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高三复习平面向量的概念_图文

时间:2017-11-12

曹贻平
03.11

复习 目标

掌握平面向量及其相关的基本概念, 并能较熟练准确地应用. 掌握平面向量的表示方法,熟练准 确地等价转换向量间的特殊关系. 掌握平面向量的知识结构,明确其 重点—向量的运算、向量特殊关系 的转化及应用.

知识 结构
平 面 向 量

向量的定义 向量知识 向量的表示
向量的运算 三重要结论 定比分点 向量应用 平移

解三角形

平面向量的定义 :大小、方向 向 量 的 表 示

几何表示:有向线段
? ??? ? 字母表示 : a 、AB 等

向量的 定义及 其长度

坐标表示 :(x,y)

向量的长度(模)
??? ? | AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ( x 2 ? y 2 )

下列物理量中,不能称为向量的有 2 个 例题 质量 速度 时间 位移 力 加速度
两个向量的模相等是这两个向量相 等的 必要非充分 条件。 两个向量不等的既非充分又非必要条 件是两向量的起点、终点都不重合。 两个向量互为相反向量的 充要条件 是两向量的和是零向量。

小结
向量既有大小,又有方向!特别零向量 的大小为零,方向任意(不确定)! 对向量的大小和方向都明确规定的概念 是:相等向量、相反向量! 仅对向量的大小明确规定,而没有对向 量的方向明确规定的概念是: 单位向量、零向量! 仅对向量的方向明确规定,而没有对向 量的大小明确规定的概念是: 平行(共线)向量、垂直向量!

向 量 的 相 关 定 义

零向量、单位向量 相等向量、相反向量 平行向量、共线向量

向量的 相关定义

向量的夹角(定义、范围) 向量垂直的定义

判断下列命题的真假:

例题

(假) 1.单位向量都相等; ? ? a (真) 2.与非零向量a共线的单位向量是 ? ? ; |a| (假) 3.长度不等且方向相反的两向量不一定共线; ? ? ? ? (假) 4.若a // b, 则a与b的方向相同或相反 ; ? ? ?? (真) 5.若a与b不共 线,则a、 b均 为 非零向量 ; ? ? ? ? ? ? (假) 6.若a // b, 且b // c, 则a // c ; ? ? ? ? ? ? ? ? (假) 7.若a 、 b满 足 : | a |?| b | 且a与b 同向 , 则a ? b ; ? ? ? ? (假) 8. 0与 a ( a ? 0)的夹角θ∈[0,π]。

小结
单位向量虽然仅规定了长度,但它有 方向,只不过其方向可以任意给定, 且一旦给定方向,其方向就随之确定. 与向量 a 共线的单位向量,都可用 a 表示 .
? |a|

向量的平行与共线与原平面几何中的 平行共线的意义不同,这里有了新的 内涵!特别应重视零向量的影响!!

例 题

? 1.设A(2,3)、B(2,1), a ? ( x 2 ? 3 x ? 4, x ? 3), ? ??? ? 且 a ? ? AB, 则x ? -1 。 ??? ? ??? ? ???? 2.设OA ? ( k ,12)、 OB ? (4,5), OC ? (10, k ),

且A、B、C三点共线,则k ? 11或-2 。 ? ? ? ? ? ? 3.设a ? (1, 2)、 b ? ( x,1), 且(2a ? b) //( a ? 2b), 则x ? 0.5。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4.设OA ? ( ?1, 2)、 OB ? (3, m), 且OA ? AB, 则m ? 4 。

已知a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ),则

小结

? x1 ? ? x2 , ? x1 ? x2 , a ?b ?y ? ?y . ?y ? y . a ? ? b 2 ? 1 2 ? 1 a // b 存在m、n使m a ? nb ? 0 x1 y2 ? x2 y1 ? 0“交叉积”的差为零 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 a?b a ?b ? 0

? ? ? ?

?

?

“对应积”的和为零

点A、B、C共线

AC共线 ? ? ?向量 AB、

思 考

? ? ??? ? ? ? ???? ? ? 1.a 、 b 不共线, AB ? a ? kb, AC ? la ? b, ???? ??? ? 则 AC与 AB夹角为? 的条件是 kl ? 1且 l ? 0。 ? ? ? ? ? ? 2.设|a|=3,|b|=4,且(a +b)( ? a +3b)=33, ? ? ? 则a与b的夹角为 120 。 ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设|a|= 2,|b|=1, a与b的夹角为 , c =ma +3b, 3 ? ? ? ? ? ? ? d = 2a ? mb,且c ? d,则m ? 6或-1 。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4.设OA=( - 2,1), OB =(2, k ), OA与OB的夹角为 ??? ? ??? ? 135?,且|OA|<|OB|,则k ? -6 。

小结
已知a、b ,?为a、 b的夹角, 则( a ) 2 ?| a |2 a?b a ? b ?| a || b | cos ? , cos ? ? . | a || b |

a、 b夹角为0

b方向相同 ?a // b且a、 ? 存在? ? 0,使 a ? ? b . b方向相反 a、 b夹角为 ? ? a // b且 a、 ?存在? ? 0,使 a ? ? b . a、 b夹角为锐角?a ? b ? 0且 a ? b ?| a || b |

a、 b夹角为钝角?a ? b ? 0且 a ? b ? ? | a || b |

思 考 已知 | a |? 2 , | b |? 3, a、 b的夹
角为

?

4 b的夹角为钝角,求实数?的 取值范围 .

, 且向量 a ? ? b与? a ?

课堂 小结

内容:平面向量的定义、 表示和相关概念.
重点:平面向量中相关 概念的辨析.

作 业 见 资 料

特别: 零向量,单位向量, 相等与相反向量, 共线、平行与垂直向量, 向量的夹角等.

谢 谢 大 家

再 见

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想方设法要找个机会亲自问问耿正的。我真浑啊,你那天心里有多么难受啊,我还那样不知好歹地给你添乱”乔氏轻轻地拍拍女儿的后背,努 力地笑了笑,说:“不要责怪自己了。这样也好啊,终于快刀斩乱麻地把你和耿正之间的事情掰扯清楚了,而且你和东伢子的事情也确定下来 了,姆妈很高兴呢!这件事情还多亏了你耿英妹子,她比你小四岁,但处理起这样棘手的事情来利利索索的,说出来的每一句话都能打动人心” 小青终于不再哭了。她站起身来往脸盆里舀一瓢水,再兑点儿热水进去;然后拧一块儿湿毛巾过来给姆妈擦擦脸,又把自己的脸也擦干净了。 然后,她长长地呼出一口气,非常懂事地说:“姆妈,通过这件事情,我感觉自己真得长大了。你放心,我以后再也不任性了。而且,我和东 伢子一定要寻找到一个就像我爹一样好的人来陪伴姆妈,我要就像对待亲爹一样对待他,让姆妈的后半生过得快快乐乐的!”乔氏苦笑着站起 身来说:“我的傻丫头啊,你在说些什么呢!咱们该上街去了。买了鱼回来,还得收拾呢!”102第四十回 东伢子终得小青心|(晓之以理动以 情,耿英劝解白小青;棘手麻烦全化解,东伢子终得小青心。)且说耿英,只见她说着话马上转身来到西屋门前。稍微犹豫了一下,她开始轻 轻拍门,并且大声对还在屋里边儿痛哭着的小青说:“小青姐,你哭够了没有啊?在我的印象中,你并不是一个不讲道理的人啊!在咱们四个 娃儿中你最大,怎么就没有一个当姐姐的样子了呢!”听一听,这样说好像不管用,屋里的小青还在痛哭。耿英就将口气放缓和一些,继续大 声说:“姐姐,你小声点儿哭听我说话好不好?我也是一个女娃子,你现在的心情我完全能理解。但是,这件事情你一点儿也不应该怪我哥的, 他在认识姐姐之前,就已经有了自己倾心相爱的人。他能拒绝姐姐你这样的好女娃,说明他是一个非常重情重义的好伢子,你应该为自己没有 看走眼而高兴啊!还有,你如果真的喜欢我哥,就应该为他祝福才对啊!”小青的哭声小了一些,抽抽泣泣地说:“我,我并不是怪他啊,只 是这心里边太,太难过了啊!我的命怎么,怎么就这么苦啊!”话音未落,哭声又大了起来。耿英说:“姐姐啊,你还是小声点儿哭,听我说 话好不好?我告诉你,你的命其实一点儿也不苦,让我羡慕还来不及呢!你也知道的,对门儿的东伢子一直很喜欢你。今儿个下午,他知道我 哥去了小树林里,后来又看到你慌里慌张地也去那里了,他不放心,就远远地跟着去了。看到你哭着跑了出来,他还以为是我哥欺负你了,就 抡拳头打了我哥。他一边打着还一边对我哥说:‘小青她既然喜欢你,你可以娶她,但我绝不允许你欺负她!’。我说我的好姐姐啊,居然能 这样全身心喜欢你的东

曹懿平 caoyiping62@vip.sina.com


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