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2、排列组合知识点

时间:2017-12-29


排列组合知识点
1、分类计数原理(加法原理) 。 完成一件事, 有 n 类办法, 在第 1 类办法中有 m1 种不同的办法, 在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法, …, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法. 2、分步计数原理(乘法原理) 。 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,…, 做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法。 3、分类计数原理分步计数原理区别 ①分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 ②分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件。 4、排列

①定义:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列。从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的排列数,用符号 An 表示。 ②排列数的公式: An ? n ? n ? 1?? n ? 2 ??? n ? m ? 1? ?
m
m

n! 。 ? n ? m ?!
规定: 0! ? 1
m m?1 m (Ⅲ) An ? mAn ?1 ? A n ?1

m 特例:当 m ? n 时, An ? n! ? n ? n ?1?? n ? 2??3 ? 2 ?1

③排列数的性质:
m m?1 (Ⅰ) An ? nAn ?1

(Ⅱ) An ?
m

1 n m ?1 m An ? An ?1 n?m n?m

5、组合

①定义:从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合。从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数,用符号 Cn 表示。
m

m n ? n ? 1?? n ? 2 ??? n ? m ? 1? An ②组合数公式: (乘积形式) C ? m ? ; Am m! n! m (阶乘形式) Cn ? ? n,m ? N ?且m ? n ? 。 m!? n ? m ?! m n
0 n 特例: Cn ? Cn ?1

③组合数的主要性质: (Ⅰ) Cn ? Cn
m n ?m

(Ⅱ) Cn ? Cn
m

m?1

m ? Cn ?1

6、排列组合的区别与联系: ①区别:组合仅与选取的元素有关,而排列不仅与选取的元素有关,还与取出元素的顺序有关。 ②联系:一个排列经过“一个组合”和“一个全排列”两个步骤。即: An ? Cn ? Am 。
m m m

7、解决排列组合问题的一般过程: ①弄清楚要做什么事? ②弄清楚怎样做这件事?即分步还是分类或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 ③弄清楚每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素? 8、“16 字方针”是解决排列组合问题的基本规律,即“分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合” 。 9、“21 个技巧”是迅速解决排列组合问题的捷径。

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