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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题

时间:2012-07-25


2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 35 讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
一.课标要求:
1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加强等价转 化思想的训练; 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单应用。

二.命题走向
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定, 解答题往往以中档题或以押轴题形式出现, 主要考 察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线 在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计 2007 年高考对本讲的考察,仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常不给出图形或不给出坐标系, 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力; 2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解题中需要 根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确的构造不等 式或方程,体现了解析几何与其他数学知识的联系。 预测 2013 年高考: 1.出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题; 2.可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的小问。

三.要点精讲
1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 含 义 说 明

1、“建”:建立坐标 系;“设”:设动点坐 标。

建立适当的直角坐标 系,用(x,y)表示曲线上 任意一点 M 的坐标。

(1) 所研究的问题已给出坐标系, 即可直接 设点。 (2) 没有给出坐标系, 首先要选取适当的坐 标系。

2、现(限): 由限制条

写出适合条件 P 的点 M

这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析
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件,列出几何等式。 的集合 P={M|P(M)} 3、“代”:代换 用坐标法表示条件 P(M), 列出方程 f(x,y)=0 4、“化”:化简 化方程 f(x,y)=0 为最简 形式。 5、证明 证明化简以后的方程的 解为坐标的点都是曲线 上的点。

题意,使写出的条件简明正确。 常常用到一些公式。

要注意同解变形。

化简的过程若是方程的同解变形,可以不 要证明,变形过程中产生不增根或失根, 应在所得方程中删去或补上(即要注意方程 变量的取值范围)。

这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”:建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本 方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另 一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标 x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类: 一类是有关长度和面积的最值问题; 一类是圆锥曲线中有关的几何元素的 最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等 式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注 意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长 |AB|为:

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若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值, 关键是建立所求量关于自变量的函数关系, 再利用代数方法求出 相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围。 (2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断 方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型, 随着高考改革的深入, 同时课本上也出现了许多与圆 锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、 人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系, 合理选择曲线模型, 然后转 化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:
建立坐标系 转化成数学问题 实际问题 数学模型方程

翻译回去 模型的解 讨论方程的解

(4)知识交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强 区分度的综合题。

四.典例解析
题型 1:求轨迹方程 例 1. (1)一动圆与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切, 求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。 (2)双曲线
x
2

? y

2

9

? 1 有动点 P , F1 , F 2 是曲线的两个焦点,求 ? P F1 F 2 的重心 M 的

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轨迹方程。 解析: (法一) (1) 设动圆圆心为 M ( x , y ) , 半径为 R , 设已知圆的圆心分别为 O 1 、O 2 , 将圆方程分别配方得: ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4 , ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 0 0 , 当 ? M 与 ? O 1 相切时,有 | O1 M |? R ? 2 ① 当 ? M 与 ? O 2 相切时,有 | O 2 M |? 10 ? R ② 将 ①② 两 式 的 两 边 分 别 相 加 , 得
| O1 M | ? | O 2 M | ? 12 ,
y

P

O1

O2

x

即 ③

( x ? 3) ? y ?
2 2

( x ? 3) ? y
2

2

? 12

移项再两边分别平方得:
2 ( x ? 3) ? y
2 2

? 12 ? x



两边再平方得: 3 x 2 ? 4 y 2 ? 1 0 8 ? 0 ,
x
2

整理得

?

y

2

?1,

36

27 x
2

所以,动圆圆心的轨迹方程是

?

y

2

? 1 ,轨迹是椭圆。

36

27

(法二)由解法一可得方程 ( x ? 3) 2 ? y 2 ?

( x ? 3) ? y
2

2

? 12 ,

由以上方程知,动圆圆心 M ( x , y ) 到点 O1 ( ? 3, 0) 和 O 2 (3, 0) 的距离和是常数 1 2 ,所以 点 M 的轨迹是焦点为 O1 ( ? 3, 0) 、O 2 (3, 0) ,长轴长等于 1 2 的椭圆,并且椭圆的中心在坐标 原点,焦点在 x 轴上, ∴ 2 c ? 6 , 2 a ? 12 ,∴ c ? 3 , a ? 6 , ∴ b 2 ? 36 ? 9 ? 27 ,
x
2

∴圆心轨迹方程为

?

y

2

?1。

36

27
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(2) 如图, P , M 点坐标各为 P ( x1 , y1 ), M ( x , y ) , 设 ∴在已知双曲线方程中 a ? 3, b ? 1 , ∴c ?
9 ?1 ? 10

∴已知双曲线两焦点为 F1 ( ? 10 , 0), F2 ( 10 , 0) , ∵ ? P F1 F2 存在,∴ y1 ? 0
? x1 ? ( ? 1 0 ) ? ?x ? ? 3 由三角形重心坐标公式有 ? ? y ? y1 ? 0 ? 0 ? 3 ? 10

,即 ?

? x1 ? 3 x ? y1 ? 3 y



∵ y1 ? 0 ,∴ y ? 0 。
(3 x ) 9
2

已知点 P 在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有

? (3 y ) ? 1( y ? 0 )
2

即所求重心 M 的轨迹方程为: x 2 ? 9 y 2 ? 1( y ? 0) 。 点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹方程的方法。 例 2.设 P 为双曲线 M 的轨迹方程是
x
2

? y2=1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点

4



解析: (1)答案:x2-4y2=1 设 P(x0,y0) ∴M(x,y) ∴x ?
x0 2 ,y ? y0 2

∴2x=x0,2y=y0



4x 4

2

-4y2=1 ? x2-4y2=1

点评:利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。 题型 2:圆锥曲线中最值和范围问题 例 3. (1)设 AB 是过椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 中心的弦,椭圆的左焦点为

F1 ( ? c , 0 ) ,则△ F1AB 的面积最大为(

) C. a c D. b 2
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A. b c

B. ab

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(2)已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲

线的右支上,且 | P F1 | ? 4 | P F2 | ,则此双曲线的离心率的最大值是( A.
4 3



B.

5 3

C. 2
x
2

D.
y

7 2
2

(3)已知 A(3,2) 、B(-4,0) ,P 是椭圆 大值为( A. 10 C. 10 ?
5

?

? 1 上一点,则|PA|+|PB|的最

25

9

) B. 10 ?
5

D. 10 ? 2 5

解析: (1)如图,由椭圆对称性知道 O 为 AB 的中点,则△ F1OB 的面积为△ F1AB 面 积的一半。又 | O F1 | ? c ,△ F1OB 边 OF1 上的高为 y B ,而 y B 的最大值是 b,所以△ F1OB 的面积最大值为
1 2 c b 。所以△ F1AB 的面积最大值为 cb。

点评:抓住△ F1AB 中 | O F1 | ? c 为定值,以及椭圆是中心对称图形。 (2)解析:由双曲线的定义, 得: | P F1 |? | P F2 | ? 2 a , 又 | P F1 | ? 4 | P F2 | ,所以 3| P F 2 | ? 2 a ,从而 | P F 2 | ? 由双曲线的第二定义可得
| P F2 | x ? a
2

2 3

a

?

c a



c
5a
2

所以 x ?

。又 x ? a , 即

5a

2

? a ,从而 e ?

c a

?

5 3

。故选 B。

3c

3c

点评:“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键, 也是不等关系

5a

2

? a 成立的

3c

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条件。利用这个结论得出关于 a、c 的不等式,从而得出 e 的取值范围。 (3)解析:易知 A(3,2)在椭圆内,B(-4,0)是椭圆的左焦点(如图) ,则右焦 点为 F(4,0) 。连 PB,PF。由椭圆的定义知:

| P B |? | P F | ? 10 ,

所以 | P B | ? 10 ? | P F | , 所 以 | P A |? | P B | ? | P A |? 10 ? | P F | ? 10 ? (| P A |? | P F | ) 。 由平面几何知识,
|| P A |? | P F || ? | A F | ,即 (| P A |? | P B |) m in ? 10 ? | A F | ,

而| AF |?

(3 ? 4 ) ? (2 ? 0)
2

2

?

5,

所以 (| P A |? | P B | ) m in ? 10 ?

5 。

点评:由△ PAF 成立的条件 || P A |? | P F || ? | A F | ,再延伸到特殊情形 P、A、F 共线,从 而得出 || P A |? | P F || ? | A F | 这一关键结论。
x a
2 2

例 4. (1)设 P 是椭圆 求 P Q 的最大值。

? y

2

? 1 ? a ? 1 ? 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,

(2) 已知在平面直角坐标系 xO y 中的一个椭圆, 它的中心在原点, 左焦点为 F ( ? 3 , 0 ) , 右顶点为 D (2, 0 ) ,设点 A ? 1,
? ? 1 ? ?. 2?

①求该椭圆的标准方程; ②若 P 是椭圆上的动点,求线段 P A 中点 M 的轨迹 方程; ③过原点 O 的直线交椭圆于点 B , C ,求 ? A B C 面积的最大值。 (3)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的
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四边形为正方形,两准线间的距离为 l。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当 ΔAOB 面积取得最大值时,求直 线 l 的方程。 解析: (1)依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x2+(y-1)2 ,又因为 Q 在椭圆上, 所以,x2=a2(1-y2), |PQ|2= a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2, =(1-a2)(y- 1 1 )2- +1+a2 。 1-a2 1-a2

a2 a2-1 1 1 因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则| |≤1, 当 y= 时, |PQ|取最大值 2 , 1-a2 1-a2 a -1 若 1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2。 (2)①由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1,
x
2

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

? y

2

?1。

4

②设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x=
x0 ? 1 2

x0= 2x-1 得 y0=

由 y=
y0 ? 2 1 2

2y-

1 2

由,点 P 在椭圆上,得

( 2 x ? 1) 4

2

? (2 y ?

1 2
1 2 )

)

2

? 1,
1 4

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ?

2

? 4( y ?

)

2

? 1。

③当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ ABC 的面积 S△ ABC=1。 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入
x
2

? y

2

?1,

4

解得 B(
4k

2
2

,
?1

2k 4k
2

),C(-
?1 4k

2
2

,-
?1

2k 4k
2

),
?1

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则 BC ? 4

1? k

2

k ?

1 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d=
2


2

1 ? 4k

1? k
1 2 2k ? 1 1 ? 4k
4k 4k
2

∴△ ABC 的面积 S△ ABC=

AB ? d ?


2

于是 S△ ABC= 由
4k 4k
2

4k

2

? 4k ? 1
2

4k

?1

?

1?

?1


1 2

?1

≥-1,得 S△ ABC≤ 2 ,其中,当 k=-

时,等号成立。

∴S△ ABC 的最大值是 2 。 (3)解:设椭圆方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? c )

?b ? c 2 ?a ? 2 ? 2 2 ? 2 x ? 2a 2 ? y ?1。 (Ⅰ)由已知得 ? ? 4 ? ? b ? 1 ∴所求椭圆方程为 2 ? 2 ? c c ?1 2 2 2 ? ?a ? b ? c ?

(Ⅱ)解法一:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为
y ? kx ? 2, A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
? y ? kx ? 2 ? 由? x2 ,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 8 kx ? 6 ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 2

由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,?? ? 0 ? 64 k 2 ? 24(1 ? 2 k 2 ) ? 0 ,解得 k ?
2

3 2



8k ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2k 又由韦达定理得 ? , 6 ?x ?x ? 1 2 2 ? 1 ? 2k ?
1? k 1 ? 2k
2 2

?| A B |?

1? k

2

| x1 ? x 2 | ?

1? k

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

16k ? 24 。
2

原点 O 到直线 l 的距离 d ?

2 1? k
2



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? S ? AOB ?

1 2

| A B | ?d ?

16k ? 24
2

1 ? 2k ? 24
2

2

?

2

2

2k ? 3
2 2

1 ? 2k

.

解法 1:对 S ?
2 4 2

16k

2

1 ? 2k
2

两边平方整理得:

, 4 S k ? 4( S ? 4) k ? S ? 24 ? 0 (*)
2

? 2 2 2 2 ?1 6 ( S ? 4 ) ? 4 ? 4 S ( S ? 2 4 ) ? 0 , ? 2 1 ?4? S 2 ? 0 ∵S ? 0 ,? ,整理得: S ? 。 2 2 ? S 2 ? S ? 24 ? 0 ? 2 ? 4S
2 2 2 2 14 2

又S ? 0 , ? 0 ? S ?

,从而 S ? A O B 的最大值为 S ?



此时代入方程(*)得 4 k 4 ? 28 k 2 ? 49 ? 0 ,? k ? ?



所以,所求直线方程为: ? 1 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 解法 2:令 m ?
2
2

2 k ? 3 ( m ? 0 ) ,则 2 k ? m ? 3 。
2
2 2

?S ?

2m

m ?4

?

2 m ?

2 4 m

?

2 2

当且仅当 m ?

4 m

即 m ? 2 时, S m a x ?

2 2

,此时 k ? ?

14 2



所以,所求直线方程为 ? 14 ? 2 y ? 4 ? 0 解法二:由题意知直线 l 的斜率存在且不为零。 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 则直线 l 与 x 轴的交点 D ( ?
2 k , 0) ,

由解法一知 k

2

8k ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 3 ? 1 ? 2k ? 且? , 2 6 ?x ?x ? 1 2 2 ? 1 ? 2k ?
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解法 1: S ? A O B ?

1 2

| O D | ? | y 1 ? y 2 |?

1 2

|

2 k

| ? | k x1 ? 2 ? k x 2 ? 2 |

= | x1 ? x 2 |
? ( x ? x ) ? 4 x1 x 2
2 2 2

?

16k ? 24
2

1 ? 2k 2 2

2

?

2k

2 2

?3

1 ? 2k

.

下同解法一. 解法 2: S ? A O B ? S ? P O B ? S ? P O A ? 下同解法一。 点评:文科 06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题,主要是三角形的面积、弦长问 题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。 题型 3:证明问题和对称问题
1 2 ? 2 ? || x 2 | ? | x 1 || ? | x 2 ? x1 |

2

2

2k ? 3
2 2

1 ? 2k



例 5. (1)如图,椭圆

x a

2 2

?

y b

2

=1(a>b>0)与

过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且 椭圆的离心率 e=
3 2

.

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、 2 分别为椭圆的左、 F 右焦点, 为线段 AF 1 的中点, M 求证: ∠ATM=∠AF 1 T。

(2)设 A , B 分别为椭圆 距,且 x ? 4 为它的右准线。 (Ⅰ) 、求椭圆的方程;

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a , b ? 0 ) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦

(Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 A P , B P 分别与椭圆相
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交于异于 A , B 的点 M 、 N ,证明点 B 在以 M N 为直径的圆内。 (3)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。
?? ? ?? ?

①求证:“如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; ②写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由. 解析: (I)过点 A 、 B 的直线方程为 (1)
?x y ? 2 ? 2 ?1 ? b 因为由题意得 ? a 有惟一解, 1 ?y ? ? x ?1 ? 2 ?
2 2

x 2

? y ? 1.

即 (b ?
2

1 4

a )x ? a x ? a ? a b
2 2 2 2 2 2

2

? 0 有惟一解,

所以 ? ? a 2 b 2 ( a 2 ? 4 b 2 ? 4) ? 0
3 2
x
2

( ab ? 0 ) ,故 a 2 ? 4 b 2 ? 4 ? 0.
3 4
1 2

又因为 e ?

,即

a ?b
2

2

a

2

?

, 所以

a ? 4 b . 从而得
2 2

a

2

? 2, b

2

?

,

故所求的椭圆方程为

? 2y

2

? 1.

2

(II)由(I)得

c ?

6 2

, 故 F1 ( ?

6 2

, 0 ), F 2 (

6 2

, 0 ), 从而 M (1 ?

6 4

, 0 ).

?x 2 ? 2y ?1 ? 1 ? 由? 2 ,解得 x1 ? x 2 ? 1, 所以 T (1, ). 2 ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?
2

因为 ta n ? A F1T ?

6 2

? 1, 又 ta n ? T A M ?

1 2

, ta n ? T M F 2 ?

2 6

,

2

? 1

1 2 6
? 6 2 ? 1, 因此 ? A T M ? ? A F1T .

得 ta n ? A T M ?

6 1?

点评:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,同时考察解析几何的基 本思想方法和综合解题能力。

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(2) (Ⅰ)依题意得 a=2c,

a c

2

=4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 .

故椭圆的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

4

3

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x0,y0). ∵M 点在椭圆上, 0= (4-x02) ∴y .
4 3

1 ○ 又点 M 异于顶点 A、 ∴-2<x0<2, B, 由 P、A、M 三点共线可以得
6 y0 x0 ? 2
-4

2

M

1

A -2

2

B

4

-1

P(4,

).

N
-2

-3

从而 BM =(x0-2,y0) ,
6 y0 x0 ? 2

BP =(2,

).

∴ BM · =2x0-4+ BP

6 y0

2

x0 ? 2



2 x0 ? 2

(x02-4+3y02).

2 ○

将○代入○,化简得 BM · = 1 2 BP

5 2

(2-x0).

∵2-x0>0,∴ BM · >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, BP 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,
x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 2

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(



) ,

依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差

2013 年普通高考数学科精品复习资料

第 13 页 共 24 页

BQ

2



1 4

MN

2

=(

x1 ? x 2 2

-2)2+(

y1 ? y 2 2

)2-

1 4

[(x1-x2)2+(y1-y2)2]

=(x1-2) (x2-2)+y1y1

3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 x1 ? 2

( x ? 2 ) ,直线 BP 的方程为 y=

y2 x2 ? 2

( x ? 2) ,

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上,
6 y1 x1 ? 2 6 y2 x2 ? 2 ( x 2 ? 2) y1 3 x1 ? 2



?

,即 y2=

4 ○

又点 M 在椭圆上,则

x1 4

2

?

y1 3

2

? 1 ,即 y 1

2

?

3 4

( 4 ? x1 )

2

5 ○

于是将○、○代入○,化简后可得 BQ 4 5 3 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。

2



1 4

MN

2

= ( 2- x 1 )( x 2 ? 2 ) ? 0 .
4

5

点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学 知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 (3)证明:①设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x12,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3, 6 )、 B(3,- 6 ),∴ OA ? OB =3。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0. y2=2x 当 y=k(x -3) 又∵x1=
1 2

得 ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6.

y 12 , x2=

1 2

y2 , 2
1 4 ( y1 y 2 )
2

∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=

? y 1 y 2 =3.

综上所述, 命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题. ②逆命题是:设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB =3,那么该直线过点
2013 年普通高考数学科精品复习资料 第 14 页 共 24 页

T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( 直线 AB 的方程为 Y=
2 3

1 2

,1),此时 OA ? OB =3,

(X+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上.

点评:由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、B(x12,y2)满足 OA ? OB =3,可得 y1y2=-6。或 y1y2=2, 如果 y1y2=-6, 可证得直线 AB 过点(3,0); 如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(-1,0), 而不过点(3,0)。 例 6. (1)椭圆 C:
P F1 ? F1 F 2 , | P F1 | ? 4 3
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且

, | P F 2 |?

14 3

.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A , B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程。 (2)已知三点 P(5,2) F1 (-6,0) F 2 (6,0) 、 、 。 (Ⅰ)求以 F1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F 2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P ? 、 F 1' 、 F 2' ,求以 F 1' 、 F 2' 为 焦点且过点 P ? 的双曲线的标准方程。 解析: (1)解法一: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上, 所以 2 a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 , a=3. 在 Rt△ PF1F2 中, F1 F 2 ?
PF 2
2

O

? PF 1

2

? 2 5, 故
x
2

椭圆的半焦距 c= 5 ,从而 b2=a2-c2=4,所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 。

?

y

2

=1。

9

4

已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1,

2013 年普通高考数学科精品复习资料

第 15 页 共 24 页

代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以
x1 ? x 2 2 ? ? 18 k
2

? 9k
2

4 ? 9k

? ?2.

解得 k ?

8 9


8 9 ( x ? 2 ) ? 1,

所以直线 l 的方程为 y ? 即 8x-9y+25=0.

(经检验,所求直线方程符合题意) 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且
x1 9 x2 9
2 2

?

y1 4

2

? 1, ①

?

y2 4

2

? 1, ②

由①-②得:

( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) 9

?

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) 4

? 0.



因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4,y1+ y2=2。 代入③得
y1 ? y 2 x1 ? x 2



8 9

,即直线 l 的斜率为

8 9

,所以直线 l 的方程为 y-1=

8 9

(x+2) ,

即 8x-9y+25=0。 (经检验,所求直线方程符合题意.) (2)①由题意可设所求椭圆的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0), 其 半 焦 距

c=6, 2 a ? P F1 ? P F2 ?

11 ? 2 ?
2 2

1 ?2
2

2

? 6 5 ∴ a ? 3 5 ,b =a -c =9。

2

2

2

所以所求椭圆的标准方程为

x

2

?

y

2

?1

45

9
第 16 页 共 24 页

2013 年普通高考数学科精品复习资料

②点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P (2,5)、F1 (0,-6)、 F2 (0,6)。 设所求双曲线的标准方程为
x
2 2







?

y

2 2

a1

b1

? 1( a 1 ? 0 , b1 ? 0 ) 。

由题意知,半焦距 c1=6, 2 a 1 ? P ?F1? ? P ?F 2 ? ?

11 ? 2
2

2

?

1 ?2
2
2

2

? 4

5 。

a1 ? 2 5 ,b1 =c1 -a1 =36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为

2

2

2

x

?

y

2

?1。

20

16

点评:本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基 本运算能力。 题型 4:知识交汇题 例 7.已知点 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ( x1 x 2 ? 0 ) 是抛物线 y 2 ? 2 p x ( p ? 0 ) 上的两个动 点, O 是坐标原点,向量 O A , O B 满足 O A ? O B ? O A ? O B .设圆 C 的方程为
x ? y ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0
2 2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(I) 证明线段 A B 是圆 C 的直径; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
2 5 5

时,求 p 的值。
??? ? ??? ?

解析:(I)证明 1: ? O A ? O B ? O A ? O B ,? ( O A ? O B ) 2 ? ( O A ? O B ) 2
??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? O A ? 2O A ? O B ? O B ? O A ? 2O A ? O B ? O B

??? ?

整理得: O A ? O B ? 0
? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0

??? ??? ? ?

设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 M A ? M B ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? 0 整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0 故线段 A B 是圆 C 的直径 证明 2: ? O A ? O B ? O A ? O B ,? ( O A ? O B ) 2 ? ( O A ? O B ) 2
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

???? ????

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第 17 页 共 24 页

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? O A ? 2O A ? O B ? O B ? O A ? 2O A ? O B ? O B

整理得: O A ? O B ? 0
? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ……..(1)

??? ??? ? ?

设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即
y ? y2 x ? x2 ? y ? y1 x ? x1 ? ? 1( x ? x 1 , x ? x 2 )

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ), ( x1 , y 2 ), ( x 2 , y1 )( x 2 , y 2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:
x ? y ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0
2 2

故线段 A B 是圆 C 的直径 证明 3: ? O A ? O B ? O A ? O B ,? ( O A ? O B ) 2 ? ( O A ? O B ) 2
??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? O A ? 2O A ? O B ? O B ? O A ? 2O A ? O B ? O B

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

整理得: O A ? O B ? 0
? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0 ……(1)

??? ??? ? ?

以线段 AB 为直径的圆的方程为
(x ? x1 ? x 2 2 ) ? (y ?
2

y1 ? y 2 2

) ?
2

1 4

[( x 1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) ]
2 2

展开并将(1)代入得:
x ? y ? ( x1 ? x 2 ) x ? ( y1 ? y 2 ) y ? 0
2 2

故线段 A B 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x ? x2 ? x ? 1 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2

? y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px 2 ( p ? 0)
2 2

2013 年普通高考数学科精品复习资料

第 18 页 共 24 页

? x1 x 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0
? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2
y1 y 2 4p
2 2 2

? ? y1 ? y 2 ?

? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0

? y1 ? y 2 ? ? 4 p
x1 ? x 2 2 1 p

2

x ?

?

1 4p

( y1 ? y 2 ) ?
2 2

1 4p

( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ?
2 2

y1 y 2 4p

?

(y ? 2p )
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
| ? 1 p 5
2 2

d ?

|x? 2y | 5

(y ? 2p )? 2y |
2 2

?

| y ? 2 py ? 2 p |
2 2

5p

?

| ( y ? p) ? p | 5p
p 5

当 y=p 时,d 有最小值
? p ? 2.

,由题设得

p 5

?

2 5 5

解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x ? x2 ? x ? 1 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? ? 2

? y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px 2 ( p ? 0)
2 2

2013 年普通高考数学科精品复习资料

第 19 页 共 24 页

? x1 x 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0
? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2
y1 y 2 4p
2 2 2

? ? y1 ? y 2 ?

? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0

? y1 ? y 2 ? ? 4 p
x1 ? x 2 2 1 p

2

x ?

?

1 4p

( y1 ? y 2 ) ?
2 2

1 4p

( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ?
2 2

y1 y 2 4p

?

(y ? 2p )
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2
2 5 5

设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为
m ? ?2

,则

因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 5 5

? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? p x ? 2 p ? (3 )

将(2)代入(3)得 y 2 ? 2 py ? 2 p 2 ? 2 p ? 0
? ? ? 4 p ? 4(2 p ? 2 p ) ? 0
2 2

? p ? 0 ? p ? 2.

解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
2013 年普通高考数学科精品复习资料 第 20 页 共 24 页

x ? x2 ? x ? 1 ? ? 2 ? y1 ? y 2 ?y ? ? ? 2

圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
| d ? x1 ? x 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) | 5

? y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px 2 ( p ? 0)
2 2

? x1 x 2 ?

y1 y 2 4p
2

2

2

又因 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0
? x1 ? x 2 ? ? y1 ? y 2
y1 y 2 4p
2 2 2

? ? y1 ? y 2 ?

? x1 ? x 2 ? 0,? y1 ? y 2 ? 0

? y1 ? y 2 ? ? 4 p
1 4p
2

2

| ?d ?

( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) |
2

? 5

| y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4 p ( y1 ? y 2 ) ? 8 p |
2 2 2

4 5p
2

?

( y1 ? y 2 ? 2 p ) ? 4 p
2

4

5p
p 5

当 y1 ? y 2 ? 2 p 时,d 有最小值
? p ? 2.

,由题设得

p 5

?

2 5 5

点评:本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基 础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。

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第 21 页 共 24 页

例 8.如图,对每个正整数 n , An ( x n , y n ) 是抛 物线 x 2 ? 4 y 上的点,过焦点 F 的直线 F A n 角抛物线 于另一点 B n ( s n , t n ) 。 (Ⅰ)试证: x n s n ? ? 4( n ? 1) ; (Ⅱ) x n ? 2 n ,并记 C n 为抛物线上分别以 A n 取 与 B n 为切点的两条切线的交点。 试证: F C 1 ? F C 2 ? ? ? F C n ? 2 ? 2
n ? n ?1

?1 ;

证明: (Ⅰ)对任意固定的 n ? 1, 因为焦点 F(0,1) , 所以可设直线 A n B n 的方程为 y ? 1 ? k n x , 将它与抛物线方程 x 2 ? 4 y 联立得: x 2 ? 4 k n x ? 4 ? 0 , 由一元二次方程根与系数的关系得 x n s n ? ? 4( n ? 1) . (Ⅱ)对任意固定的 n ? 1, 利用导数知识易得抛物线 x 2 ? 4 y 在 A n 处的切线的斜率
kA ?
n

xn 2

, 故 x ? 4 y 在 A n 处的切线的方程为: y ? y n ?
2

xn 2

( x ? x n ) ,……①
sn 2 ( x ? s n ) ,……②

类似地,可求得 x 2 ? 4 y 在 B n 处的切线的方程为: y ? t n ? 由②-①得: y n ? t n ? ?
xn ? sn 2 xn ? sn
2 2

xn ? sn 2

x?

xn ? sn
2

2

?

xn 4

2

?

sn 4

2



2

x ?

,? x ?

xn ? sn 2

……③
xn ? sn 2 , ? 1) .
2

4

将③代入①并注意 x n s n ? ? 4 得交点 C n 的坐标为 ( 由两点间的距离公式得: F C n
2
2

? (

xn ? sn 2

) ?4 ?
2

xn 4

2

?

sn 4

? 2

?

xn 4

?

4 xn
2

?2 ? (

xn 2

?

2 xn

) ,? FCn ?
2

xn 2

?

2 xn



现在 x n ? 2 n ,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得:

2013 年普通高考数学科精品复习资料

第 22 页 共 24 页

F C1 ? F C 2 ? ? ? F C n ? ? 1 2 (2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2(
2 n

1 2 ?

( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) ? 2 ( 1 2
2

1 x1

?

1 x2
1? n

?? ?

1 xn

)

1 2

?? ?

1 2
n

) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 2
n

)? 2 ?2
n

? n ?1

? 1.

点评:该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。

五.思维总结
1.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研究的问题背景平面几何的 一些性质; 2.复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容 曲线与方程有两个方面:一是求曲线方程,二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问 题在历年高考中年年出现,且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法,即 在建立了平面直角坐标系后,根据曲线上点适合的共同条件找出动点 P(x,y)的纵坐标 y 和横坐标 x 之间的关系式,即 f(x,y)=0 为曲线方程,同时还要注意曲线上点具有条件, 确定 x,y 的范围,这就是通常说的函数法,它是解析几何的核心,应培养善于运用坐标法 解题的能力,求曲线的常用方法有两类:一类是曲线形状明确且便于用标准形式,这时用待 定系数法求其方程;另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,一般可用直接法、 间接代点法、 参数法等求方程。 二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进 而转化为坐标关系,由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要 加强等价转化思想的训练。 3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 ①方程思想, 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线与 圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量。 ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使 一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质, 可使分散的条件相对集中, 减少一些变量和未知量, 简化计算,提高解题速度,促成问题的解决。

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第 23 页 共 24 页

⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映,一旦引入参数,用参数来划分运动变化状态,利 用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静 止来控制变化,变与不变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不求”的效果。 ⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系, 直角坐标方程与参数方程, 极 坐标之间联系及转化,利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思 想方法,复习也应给予足够的重视。

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第 24 页 共 24 页


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普通高考数学科一轮复习精品学案第 35 讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题一.课标

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2013届高考数学一轮复习 第33讲 圆锥曲线方程及性质精品学案_高考_高中教育_教育专区。2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案 第 33 讲一.课标要求: 1. 了解...

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2013届高考数学第一轮复习教案8 - 2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案 第 35 讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题 一.课标要求: 1.由方程研究曲线,特别是圆锥...

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普通高考数学科一轮复习精品学案第 34 讲 直线与圆锥曲线的位置关系一.课标要求 1.通过圆锥曲线方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 2.掌握直线与圆锥曲线的...