nbhkdz.com冰点文库

数学 必修1 函数与方程 总复习

时间:


高中数学 必修 1 数学 ———函数与方程 ———函数与方程
一.要点精讲
1.方程的根与函数的零点 (1)函数零点 概念:对于函数 y = f ( x )( x ∈ D ) ,把使 f ( x ) = 0 成立的实数 x 叫做函数 y = f ( x )( x ∈ D ) 的零点。 函数零点的意义:函数 y = f (x ) 的零点就是方程 f ( x ) = 0 实数根,亦即函数 y = f (x ) 的图象与 x 轴交点 的横坐标。即:方程 f ( x ) = 0 有实数根 函数 y = f (x ) 的图象与 x 轴有交点 函数 y = f (x ) 有零点。 零 点 存 在 性 定 理 : 如 果 函 数 y = f (x ) 在 区 间 [ a, b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有

f (a ) f (b) < 0 ,那么函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 内有零点。既存在 c ∈ (a, b) ,使得 f (c) = 0 ,这个 c 也就是
方程的根。 2.二分法 二分法及步骤: 对于在区间 [ a , b] 上连续不断,且满足 f (a ) f (b) < 0 的函数 y = f ( x ) ,通过不断地把函数 f ( x ) 的 零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ε ,用二分法求函数 f ( x ) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [ a , b] ,验证 f ( a ) f (b) < 0 ,给定精度 ε ; (2)求区间 ( a , b) 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f ( a ) f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ∈ ( a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 ) f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ∈ ( x1 , b) ) ; (4)判断是否达到精度 ε ; 即若 | a b |< ε ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4。 注:函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) = 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f (x) 的图象在 x = x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点;

第 1 页 共 4 页

若函数 f (x ) 的图象在 x = x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点。 注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件 f ( a ) f (b) < 0 表明用二分法求函数的近似零点都是指 变号零点。

四.典例解析
题型 1:方程的根与函数零点 例 1. (1)方程 lgx+x=3 的解所在区间为( ) A.(0,1) . B.(1,2) . C.(2,3) . D.(3,+∞) . 解析: (1)在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图)。它们的交 点横坐标 x0 ,显然在区间(1,3)内,由此可排除 A,D 至于选 B 还是选 C,由于画图精确
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

y
3 2 1 1 2 x0 3

当 lgx=lg2, o 性的限制, 单凭直观就比较困难了。 实际上这是要比较 x0 与 2 的大小。 x=2 时, 3-x=1。由于 lg2<1,因此 x0 >2,从而判定 x0 ∈(2,3),故本题应选 C。

x

例 2.(2009 福建卷文)若函数 f ( x ) 的零点与 g ( x ) = 4 + 2 x 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则 f ( x )
x

可以是(

) B. f ( x ) = ( x 1)
2

A. f ( x ) = 4 x 1 解析

C. f ( x ) = e 1
x

D. f ( x ) = In x



1 2

f ( x ) = 4 x 1 的 零 点 为 x=

1 2 x , f ( x ) = ( x 1) 的 零 点 为 x=1, f ( x ) = e 1 的 零 点 为 x=0, 4

3 1 1 因为 g(0)= -1,g( )=1,所以 g(x) f ( x ) = In x 的零点为 x= .现在我们来估算 g ( x ) = 4 x + 2 x 2 的零点, 2 2 2
的 零 点 x ∈ (0,

1 x ), 又 函 数 f ( x ) 的 零 点 与 g ( x ) = 4 + 2 x 2 的 零 点 之 差 的 绝 对 值 不 超 过 0.25 , 只 有 2

f ( x ) = 4 x 1 的零点适合,故选 A。
题型 2:零点存在性定理 例 3.若函数 y = f ( x ) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f ( a ) f (b) > 0 ,不存在实数 c ∈ ( a, b) 使得 f (c ) = 0 ; B.若 f ( a ) f (b) < 0 ,存在且只存在一个实数 c ∈ ( a, b) 使得 f (c ) = 0 ; C.若 f ( a ) f (b) > 0 ,有可能存在实数 c ∈ ( a, b) 使得 f (c ) = 0 ; D.若 f ( a ) f (b) < 0 ,有可能不存在实数 c ∈ ( a, b) 使得 f (c ) = 0 ; 解析: 由零点存在性定理可知选项 D 不正确; 对于选项 B, 可通过反例 f ( x ) = x ( x 1)( x + 1) 在区间 [ 2,2] “ 上满足 f ( 2) f ( 2) < 0 ,但其存在三个解 {1,0,1} ”推翻;同时选项 A 可通过反例“ f ( x ) = ( x 1)( x + 1) 在
第 2 页 共 4 页



区间 [2,2] 上满足 f ( 2) f ( 2) > 0 , 但其存在两个解 {1,1} ”选项 C 正确, ; 正确, 见实例 f ( x) = x 1 在区间 [2,2] “
2

上满足 f ( 2) f ( 2) > 0 ,但其存在实数解 ±1 ” 。 点评:该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。 题型 3:二分法的概念 例 4.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是() A.“二分法”求方程的近似解一定可将 y = f ( x) 在[a,b]内的所有零点得到; B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y = f ( x) 在[a,b]内的零点; C.应用“二分法”求方程的近似解, y = f ( x) 在[a,b]内有可能无零点; D.“二分法”求方程的近似解可能得到 f ( x) = 0 在[a,b]内的精确解; 解析:如果函数在某区间满足二分法题设,且在区间内存在两个及以上的实根,二分法只可能求出其中的 一个,只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解,二分法的实施满足零点存在性定理,在区间内一定 二分法的实施满足零点存在性定理, 二分法的实施满足零点存在性定理 存在零点,甚至有可能得到函数的精确零点。 选 D 存在零点 点评:该题深入解析了二分法的思想方法。 例 5.借助计算器,用二分法求出 ln(2 x + 6) + 2 = 3 x 在区间(1,2)内的近似解(精确到 0.1) 。 解析:原方程即 ln(2 x + 6) 3 x + 2 = 0 。令 f ( x) = ln(2 x + 6) 3 x + 2 , 用计算器做出如下对应值表 x f(x) -2 2.5820 -1 3.0530 0 2.7918 1 1.0794 2 -4.6974

观察上表,可知零点在(1,2)内 取区间中点 x1 =1.5,且 f (1.5) ≈ 1.00 ,从而,可知零点在(1,1.5)内; 再取区间中点 x 2 =1.25,且 f (1.25) ≈ 0.20 ,从而,可知零点在(1.25,1.5)内; 同理取区间中点 x3 =1.375,且 f (1.375) < 0 ,从而,可知零点在(1.25,1.375)内; 故结果可取 1.3。 6.关于 x 的方程 x 2 (2m 8) x + m 2 16 = 0 的两个实根

x 、 x 满足 x1 < < x2 ,则实数 m 的取值范围
1 2

3 2

1 7 ( , ) 2 2

3 9 3(m 4) + m 2 16 < 0 , 提示:设 f ( x) = x 2 (2m 8) x + m 2 16 ,则 f ( ) = 2 16 1 7 即: 4m 2 12m 7 < 0 ,解得: < m < . 2 2 f ( x) 对 x ∈ R 都满足 f (3 + x) = f (3 x) ,且方程 f ( x) = 0 恰有 6 个不同的实数根,则这 6 个实根的和 7.设函数
为( D )
第 3 页 共 4 页

A.0

B.9

C.12

D.18

提示:由 f (3 + x) = f (3 x) 知 f ( x) 的图象有对称轴 x = 3 ,方程 f ( x) = 0 的 6 个根在 x 轴上对应的点关于直线

x = 3 对称,依次设为 3 t1 , 3 t2 ,3 t3 ,3 + t1 ,3 + t2 ,3 + t3 ,故 6 个根的和为 18,答案为 D.
例 2.设 x1 , x2 , x3 依次是方程 log 1 x + 2 = x , log 2 ( x + 2) = x , 2 x + x = 2 的
2

实数根,试比较 x1 , x2 , x3 的大小 . 解:在同一坐标内作出函数 y = x 2 ,

y = log 1 x ,y = 2 x 的图象从图中可以看出,0 < x < x 又 x < 0 , x < x < x 故 2 3 1 2 3 1
3.已知函数 y = f ( x) ( x ∈ R) 满足 f ( x + 3) = f ( x + 1) ,且 x ∈[-1,1]时, f ( x) =| x | ,则 y = f ( x) 与 y = log 5 x 的图象交点的个数是( B ) A.3 B.4 C.5 D.6 f ( x + 3) = f ( x + 1) 知 f ( x + 2) = f ( x) 故 f ( x) 是周期为 2 的函数, 提示:由 在同一坐标系中作出 y = f ( x) 与 y = log 5 x 的图象,可以看出,交点个数为 4. 例 3.若关于 x 的方程 22 x + 2 x a + a + 1 = 0 有实根,求实数 a 的取值范围. 解:设 t = 2 x (t > 0) ,则原方程可变为 t 2 + at + a + 1 = 0 ①
2 原方程有实根,即方程①有正根.令 f (t ) = t + at + a + 1 (t>0)
2

= a 2 4(a + 1) ≥ 0 (1)方程①有两个正实根 t1 , t2 ,则 t1 + t 2 = a > 0 解得 1 < a ≤ 2 2 2 ; t t = a + 1 > 0 1 2 (2)方程①有一个正实根和一个负实根,则 f (0) = a + 1 < 0 ,解得: a < 1 .
源 源 源

新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源















t p w w k g o m /w c h /: j.x y .c t x /

特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
w c @2 c o x t 1 .6 m k





新新新 新新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源













t p w .w k g o /m w c h /: jx y .c t x /

特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
w c t 2 6 o x k 1 .c m @

综上: a ≤ 2 2 2 6.已知关于 x 的方程 32 x +1 + ( m 1)(3x +1 1) ( m 3) 3x = 0 有两个不同的实根,求 m 的取值范围. 解:设 3x = t (t > 0) ,原方程化为: 3t 2 + (m 1)(3t 1) ( m 3)t = 0 ,即

3t 2 + 2mt m + 1 = 0 …………………………①
2m 3 > 0 1 m 3 21 >0 原问题等价于方程①有两个不同的正根, 解得: m < . 2 3 = 4m 2 12(1 m) > 0
7.方程 2ax 2 x 1 = 0( a > 0 ,且 a ≠ 1) 在区间 [ 1,1] 上有且仅有一个实根,求函数 解:令 f ( x ) = 2ax 2 x 1 ,

y = a 3x

2

+x

的单调区间.

(1)由 f (1) = 2a = 0 ,得 a = 0 ,舍去; (2)由 f (1) = 2a 2 = 0 ,得 a = 1 ,
2

舍去; (3) f ( 1) f (1) < 0 a a < 0 0 < a < 1 对于函数 y = a
3x 2 + x
2

综上: 0 < a < 1

1 2 1 6 12 1 1 t 则 y = a 在 R 上为减函数, t 在 (∞, ] 上为增函数,在 [ , +∞) 上为减函数. 6 6 2 1 1 3 x + x 3 x 2 + x ∴当 x ∈ ( ∞, ] 时, y = a 是减函数;当 x ∈ [ , +∞ ) 时, y = a 是增函数. 6 6
,令 y = a t , t = 3 x + x = 3( x ) +
第 4 页 共 4 页


中高三数学总复习函数与方程练习题理新人教B版必修1.doc

中高三数学总复习函数与方程练习题理新人教B版必修1 - 江西省宜春三中 2016 届高三数学总复习 函数与方程练习题 理新 人教 B 版必修 1 1.若函数 f(x)=x ...

最新人教版高中数学必修1第三章函数与方程复习_图文.ppt

最新人教版高中数学必修1第三章函数与方程复习 - 函数与方程 基础知识梳理 1.

人教版高中数学必修1总复习_图文.ppt

人教版高中数学必修1总复习 - 数学必修1复习课 第一章 集合与函数的概念 常用

高一数学必修一函数与方程基础知识点及提高练习.doc

高一数学必修一函数与方程基础知识点及提高练习_数学_高中教育_教育专区。高一..

高一数学必修1函数总复习课件_图文.ppt

高一数学必修1函数总复习课件 - http://www.dtjj.com.cn/283xsyl/ 第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用 http://www.d...

江西省宜春三中高三数学总复习函数与方程练习题理新人....doc

江西省宜春三中高三数学总复习函数与方程练习题理新人教b版必修1 - 江西省宜春三中 2016 届高三数学总复习 函数与方程练习题 理新 人教 B 版必修 1 1.若函数...

高中数学必修一 函数与方程.doc

高中数学必修一 函数与方程_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数与方程 注意事项:1.考察内容:函数与方程 2.题目难度:中等难度题型 3.题型方面:9 道选择,5 ...

高中数学 第32课时《函数与方程小结与复习》(学生版 )....doc

高中数学 第32课时《函数与方程小结与复习》(学生版 )苏教版必修1 - 第三十二课时函数与方程小结与复 习 【学习导航】 方法重复进行下去, 直到区间的两个端点...

高一数学必修一函数与方程_图文.ppt

高一数学必修一函数与方程_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。 1.求下列

高一数学必修1函数总复习课件_图文.ppt

高一数学必修1函数总复习课件 - 第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用 周口文昌中学数学组 :杨留 杰 永切隔数形数焉数 远莫离形...

必修1《函数的零点与方程的根》专题复习.doc

必修1函数的零点与方程的根》专题复习_数学_高中教育_教育专区。函数零点,方程根分布 必修1函数的零点与方程的根》专题复习知识点梳理函数的零点:对于函数 y...

高一数学(必修1)专题复习四 函数与方程.doc

高一数学(必修1)专题复习函数与方程_数学_高中教育_教育专区。高一数学(必修 1)专题复习函数与方程一.基础知识复习 1.函数零点:方程 f ( x) ? 0 ...

高中数学总复习函数与方程人教版必修1.ppt

高中数学总复习函数与方程人教版必修1 - 函数与方程 考纲解读 1. 结合二次函

数学 必修1 函数与方程 总复习.doc

数学 必修1 函数与方程 总复习_高一数学_数学_高中教育_教育专区。数学 必修1 函数与方程 总复习高中数学 必修 1 数学 函数与方程 函数与方程一....

高一数学必修1函数总复习课件_图文.ppt

高一数学必修1函数总复习课件 - 第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用 周口文昌中学数学组 :杨留 杰 永切隔数形数焉数 远莫离形...

高中数学(人教b版)必修1课件:复习课(四) 函数方程、函....ppt

高中数学(人教b版)必修1课件:复习课(四) 函数方程函数的应用_数学_高中教育_教育专区。复习课(四) 函数方程函数的应用 函数的零点问题 (1)题型为选择题或...

高中数学必修一总复习(含练习与答案).doc

高中数学必修一总复习(含练习与答案) - 一、教学内容: 必修一总复习 [本讲的主要内容] 1、集合及其基本运算 2、函数的概念及其基本性质 3、二次函数与幂、指...

高中数学必修一总复习(知识点+典例+答案)_图文.ppt

高中数学必修一总复习(知识点+典例+答案)_数学_...f (3) ?2 ?8 3 代到没有f为止 (2)解方程 ...对数函数与指数函数互为反函数 2、反函数的图像关于...

高考数学总复习第一讲:函数与方程.doc

高考数学总复习讲:函数与方程 - 锈钢工作台 www.hongchule.com dbfq 高考数学总复习讲:函数与方程 函数描述了自然界中量的依存关系,反映了个事物...

高中数学 2.32《函数与方程小结与复习》教案 苏教版必修1.doc

高中数学 2.32《函数与方程小结与复习》教案 苏教版必修1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三十二课时 【学习导航】 函数与方程小结与复习 学习要求 1.了解...