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2018版高中数学北师大版选修1-1学案:第三章 3 计算导数 精品

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学习目标 1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数. 知识点一 导函数 思考 对于函数 f(x),如何求 f′(1)、f′(x)?f′(x)与 f′(1)有何关系? 梳理 如果一个函数 f(x)在区间(a, b)上的每一点 x 处都有导数, 导数值记为________, f′(x) =________________________________________________________________________, 则 f′(x)是______________,称 f′(x)为 f(x)的________,通常也简称为________. 区别 f′(x0) f′(x0)是具体的值,是数值 f′(x)是 f(x)在某区间 I 上每一点都存在 导数而定义的一个新函数,是函数 联系 在 x=x0 处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x) 在 x=x0 处的函数值, 因此求函数在某一 点处的导数,一般先求导函数,再计算 导函数在这一点的函数值 f′(x) 知识点二 导数公式表 函数 y=c(c 是常数) y=xα (α 为实数) y=ax (a>0,a≠1) 导函数 y′=________ y′=________ y′=________ y=ex y=logax(a>0,a≠1) y=ln x y=sin x y=cos x y=tan x y=cot x y′=________ y′=________ y′=________ y′=________ y′=________ y′=________ 1 y′=- 2 sin x 类型一 利用导函数求某点处的导数 例 1 求函数 f(x)=-x2+3x 的导函数 f′(x),并利用 f′(x)求 f′(3),f′(-1). 反思与感悟 f′(x0)是 f′(x)在 x=x0 处的函数值. 计算 f′(x0)可以直接使用定义, 也可以先 求 f′(x),然后求 f′(x)在 x=x0 处的函数值 f′(x0). 1 跟踪训练 1 求函数 y=f(x)= +5 的导函数 f′(x),并利用 f′(x),求 f′(2). x 类型二 导数公式表的应用 例 2 求下列函数的导数. π (1)y=sin ;(2)y=x x;(3)y=log3x; 3 sin x (4)y= ;(5)y=5x. x 2cos2 -1 2 反思与感悟 对于教材中出现的 8 个基本初等函数的导数公式,要想在解题过程中应用自 π 3 如,必须做到以下两点:一是正确理解,如 sin = 是常数,而常数的导数一定为零,就 3 2 π? π 不会出现? ?sin3?′=cos3这样的错误结果.二是准确记忆,灵活变形.如根式、分式可先转 化为指数式,再利用公式求导. 跟踪训练 2 求下列函数的导数. (1)y=(1- x)(1+ x (2)y=2cos2 -1. 2 1 )+ x; x 类型三 导数公式的综合应用 命题角度 1 利用导数公式求解切线方程 例 3 已知点 P(-1,1),点 Q(2,4)是曲线 y=x2 上两点,是否存在与直线 PQ 垂直的切线,若 有,求出切线方程,若没有,说明理由. 引申探究 若例 3 条件不变,求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2 的切线方程. 反思与感悟 解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用: (1)切点处的导数是切线的斜率; (2)切点在切线上; (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决. 跟踪训练 3 ________. 命题角度 2 利用导数公式求参数 例 4 已知直线 y=kx 是曲线 y=ln x 的切线,则 k 的值等于( 1 A.e B.-e C. e D.- 1 e ) 过原点作曲线 y = ex 的切线,那么切点的坐标为 ________ ,切线的斜率为 反思与感悟 解决此类问题的关键是设出切点, 根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一 步写出切线方程. 跟踪训练 4 已知函数 f(x)= x,g(x)=aln x,a∈R,若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且 在交点处有相同的切线,求 a 的值. 1.下列结论: 5 2 ①(sin x)′=cos x;②(x )′=x ; 3 3 ③(log3x)′= 1 1 ;④(ln x)′= . 3ln x x ) 其中正确的有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 1 2.质点的运动方程是 s= 4(其中 s 的单位为 m,t 的单位为 s),则质点在 t=3 s 时的速度为 t ( ) -4 A.-4×3 C.-5×3 m/s m/s B.-3× 3 -4 -5 m/s m/s -5 D.-4× 3 3.设函数 f(x)=logax,f′(1)=-1,则 a=________. 1 4.在曲线 y= 上一点 P 处的切线的斜率为-4,则点 P 的坐标为________. x 5.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数 公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想与化归. 2.有些函数可先化简再求导. x 如求 y=1-2sin2 的导数. 2 x 因为 y=1-2sin2 =cos x, 2 所以 y′=(cos x)′=-sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 f′(1)= lim → f′(x)= lim → Δx 0 f?1+Δx?-f?1? . Δx Δx 0 f?x+Δx?-f?x? . Δx f′(1)可以认为把 x=1 代入导数 f′(x)得到的值. 梳理 f′(x) 知识点二 0 αxα -1 Δx→0 lim

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