关,此处应是组合问 2 2 题,即 A 4 应为 C 4 . 4 【错解二】分三步完成,不同的选法共有 C 10 C 42 C 22 =1260 种,选 A. 【错因】剩下的两人去承担任务乙、丙,这与顺序有关,此处应是排列问题,即 C 22 应为 A 22 .
4 【正解一】不同的选法有 C 10 C 42 A 22 =2520 种.

【正解二】先从 10 人中选出 2 人承担任务甲;再从余下 8 人中选出一人承担任务乙;最后从 2 1 剩下的 7 人中选出一人去承担任务丙,由乘法原理,不同的选法有 C 10 C 81 C 7 =2520 种. 【正解三】从 10 人中选出 2 人承担任务甲;再从余下 8 人中选出二人承担任务乙、丙,由乘 2 法原理,不同的选法有 C 10 A 82 =2520 种,选 C. . 3、重复计数出增解 【例 3】四个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法有 ________种. 【错解一】从 4 只盒子中取出三只,有 C 43 种方法,从 4 个球中取出 3 个放入取出的三只盒子 内,有 A 43 种方法,再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内,有 C 31 种放法,所以共有
C 4 A 4 C 3 =288
3 3

1

种放法.

1 【错解二】分三步完成.首先取出 3 个盒子,有 C 43 种方法;再把球分为三组,有 C 42 C 2 种方法; 1 最后把三组球排列后放入盒子,有 A 33 种方法.由乘法原理,共有 C 43 C 42 C 2 A 33 =288 种方法.

【正解一】在错解中消除重复,有

C 4 A4 C 3 2

3

3

1

=144 种放法.

【正解二】 从四个球中取出 2 个作为一组, 与另两个球一起放入四个盒子中的三个内, C 42 A 43 有 =144 种放法. 【正解三】将四个球分别放入四只盒子后,取出其中的 2 盒并为一盒(自然出现一空盒) ,有 4 2 A 4 C 4 =144 种放法. 4、展开式通项认识出错
( 求 x? 1 x ? 1)
5

展开式的常数项。
1
5 5

错解: 而
(x ? 1 x )

1 ? ? ? ( x ? ? 1) ? ( x ? ) ? 1 ? ? x x ? ?

, ? 展 开 式 的 通 项 为 T r ? 1 ? C 5 r x 5 ? r ? k ( ? 1) r ,

5?r

的展开式通项为 T ? ( k ? 1) ? C5 ? r k x5 ? r ? k ( ) k
x

1

66

5 ? r ? 2 k ? 0, 0 ? r ? 5, 0 ? k ? 5 ? r , ?r ? 1 ?r ? 3 ?r ? 5 ?? 或? 或? ?k ? 2 ?k ? 1 ?k ? 0 ? 常 数 项 是 -3 0, 0, . -2 -1
( 正解: x ? 1 x ? 1) ? ( x ?
5

1 x

) ? 5 (x ?
5

1 x

) ? 10( ? x
4

1 x

) ? 1 0x ? (
3

1 x

2

) ? 5x ? (

1 x

)? 1

故常数项是

-5 C 4 -10 C 2 ? 1 ? ? 51
2 1

四.典题训练:
一、选择 1、同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡,则四 张贺年卡不同的分配方式有( ) (A) 6 种 (B) 9 种 (C) 11 种 (D) 23 种 2、四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,从中取出 4 个不共面的点,不同的取法有( ) 种. (A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141 3、有甲、乙、丙 3 项任务,甲需要 2 人承担,乙、丙各需要 1 人承担,从 10 人中选派 4 人 承担这三项任务,不同的选法有( )种. (A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040 4、从 4 台甲型与 5 台乙型电视机中任选出 3 台,其中至少要有甲、乙型机各一台,则不同的 取法共有( ) (A)140 种 (B)84 种 (C)70 种 (D)35 种 5 6 7 8 3 5、在 (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) 的展开式中,含 x 的项的系数是( ) 二、填空 6、四个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法有_______ 种 7、设 (1 ? x ? x 2 ) n ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a 2 n x 2 n ,则 a 0 ? a 2 ? ? ? a 2 n ? 8、如果一个三位正整数形如“ a 1 a 2 a 3 ”满足 a 1 ? a 2 且 a 3 ? a 2 ,则称这样的三位数为凸数 (如 120、363、374 等) ,那么所有凸数个数为_____; 9、 f 是集合 M ? ? a , b , c ? 到集合 N ? ? ? 1, 0,1? 的映射,且 f ( a ) ? f ( b ) 个; 10、9 名翻译中,6 个懂英语,4 个懂日语,从中选拨 5 人参加外事活动,要求其中 3 人 担任英语翻译,选拨的方法有____________种; 解答 11 数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1 与 2 不相邻的五位数,求这种五位数的个数.) 12 已知 ( a 2 ? 1) n 的展开式中各项系数之和等于 ( 的展开式的系数最大的项等于 54,求 a 的值。 13 4 名男生和 4 名女生并坐一排照相。 (1) 女同学要排在一起。 (2) 女同学互不相邻。
67

? f ( c ) ,则不同的映射共有

16 5

x ?
2

1 x

)

5

的展开式的常数项,而 ( a 2 ? 1) n

(3) 男女交叉坐。 各有多少种不同的排法?

框图、算法初步
一、考试内容、要求
1、考试内容:考查程序框图及一些实际问题的流程图. 2、考试要求:理解几种基本的算法语句,了解几个古代算法案例多结合循环结构处理一些有 规律的计算问题,如累加求和,累成求积等问题.

二、重要知识、技能技巧
1.理解五种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,体会算 法的基本思想。 2.算法的三种基本逻辑结构: .

3. 由于算法不仅是数学的重要组成部分,也是计算机科学的基础,在教材中算法与函数、方 程、不等式、数列以及实际问题都有着密切的联系. 4. 变量和赋值是算法学习的重点之一,因为设置恰当的变量,学习给变量赋值,是构造算法 的关键,在复习中应将程序框图和基本算法语句作为重点.

三、易错点提示
1.在循环结构中,对判断框中填入的条件及涉及的变量进行解读,是解题的关键点. 执行右边的程序框图,输出的 T= 答案:30
开始

.

S=0,T=0,n=0 是

T>S 否 S=S+5 n=n+2

输出 T 结束

T=T+n

2.填入所需的条件,是不等式时,有没有等号易出错. 某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 i 1 2 3 4
68

5

6

三分球个 数

a1

a2

a3

a4

a5

a6

下图(右)是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分 球总数的程序框图, 则图中判断框应填 ,输出的 s=

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”) 答案: i ? 6 , a1 ? a 2 ? ? ? a 6 解析:顺为是统计该 6 名队员在最近三场 比赛中投进的三分球总数的程序框图, 所图中判断框应填 i ? 6 ,输出的 s= a1 ? a 2 ? ? ? a 6 .

四、典题训练
1.阅读图 1 的程序框图,若输入 m ? 4 , n ? 6 ,则输出 a ? 12 , i 符号“ ? ”也可以写成“ ? ”或“ :? ” )
开始 输入 m, n
i ?1
a ? m?i ?

3(注:框图中的赋值

i ? i ?1

n 整除 a? 是 输出 a, i 结束 图1



图2 2. 如图 2, 该程序运行后输出的结果为 . 3. 随 机 抽 取 某 产 品 n 件 , 测 得 其 长 度 分 别 为
69

a1 , a 2 , ? , a n

,则图 3 所示的程序框图输出的 s ?

,s 表示的样本的数字特征



. (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” “:=” )

4. 程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是 .
开始 α =1 α =2α +1



a ? 100 ?

输出 a

结束 第 4 题图

复数
一、考试内容、要求
1、考试内容: 复数的概念, 复数的加法和减法,复数的乘法和除法. 2、考试要求: (1)理解复数的有关概念 (2)了解复数的代数表示方法和几何意义. (3)理解复数相等的充要条件 (4)会复数代数形式的四则运算 (5)了解复数代数形式的加法、减法运算几何意义

二、重要知识、技能技巧
1.复数:形如 a +bi( a ,b∈R)的数叫做复数. 其中
70

叫实部,

叫虚部。

复平面: 复数的模的公式: z ? a ? bi , z ?
a ?b
2 2



实数 ? ? ? 虚数,纯虚数 2.复数有关概念: ? ? 共轭复数 ? a ? 复数相等 a ? bi ? c ? di ? ? ?
?b

? ?

c d

3.虚数单位 i 的性质: i 2 ? ? 1, i 4 n ? 1, i 4 n ? 1 ? i , i 4 n ? 2 ? ? 1, i 4 n ? 3 ? ? i 4.复数的运算: z 1 ? a ? bi , z 2 ? c ? di , a , b , c , d ? R 则, z 1 ? z 2 ? ( a ? b ) ? ( c ? d ) i , z 1 ? z 2 ? ( ac ? bd ) ? ( ad ? bc ) i
z1 z2 ? a ? bi c ? di ? ( a ? bi )( c ? di ) ( c ? di )( c ? di ) ? ( ac ? bd ) ? ( bc - ad ) i c ?d
2 2

三、易错点提示
1、复数的运算同多项式运算相同,只需要把运算过程中出现的 i 2 换成 - 1 。 2、虚数不能比较大小,能比较大小的必为实数。 3、虚数幂的运算,幂指数仅限于整数, z ? z
n m

? z

n?m

(n, m ? Z ) , ( z ) ? z
n m

nm

, (n, m ? Z ) ,

例 1:设 a ? R ,且 ( a ? i ) 2 i 为正实数,则 a ? ( A.2 B.1 C.0 D. ? 1 例 2:已知复数 z 满足 z ? i ? 1 ,则 zi 的实部为( A.-1 B.2 C.±1 D.1

) 答案:D ) 答案:D

四、典题训练
?3?i? 1.复数 ? ? ? ?1? i ?
2

(A) ? 3 ? 4 i

(B) ? 3 ? 4 i
1+ 2i a ? bi ? 1? i

(C) 3 ? 4i ,则 (C)
a ? 1 2 ,b ? 3 2

(D) 3 ? 4i

2.设 a,b 为实数,若复数 (A) a
? 3 2 ,b ? 1 2

(B)

a ? 3, b ? 1

(D)

a ? 1, b ? 3

3.已知(x+i) (1-i)=y,则实数 x,y 分别为( A.x=-1,y=1 4. i 是虚数单位,
i 3 ? 3i

) D. x=1,y=2

B. x=-1,y=2
?

C. x=1,y=1

71

A、

1 4

?

3 12

i
i 1? i

C、

1 4

?

3 12

i

C、

1 2

?

3 6

i

D、

1 2

?

3 6

i

5.复数 z=

在复平面上对应的点位于 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限

6. i 是虚数单位,计算 i+i2+i3= (A)-1 (B)1 (C) ? i (D) i

7.对任意复数 z ? x ? y i ? x , y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是 (A) z ? z ? 2 y (C)z ? z ? 2 x (B) z 2 ? x 2 ? y 2 (D)z ? x ? y

8.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 Z,则 表示复数 A.E
z 1? i

的点是 C.G D.H

B.F

9.若复数 z ? 1 ? 2 i ( i 为虚数单位) ,则
z?z? z ?



10.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为___________.

72


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