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【K12教育学习资料】高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲

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教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 第7节 第一课时 【选题明细表】 知识点、方法 直线与圆锥曲线位置关系 弦长问题 中点弦问题 圆锥曲线的综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系 题号 1,2,7,10,13,14,15 4,5,6,9,12 3,8,11 基础对点练(时间:30 分钟) 1.直线 y=x+3 与双曲线-=1 的交点个数是( A ) (A)1 (B)2 (C)1 或 2 (D)0 解析:因为直线 y=x+3 与双曲线的渐近线 y=x 平行,所以它与双曲线只有 1 个交点. 2.已知椭圆 C 的方程为 + =1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影 恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( B ) (A)2 (B)2 (C)8 (D)2 . ,则点( , )在椭圆 + =1(m>0)上, 解析:根据已知条件得 c= 所以 - + - =1,可得 m=2 3.(2016 重庆模拟)已知双曲线 C:-=1(a>0,b>0),方向向量为 d=(1,1)的直线与 C 交于两点 A,B,若线段 AB 的中点为(4,1),则双曲线 C 的渐近线方程是( B ) (A)2x±y=0 (B)x±2y=0 (C) x±y=0 (D)x± y=0 解析:设方向向量为 d=(1,1)的直线方程为 y=x+m, 由 消去 y 得(b -a )x -2a mx-a m -a b =0, 2 2 2 2 2 2 2 2 设 A(x1,y1),B(x2, y2), 因为线段 AB 的中点为(4, 1). 所以 x1+x2= - =8, y1+y2=8+2m=2,则 m=-3, 所以 - =8, 所以 a=2b,所以双曲线的渐近线方程为 y=±x. 2 4.(2016 丽水模拟)斜率为 1 的直线 l 与椭圆+y =1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为 ( C ) (A)2 (B) (C) (D) 2 2 2 解析:设直线 l 的方程为 y=x+t,代入+y =1,消去 y 得 x +2tx+t -1=0, 2 2 2 由题意知Δ =(2t) -5(t -1)>0 即 t <5, 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 |AB|= - ≤ 2 . + 等于 5.已知抛物线 y =8x 的焦点为 F,直线 y=k(x-2)与此抛物线相交于 P,Q 两点,则 ( A ) (A) (B)1 (C)2 (D)4 2 解析:抛物线 y =8x 的焦点坐标为 F(2,0), 准线方程为 x=-2,则直线 y=k(x-2)过点 F,联立 k x -(4k +8)x+4k =0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=4+,x1x2=4, 所以 = + = + 2 2 2 2 - 得 = =. 2 6.(2016 杭州模拟)F 为椭圆+y =1 的右焦点,第一象限内的点 M 在椭圆上,若 MF⊥x 轴,直线 2 2 MN 与圆 x +y =1 相切于第四象限内的点 N,则|NF|等于( A ) (A) (B) (C) 2 (D) 解析:因为 F 为椭圆+y =1 的右焦点, 所以 F 点的坐标为(2,0), 因为 MF⊥x 轴,M 在椭圆上且在第一象限, 所以 M 点的坐标为(2, ), 设直线 MN 的斜率为 k(k>0), 则直线 MN 的方程为 y- =k(x-2), 即 kx-y-2k+ =0, 因为直线 MN 与圆 x +y =1 相切, 所以原点到直线 MN 的距离等于半径 1, 即 2 2 =1 解得 k= 或 k=- (舍去), 所以直线 MN 的方程为 2 2 x-y- =0, 联立圆的方程 x +y =1 可得 N 点坐标为(,- ), 所以|NF|= = . 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 7.(2015 东北三校联考)若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +2 相切,则双曲线的 离心率为 . 解析:联立 得 ax -bx+2a=0,令Δ =0,得 b =8a ,故 c =9a ,e=3. 2 2 2 2 2 2 答案:3 8.(2014 高考江西卷)过点 M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆 C:+=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于 . 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 分别代入椭圆方程相减得 - + - =0, 根据题意有 x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2, 且 - =-, 所以+×(-)=0, 2 2 得 a =2b , 2 2 2 所以 a =2(a -c ), 整理得 a =2c 得= , 所以 e= . 答案: 9.设抛物线 x =8y 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,若直线 AF 的倾 斜角等于 60°,则|PF|等于 . 解析:在△APF 中,|PA|=|PF|,|AF|sin 60°=4, 所以|AF|= ,又∠PAF=∠PFA=30°,过点 P 作 PB⊥AF 于点 B,则|PF|= =. 2 2 2 答案: 10.(2016 山西模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0), 因为 c=1,=,所以 a=2, b= , 所以椭圆 C 的方程为+=1. (2)由题意得直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx+1, 联立方程 得(3+4k )x +8kx-8=0,且Δ >0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 =2 ,求

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