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三角法与向量法解平面几何题(正)

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第 27 讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识
在 ?ABC 中,R 为外接圆半径, r 为内切圆半径, p ? 1, 正弦定理:

a?b?c ,则 2

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

2, 余弦定理: a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . 3, 射影定理: a ? b cos C ? c cos B , b ? a cos C ? c cos A , c ? a cos B ? b cos A . 4, 面积: S ?

1 1 abc aha ? ab sin C ? ? rp ? 2 R 2 sin A sin B sin C 2 2 4R

= rR (sin A ?sin B ? sin C ) =

p( p ? a)( p ? b)( p ? c)
co C .t )

?

1 2 2 (a c o tA ? b2 c o B t? c 4

A 类例题
例 1.在Δ ABC 中,已知 b=asinC ,c=asin(90 -B ),试判断Δ ABC 的形状。 分析 条件中有边、 角关系, 应利用正、 余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从 而判定三角形的形状。 解 由条件 c = asin(900 - B ) = acosB = a
0

a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? b2 ? 2ac 2c

? a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2c 2 ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? A是直角

a c ? ? c ? c ? a sin C . sin A sin C ??a? sin C ? A是直角 ? sin A ? 1
b ? a sin C ? b ? c ? Δ ABC 是等腰直角三角形。 3 5 例 2. (1)在△ABC 中,已知 cosA = ,sinB = ,则 cosC 的值为( ) 5 13 16 56 16 56 16 或 A. B. C. D. ? 65 65 65 65 65 3 12 解 ∵C = ? ? (A + B ), ∴cosC = ? cos(A + B ), 又∵A ?(0, ?), ∴sinA = , 而 sinB = 5 13 4 显然 sinA > sinB , ∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 12 3 5 4 16 ? ? ∴cosC = ? cos(A + B ) = sinAsinB ? cosAcosB = ? ? . 选 A. 13 5 13 5 65
说明 △ABC 中, sinA > sinB ? A > B . 根据这一充要条件可判定 B 必为锐角。 (2)在 Rt△ABC 中,C=90°,A =θ ,外接圆半径为 R ,内切圆半径为 r ,
1

当θ 为

时,

c a?b?c ,r= . (其中 a、b、c 为 Rt△ABC 的三条边长,c 为斜边长) 2 2 R c 1 1 ∴ = = = ? a ? b ? c sin ? ? cos ? ? 1 r 2 sin(? ? ) ? 1 4
解答 由题意,R = sin(α +

R r

? R 1 )≤1,∴ ≥ = 2 +1 4 r 2 ?1

? R 时, 的最小值为 2 +1。 4 r tan A ? tan B c ? b 例 3 在△ABC 中, = ,求证:B 、A 、C tan A ? tan B c
当且仅当θ = 分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系,而要证的结论只有角的关系,故应运用正 弦定理将边转化为角。而 B 、A 、C 成等差数列的充要条件是 A =60°,故应证 A =60°。 证明 由条件得

sin( A ? B ) sin C ? sin B = .∵sin(A +B )=sinC sin C sin( A ? B )
1 ,A =60°.∴B 、A 、C 2

∴sin(A -B )=sinC-sinB ,∴sinB =sin(A +B )-sin(A -B )=2cosAsinB ∵sinB ≠0,∴cosA =

2 2 2 例 4 ? ABC 中,三个内角 A 、B 、C 的对边分别为 a、b、c ,若 a ? c ? b ? ac,

且a : c ? ( 3 ? 1) : 2 ,求角 C 的大小。
解 由 a ? c ? b ? ac可得
2 2 2

a2 ? c2 ? b2 1 ? =cosB,故 B= 60 ,A+C= 120 . 2ac 2

由正弦定理有:

sin A a 3 ?1 3 ?1 ? ? sin C , ,? sin A ? sin C c 2 2 3 1 3 1 cosC ? sin C ? cosC ? sin C ,于是 2 2 2 2 3 ?1 sin C , 2

又 sinA =sin(120 -C)=

?sinC=cosC, ?tanC=1, ? C= 45 。 ?A+C= 120 , sin A ?
3 ?1 sin C , 要求 C 需消去 A。 2

说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系,从而得关于 A 、C 的两个 方程

2

链接 1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)己知两角和任一边,求其它两边和一角; (2)己知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两 边和其中一边的对角解三角形,有一解或两解。 2.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)己知三边,求三个角; (2)己知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角。 3.解斜三角形:要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么,求什么。再运用 4.研究三角形的边角关系和判断三角形的形状:运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及 三角变换公式,灵活进行边角转换。 三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明,都可归入条件恒等式证明一类,常用到互 补、互余角的三角函数关系。

情景再现
1 △ABC 的三个内角 A 、B 、C 的对边分别是 a、b、c,如果 a2 =b(b+c) ,求证:A =2B. 2. ? ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、b 、c 成等比数列,且 cos B ? (1)求 cot A ? cot C 的值 (2)设 BA ? BC

3 4

?

3 ,求 a ? c 的值 2
2 sin A . cos A ? cos (B ? C)

3 已知 A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,y=cotA +

(1) 若任意交换两个角的位置,y 的值是否变化?试证明你的结论. (2)求 y 的最小值.

B 类例题
例 5 如图, 某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形 空地, △ ABC 外的地方种草, △ ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花. 若 BC=a,∠ ABC= ? ,设△ ABC 的面积为 S1 ,正方形的面积为 S2 . (1)用 a, ? 表示 S1 和 S2 ;

? 变化时, (2) 当 a 固定, 求
解(1)

S1 取最小值时的角 ? 。 S2
1 2 1 a sin ? cos ? ? a 2 sin 2? 2 4
? x cot ? ? x ? x tan ? ? a

AC ? a sin ? , AB ? a cos ? ? S1 ?

设正方形边长为 x ,则 BQ ? x cot ? , RC ? x tan ?
3

a a sin ? cos ? a 2 sin 2? x? ? ? cot ? ? tan ? ? 1 1 ? sin ? cos ? 2 ? sin 2?

a2 sin 2 2? ? a sin 2? ? ? S2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin 2? ? 4 ? sin 2? ? 4sin 2?
(2)当 a 固定, ? 变化时,

2

S1 1 ? 4 ? ? ? ? sin 2? ? 4 ? S2 4 ? sin 2? ?
0 ?? ?

令 sin 2? ? t , 则

S1 1 ? 1 ? ? ?t ? ? 4? S2 4 ? t ?
1 t

?
2

, ?0 ? t ?1 令 . f? ? t

1 , 用导数 ? t ? t

知识可以证明:函数 f ? t ? ? t ? 在 ? 0,1 是减函数,于是当 t ? 1 时,

?

S1 取最小值,此时 S2

??

?
4



说明 三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的语言 转化为三角的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数 f ?t ? ? t ? 题是历年高考命题的一个冷点,但在复习中应引起足够的关注。 例 6 如图,A、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点,且∠AOB=45°,OE=1,EF= 3 , 设∠AOE=α . o (1)写出△AOB 的面积关于α 的函数关系式 f(α ); (2)写出函数 f(x)的取值范围。 解: (1)∵OE=1,EF= 3 ∴∠EOF=60° 当α ∈[0,15°]时,△AOB 的两顶点 A、 B 在 E、F 上, 且 AE=tanα , BE=tan(45°+α ) ∴f(α )=S△AOB= =

1 。三角函数的应用性问 t

1 [tan(45°+α )-tanα ] 2

2 sin 45? = 2 cos? · cos(45? ?α ) 2 cos( 2 α ? 45 ?) ? 2
1 3 , OB= cos ? cos(45? ?α )

当 a∈ (15°,45°]时, A 点在 EF 上, B 点在 FG 上, 且 OA= ∴ f (? ) =S =
AOB=



1 1 3 OA · OB · s in45 ° = · · sin45 ° 2 2 cos ? cos(45? ?α )

6 2 cos( ? 2 α) ? 2 4

?

4

)? 2 4 ? (2)由(1)得:当α ∈[0, ]时 12 1 2 f(α )= ∈[ , 3 -1] ? 2 2 cos(2 α ? )? 2 4 1 ? 且当α =0 时,f(α )min = ;α = 时,f(α )max= 3 -1; 2 12 ? ? ? ? ? 6 3 当α ∈ ( , ] 时, - ≤2α - ≤ ,f(α )= ∈[ 6 - 3 , ] ? 12 4 12 4 4 2 2 cos(2 α ? )? 2 4 ? ? 3 且当α = 时,f(α ) min = 6 - 3 ;当α = 时,f(α ) max= 8 4 2 1 3 所以 f(x) ∈[ , ]。 2 2
说明 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系,它几乎渗透了数学的每一个分支。注意三 角函数的综合应用。 例 7 海中相距 2 海里的 A、B 两岛,分别到海岸线 l (直线)的距离

? ? ? 2 cos(2 α ? 综上得:f(α )= ? ? ? α ? 2 cos(2 ?

2 ?

?
4

  ? ? [0, )? 2

?
12

]

6 ?

?

  ? ? ( , ] 12 4

? ?

AC ? 2 的海里和

BD ? 2 2 海里,现要在海岸线上建立一个观测站 P,使 ? APB 最大,求点 P 的位置,且求

? APB 的最大值。
解 如图,过 P 作 l 的垂线 PQ 交 AB 于 Q ,

AC ? l、BD ? l ,? AC PQ DB ,设 ??, 在直角梯形 ABDC

?APQ ? ? , ?BPQ ? ? ,??APB ? ? ? ? , A P ? ?, D ? B P 且 ?C
中, AC ?

2, BD ? 2 2, AB ? 2,?CD ? 2 (过 A 作 AA ' ? BD 于 A ',? BA ' ? 2 )
2 ,设 CP ? t ( 0 ? t ? 2 )

在 RK ? AA ' B 中求出 AA ' ?

? tan ? ?

t 2 ?t , tan ? ? 2 2 2 tan ? ? tan ? 2t ? 2 ? t t? 2 ? 2 ? 2 ? ?0 1 ? tan ? ? tan ? 4 ? ( 2t ? t 2 ) t 2 ? 2t ? 4

? tan(? ? ? ) ?

5

? ? ? ? ? ? (0, ),? tan(? ? ? ) 有最大值时, ? ? ? 也有最大值。 2
令y?

t? 2 ? 0,? yt 2 ? ( 2 y ? 1)t ? 4 y ? 2 ? 0 2 t ? 2t ? 4

? y ? 0, t ? ? ? 0, 2 ?

? ? ? 0,?( 2 y ? 1)2 ? 4 y(4 y ? 2) ? 0 ,即 14 y2 ? 6 2 y ? 1 ? 0
?? 2 2 2 ? y? , 又 y> 0,? 0< y ? 14 2 2 2 2y ?1 2 1 ? ? ? ? 2?? 时, t ? ?0, 2 ? 2 2y 2 2
B A ’

? ymax ?

?当 t ? 2 时, y 有最大值,即 tan(? ? ? ) 有最大值,其值为 1,
??APB ? ? ? ? 的最大值为

? , 4 ? 。 4

Q A L C L P D L L

点 P 在点 D 时, ? APB 最大,最大值为

例 8 某城市有一条公路,自西向东经过 A 点到市中心 O 点后转向东北方向 OB ,现要修建 一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A ,在 OB 上设一站 B ,铁路在 AB 部分为直线段,现要求市 中心 O 与 AB 的距离为 10 km,问把 A 、B 分别设在公路上离中心 O 多远处才能使|AB |最短? 并求其最短距离. (不要求作近似计算)
B L A O

解:在△AOB 中,设 OA =a,OB=b. 因为 AO 为正西方向,OB 为东北方向,所以∠AOB =135°. 则|AB |2 =a2 +b2 -2abcos135°=a2 +b2 + 2 ab≥2ab+ 2 ab=(2+ 2 )ab,当且仅当 a=b 时, “=”成立. 又 O 到 AB 的距离为 10,设∠OAB =α ,则∠OBA =45°-α . 所以 a= b=

10 , sin?

10 , sin (45? ? ?)
ab= =

10 10 · sin (45? ? ?) sin?

100 sin? ? sin (45? ? ?)
6

=

100 sin?( 2 2 cos ? ? sin?) 2 2 100

=

2 2 sin 2? ? ( 1 ? cos 2?) 4 4 400 400 = ≥ , 2 sin (2? ? 45?) ? 2 2? 2 当且仅当α =22°30′时, “=”成立.
所以|AB | ≥
2

400 (2 ? 2) 2 =400( 2 +1) , 2? 2

当且仅当 a=b,α =22°30′时, “=”成立. 所以当 a=b=

10 =10 ( 时,|AB |最短,其最短距离为 20( 2 +1) ,即当 2 2 ? 2) sin 22?30?

AB 分别在 OA 、OB 上离 O 点 10 ( 能使|AB|最短,最短距离为 20( 2 -1) . 2 2 ? 2) km 处, 链接 1. 一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用,另一方面要体会解三角形是重要的测量手 段,通过数值计算进一步提高技能技巧和解决实际问题的能力. 2. 要加大以三角形为背景,以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 3.根据实际情景,选择适当的变量,建立目标函数,通过函数方法达到问题的解决。

情景再现
4 如图,三棱锥 P -ABC 的底面 ABC 为等腰三角形,AB = AC = a ,侧棱长均为 2a,问 BC 为何值时,三棱锥 P -ABC 的体积 V 最大,最大值是多少?

7

5 如图,一科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东α 角的射线 OZ 方向航行,其中 tanα =

1 。 3

在距离港口 O 为 3 13 a(a 为正常数)海里北偏东β 角的 A 处有一个供给科学考察船物资 的小岛,其中 cos β =

2 13

。现指挥部紧急征调沿海岸线港口 O 正东方向 m 海里的 B 处的

补给船,速往小岛 A 装运物资供给科学考察船,该船沿 BA 方向不变全速追赶科学考察船, 并在 C 处相遇。经测算,当两船运行的航线 OZ 与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最 小时,补给最合适。 (1)求 S 关于 m 的函数关系式 S(m); (2)当 m 为何值时,补给最合适?
北 C A Z

O

B



C 类例题
例 9.若△ABC 的外接圆的直径 AE 交 BC 于 D,则 tanB ?tanC=
A

AD . DE

O N B D E M C

证 如图,作 AM⊥BC,EN⊥BC, 于是有
S?ABC AM AD ? ? . S?EBC EN DE



1 AC AB sin A S?ABC ? 2 另一方面, S?EBC 1 BE EC sin ?BEC 2
注意到 sinA =sin∠BEC, 因此
S ?ABC =tanB ?tanC. S ?EBC

AC AB =tan∠AEC=tanB , =tan∠AEB =tanC. BE EC


8

AD . DE 例 10 在□ABCD 的每个边上取一点,若以所取的四个点为顶点的四边形的面积等于平行四 边形面积的一半,则该四边形至少有一条对角线平行于平行四边形的边.
由①、②得 tanB ?tanC=

A N
证 如图,设∠DAB =α ,AD =a,AB =b.

?
M

K L C

B

D

由面积公式得 S △AKN=

1 1 1 AK?ANsinα ,S △BLK= BL?(b-AK)?s inα ,S△C LM = (a-BL) (b-MD)?sinα , S△ 2 2 2
DMN=

1 (a-AN)?MD?s inα ,S□ABCD =absinα . 2
SLMNK = S □ ABCD - ( S △ AKN + S △ BLK + S △ CLM + S △ DMN ) = ].

于是

1 absin α ?[1 - 2

? AN ? BL ?? AK ? MD ?
ab

1 absinα ,得(AN-BL) (AK-MD)=0. 2 故 AN=BL,或 AK=MD,也就是说 LN∥AB 或 KM∥AD.
由 SLMNK= 例 11 在锐角三角形 ABC 的 B C 边上有两点 E 、F ,满足∠BAE =∠CAF ,作 FM⊥AB ,FN ⊥AC(M、N 是垂足) ,延长 AE 交三角形 ABC 的外接圆于 D 点. 证明:四边形 AMDN 与△ABC 面积相等.
A

M N B D E F C

证 连结 MN、BD,因为 FM⊥AB ,FN⊥AC,所以 A 、M、F 、N 四点共

圆.所以∠AMN=∠AFN,∠AMN+∠BAE =∠AFN+∠CAF =90°,即 MN⊥AD,SAMDN =

1 AD?MN. 2 AF AC , AF?AD=AB?AC. 而 ? AB AD

又因为∠CAF=∠BAD, ∠ACF=∠ADB, 所以△AFC∽△ABD, 所以

AF?sin∠BAC=MN,AF=
1 AD?MN=SAMDH . 2

MN 1 1 ,所以 S △ABC = AB?Acsin ∠BAC = AF?ADsin∠BAC= sin ?BAC 2 2

例 12 如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD,在 CD 上取一点 E,BE 与 AC 相 交于 F ,延长 DF 交 BC 于 G.求证:∠GAC=∠EAC.

9

A 12 B H G F C E D

CG BH DE 证 连结 BD 交 AC 于 H, 对△BCD 用塞瓦定理有: 因 ?1 . GB HD EC BH AB CG AB DE .故 ? ?1 HD AD GB AD EC

为 AH 是∠BAD 的角平分线,由角平分线定理有:

? ?? 设∠ BAC =∠ DAC= α (α ∈ ? 0, ? ) ,设∠ GAC=∠1 ,∠ EAC =∠2 ,由张角公式有: ? 2?

DE AD sin ?? ? ?2 ? AC sin ?1 AB AD sin ?? ? ?2 ? CG AC sin ?1 , , 于是 ? ? ? 1, AC sin ?2 GB AB sin ?? ? ?1? EC AB sin ?? ? ?2 ? AD AC sin ?2

即 sin∠1?sin(α -∠2)=sin∠2 ?sin(α -∠1) ,所以 sin∠1 ?sinα cos ∠2-sin∠1?cos α sin ∠2=sin∠2 ?sinα cos ∠1-sin∠2?cos α sin∠1.所以 sin∠1 ?cos ∠2=cos ∠1?sin∠2,即 sin ? ?? (∠1-∠2)=0,而∠1,∠2∈ ? 0, ? ,所以∠1-∠2=0,即∠GAC=∠EAC. ? 2?

情景再现
6 7 已知在圆内接四边形 ABCD 中,BC=CD.求证:AC2 =AB ?AD+BC2 . 在△ABC 中,若 D 是 BC 上一点,且 BD=p,DC=q,AB=c,AC=b,则

10

第 27 讲作业
1.在△ABC 中,acosB =bcosA 是△ABC 为等腰三角形的 ( A .必要但不充分条件 B. C.充分必要条件 D. )

2.设 A 是△ABC 中的最小角,那么函数 y=sinA -cosA 的值域为( A .[- 2 , 2 ] B .(-1,

3 ?1 3 ?1 ) C.(-1, ] 2 2

D.[-1,

3 ?1 ] 2

3.Δ ABC 中,AB =AC,AB 边上的高为 ? ,AB 边上的高与 BC 的夹角为 60?,则Δ ABC 的面积是( A. ? ) B. ? ? C.2 D.3 ?

8. 船以 32 海里/时的速度向正北航行, 在 A 处看灯塔 S 在船北偏东 30?, 半小时后航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 75?,则灯塔 S 与 B 点的距离为______海里(精确到 0.1 海里) 。 4. 根据下列条件,判断△ABC 的形状 (1)acosA=bcosB (2)sin Α +sin B=sin C,且 c=2acosB
2 2 2
王新敞
奎屯 新疆

5. 在△ABC 中,若 a2 =b(b+c) ,则 A 与 B 有何关系? 6. 在△ABC 中,求证

a 2 ? b 2 ? c 2 tan B ? . a 2 ? b 2 ? c 2 tanC
求:a∶b∶c
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7. 在△ABC 中,已知 2sin2 A=3sin2 B+3sin2 C ① 证明 cos2A+3cosA+3cos(B-C)=1 ②
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8. 已知△ABC 的三个内角 A 、B 、C 满足 A +C=2B ,且 求 cos

1 1 2 , ? ?? cos A cos C cos B

A?C 的值 2

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9. △ABC 中,∠ A,∠ B,∠C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a,b ,c 顺序成等差数列,且∠ A-∠ C=120°,求 sinA,sinC.

10. 已知⊙O 的半径为 R , ,在它的内接三角形 ABC 中,有

2R sin 2 A ? sin 2 C ?
成立,求△ABC 面积 S 的最大值.

?

? ?

2a ? b sin B

?

11

11 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是 ?A,?B,?C 的对边长,已知 a,b,c 成等比数列,且

a 2 ? c 2 ? ac ? bc ,求 ? A 的大小及
12.

b sin B 的值。 c

如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一 点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ 的正弦成正比, 角

sin? 和这一点到光源的距离 r 的平方成反比,即 I=k · 2 ,其中 k 是一个 r 和灯光强度有关的常数,那么怎样选择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边 缘处最亮?

h R

r ?

13 在正三角形 ABC 的边 AB 、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶 点 A 正好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶AB 的值
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14 如图,海岛 O 上有一座海拔 1000 米高的山,山顶上设有一个观察站 A .上午11 时测得 一轮船在岛北偏东 60? 的 C 处,俯角为 30? , 11 时 10 分又测得该船在岛的北偏西 60? 的 B 处,俯角为 60 。 (1)该船的速度为每小时多少千米? (2)若此船以不变的航速继续前进,则它何时到达岛的正西方向?此时所在点 E 离开 岛多少千米?
?

15 已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B) ? (Ⅰ)求证: tan A ? 2 tan B ; (Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高.

3 1 , sin( A ? B) ? . 5 5

16

3.如图,O、I分别为?ABC的外心和内心, AD是BC边上的高,I在线段OD上,求证:?ABC 的外接圆半径等于 BC边上的旁切圆半径; (注:?ABC的BC边上的旁切圆是与边 AB、AC的延长线以及边 BC都相切的圆 )

12

情景再现答
1. 证明: 用正弦定理, a=2R sinA , b=2R sinB , c=2RsinC, 代入 a2 =b (b+c) 中, 得 sin2 A =sinB (sinB +sinC) ? sin2 A -sin2 B =sinB sinC

? ?

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2B - =sinB sin(A +B ) 2 2

1 (cos2B -cos2A )=sinB sin(A +B ) 2 , ? sin(A +B )sin(A -B )=sinB sin(A +B ) 因为 A 、B 、C 为三角形的三内角,所以 sin(A +B )≠0. 所以 sin(A -B )=sinB . 所以只 能有 A -B =B ,即 A =2B.
2 (1)由 cos B ? 由b
2

3 7 2 ,得 sin B ? 1 ? cos B ? 4 4

? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C

于 cot A ? cos C

?

cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? sin A sin C sin A sin C

?

sin( A ? C ) 1 4 ? ? 7 sin A sin C sin B 7 ? 3 3 3 得 ca cos B ? ,由 cos B ? 2 2 4
,? ca ? 2 即 b
2

(2)由 BA ? BC

?2

由 余 弦 定 理

? R?

sin A sin B sin C A B C ? 4 R ? sin 2 sin sin ? R B?C B C 2 2 2 sin 2 sin sin 2 2 2 13 ?即?ABC的 外 接 圆 半 BC径 边 等 上 于 旁 切 圆 的 半 径

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

? a2 ? c2 ? 5,? a ? c ? 3
解: (1)∵y=cotA + =cot A +

? 2 sin?π ? (B ? C) ? ? cos cos?π ? (B ? C) (B ? C)

2 sin (B ? C) ? cos (B ? C) ? cos (B ? C) sin B cos C ? cos B sin C =cot A + sin B sin C =cotA+cotB +cotC, ∴任意交换两个角的位置,y 的值不变化. (2)∵cos (B -C)≤1,
A 1 ? tan 2 2 sin A 2 +2tan A = 1 (cot A +3tan A )≥ 3 tan A ? cot A = 3 . ∴y≥cotA + = A 2 2 1 ? cos A 2 2 2 2 2 tan 2

故当 A =B=C=

π 时,ymin = 3 . 3

评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题,y 的表达式的表面不对称性显示了问题 的有趣之处. 第(2)问实际上是一道常见题:在△ABC 中,求证:cotA +cotB +cotC≥ 3 .

4 分析: 因为三棱锥的三条侧棱长均相等, 因此顶点 P 在底面上的射影 O 是△ABC 的外心, 从而想到用正弦定理,再利用三角函数来求最值. 解:作 PO⊥底面 ABC,垂足为 O. 由 PA = PB = PC = 2a,知 O 为△ABC 的外心. ∵ AB = AC = a , ∴ O 落在底面 ABC 的高 AD 上. 设∠ABC = θ,连结 BO, 则 BO 为△ABC 外接圆的半径. 记 BO = R ,由正弦定理,有 R ?

a , 2 sin?

PO ? PB 2 ? BO 2 ?

1 16 sin 2 ? ? 1 a 2 sin 2 ?

∵ BD = a cos θ,AD = a sin

1 BC ? AD ? a 2 sin? cos ? . 2 1 1 16 sin 2 ? ? 1 V ? ? a 2 sin? cos ? ? a 3 2 sin 2 ? 1 ? a 3 16 sin 2 ? ? 1 1 ? sin 2 ? 6 S ?ABC ?

?

??

?

14

1 17 ? 225 ? ? a 3 ? 16? sin 2 ? ? ? ? 6 32 ? 64 ?
∴当 sin 2 ? ?

2

17 5 时, Vmax ? a 3 . 32 16
3 a. 4

此时, BC ? 2 BD ? 2a cos ? ? 2a 1 ? sin 2 ? ?

5 解: (1)以 O 为原点,正北方向为轴建立直角坐标系。 直线 OZ 的方程为 y=3x,① 设 A(x0 ,y0 ), 则 x0 =3 13a sinβ =9a,y0 =3 13a cos β =6a, ∴A(9a,6a)。 又 B(m,0),则直线 AB 的方程为 y= 由①、②解得,C(
北 C Z

6a (x-m) ② 9a ? m
O

A

2am 6am , ), m ? 7a m ? 7a

B



3am2 1 ∴S(m)=S△OBC= |OB||yc|= ,( m ? 7 a ) 。 2 m ? 7a
(2)S(m)=3a[(m-7a)+

49a 2 ? 14a ]≥84a2 。 m ? 7a

当且仅当 m-7a=

49a 2 ,即 m=14a>7a 时,等号成立, m ? 7a

故当 m=14a 为海里时,补给最合适。 6 证 设四边形 ABCD 的外接圆半径为 R ,两条对角线的夹角为θ ,由面积公式得

1 AB ?AD?sin∠BAD. 2 1 S△BCD = BC?CD ?s in∠BCD. 2
S△ABD = 以上两式相加,并注意到 BC=CD,sin∠BAD=sin∠BCD. 可得 SABCD = 另一方面

1 (AB ?AD+BC2 )sin∠BCD. ① 2 1 1 SABCD = AC?BD ?sinθ = ACsinθ ?2R sin∠BCD. 2 2

注意到θ =∠ABD+∠BAC=∠ABD+∠BDC=∠ABD+∠DBC=∠ABC, 2R sinθ =2R sin∠ABC=AC
15

1 AC2 ?sin∠BCD. ② 2 由①、②得 AC2 =AB ?AD+BC2 . 7 证明简介: 在△ABD 和△ABC 中,由余弦定理,得
于是得 SABCD =

第八讲答案 1 .B 2.C 3.A 4. 11.3
4.解:(1)∵acosA=bcosB 即 sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或 2A=π -2B
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a cos B ? b cos A



2 R sin A cos B ? , 2 R sin B cos A
∴A=B 或 A+B=

? 2

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形 (2)∵sin2 A+sin2 B=sin2 C ∴(

a 2 b c ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 , ∴a2 +b2 =c2 2R 2R 2R a ,代入 c=2acosB c
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故△ABC 是直角三角形,且 C=9O°, ∴cosB= 得 cosB=

2 2

∴B=45°,A=45°

综上,△ABC 是等腰直角三角形
2

5.解:由正弦定理得 sin A=sinB(sinB+sinC) ∴sin2 A-sin2 B=sinB·sinC, (sinA+sinB) (sinA-sinB)=sinBsinC, sin(A+B)sin(A-B)=sinB·sinC ∵sin(A+B)=sinC, ∴sin(A-B)=sinB, ∴A-B=B,A=2B,或 A-B=π -B(舍去) 故 A 与 B 的关系是 A=2B
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6.证明:由余弦定理,知

a2 +b2 -c2 =2abcosC,


a2 -b2 +c2 =2cacosB,

a 2 ? b 2 ? c 2 2ab cosC b cosC sin B cosC tan B ? ? ? ? . a 2 ? b 2 ? c 2 2ca cos B c cos B sin C cos B tanC
16

7.解:由①得 2a =3b +3c

2

2

2



∵cosA=-cos(B+C) 由②得 3cos(B-C)-3cos(B+C)=1-cos2A=2sin2 A=3sin2 B+3sin2 C 2 2 ∴cos(B-C)-cos(B+C)=sin B+sin C, 2sinBsinC=sin2 B+sin2 C 即(sinB-sinC) =O,
2

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∴sinB=sinC,

∴2RsinB=2RsinC,∴b=c 代入③得 ∴a∶b∶c= 3 b∶b∶b= 3 ∶1∶1 8. 解法一 设α =
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a= 3 b
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由题设条件知 B =60°,A +C=120°

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A?C ,则 A -C=2α ,可得 A =60°+α ,C=60°-α , 2

所以

1 1 1 1 ? ? ? cos A cos C cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? )
1 1 3 cos ? ? sin ? 2 2
cos ? cos 2 ? ? 3 4 ?

?

?

1 1 3 cos ? ? sin ? 2 2

?

cos ? cos ? ? , 1 3 3 cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? 4 4 4

依题设条件有

? 2 , cos B

1 cos ? ? cos B ? ,? ? ?2 2 . 2 cos 2 ? ? 3 4
整理得 4 2 cos 2 α +2cos α -3 2 =0(M) (2cos α - 2 )(2 2 cos α +3)=0,∵2 2 cos α +3≠0, ∴2cos α - 2 =0 解法二
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A?C 2 ? 2 2 由题设条件知 B =60°,A +C=120°
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从而得 cos

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?

? 2 1 1 ? ?2 2 ,? ? ? ?2 2 cos 60? cos A cos C

①, ②,

把①式化为 cos A +cos C=-2 2 cos Acos C 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为

A?C A?C cos ? ? 2[cos( A ? C) ? cos( A ? C)] 2 2 1 1 A?C 将 cos =cos60°= ,cos(A+C)=- 代入③式得 2 2 2 A?C 2 cos ? ? 2 cos( A ? C ) 2 2 2 cos
17

③,
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A?C )-1 代入 ④ 2 A?C A?C 4 cos2 ( )+2cos - 2 2 2 A?C A?C (2 cos ? 2 2)(2 2 cos ? 3) ? 0, 2 2 A?C A?C 2 2 cos ? 3 ? 0,? 2 cos ? 2 ? 0, 2 2
将 cos(A -C)=2cos (
2
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3

2

=0



(*)



从而得 : cos

A?C 2 ? . 2 2

9 解:因为 2b=a+c ,由正弦定理得

10 解:由已知条件得

?2R?2

?sin
2

2

A ? sin 2 B ? 2R sin B
2 2

?

?

2a ? b .

?

即有 a ? c ? 2ab ? b , a2 ? b2 ? c2 2 ? 又 cos C ? 2ab 2 ∴ c?

1 2 2 ? ab ? ? 4 R 2 sin A sin B .∴ S ? ab sin C ? 2 4 4 4 2 2 R ? cos ? A ? B ? ? cos ? A ? B 2 2 ?1 2 R . 2

??

?? ?

? 2 2? 2 R ? ? cos ? A ? B ? ? . 2 ? ? ? 2 ?

所以当 A = B 时, S max ?

11

解: (I)? a,b,c 成等比数列 又 a ? c ? ac ? bc
2 2

? b 2 ? ac

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc

在 ?ABC 中,由余弦定理得
18

b2 ? c2 ? a 2 bc 1 cos A? ? ? 2bc 2bc 2

? ?A ? 60?

(II)在 ?ABC 中,由正弦定理得 sin B ?

b sin A a

?b 2 ? ac,?A ? 60? ,
12 解
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?

b sin B b 2 sin 60? 3 。 ? ? sin 60? ? c ca 2

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R =rcos θ ,由此得

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1 cos ? ? ? ,0 ? ? ? , r R 2
h R r ?

sin ? sin ? ? cos 2 ? k I ?k? 2 ?k? ? 2 ? (sin ? ? cos 2 ? ) 2 r R R

2I 2 ? (

k 2 k 2 ) ? 2sin 2 ? ? (1 ? sin 2 ? )(1 ? sin 2 ? ) ? ( 2 ) 2 ? ( )3 2 R R 3

由此得I ?
13 解
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k 2 3 2 ? 3, 等号在 sin ? ? 时成立, 此时h ? R tan ? ? R 2 R 9 3 2

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按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A 、P 两点关于折线 DE 对称,
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又设∠BAP =θ ,∴∠DPA =θ ,∠BDP =2θ , 再设 AB =a,AD=x,∴DP =x 在△ABC 中,
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∠APB =180°-∠ABP -∠BAP =120°-θ 由正弦定理知
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BP AB ? sin BAP sin APB

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∴BP =

a sin? sin(120? ? ? )

在△PBD 中, DP BP x ? sin? a sin? x sin 2? ? , 所以BP ? , 从而 ? , sin DBP sin BDP sin 60? sin(120? ? ? ) sin 60?

?x ?

a sin? ? sin 60? 3a ? . sin 2? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(60? ? 2? ) ? 3

∵0°≤θ ≤60°,∴60°≤60°+2θ ≤180°, ∴当 60°+2θ =90°,即θ =15°时, sin(60°+2θ )=1,此时 x 取得最小值

3a 2? 3

? ( 2 3 ? 3) a,即 AD 最小,

∴AD∶DB =2 3 -3

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14 解(1)在 Rt ?AOB 与 Rt ?AOC 中,

A

?OAB ? 300 , ?OAC ? 600 ,
求得 OB ?

3 (千米) OC ? 3 (千米) , 3

E

B

C 东 O

19

由余弦定理得 BC ?

13 ,于是船速 v ? 2 39 (千米/小时) 。 3
5 13 . 26

(2)在 ?OBC 中,由余弦定理得 cos?OBC ?

于是 sin ?EBO ? sin ?OBC ?

3 39 13 , sin ?BEO ? 180? ? (?EBO ? 30? ) ? . 26 13
OB sin ?EBO 3 , ? (千米) sin ?BEO 2

?

?

在 ?BEO 中,由正弦定理得 OE ?

BE ?

BE 1 OB sin ?BOE 39 (千米) .于是从 B 到 E 所需时间 t ? ? (时)? 5 分. ? v 12 sin ?BEO 6 3 1 , sin( A ? B) ? , 5 5

∴再经过 5 分到达海岛的正西方向,此时 E 点离海岛 1.5 千米。 15 (Ⅰ)证明:? sin( A ? B ) ?

3 ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? , sin A cos B ? ? ? ? ? 5 ?? ?? ?sin A cos B ? cos A sin B ? 1 . ?cos A sin B ? ? ? 5 ? ?
所以 tan A ? 2 tan B. (Ⅱ)解:?

2 , tan A 5 ? ? 2. 1 tan B 5

3 3 ? A ? B ? ? , sin( A ? B) ? , ? tan( A ? B) ? ? , 2 5 4 tan A ? tan B 3 ?? 即 ,将 tan A ? 2 tan B 代入上式并整理得 1 ? tan A tan B 4

?

2 tan2 B ? 4 tan B ? 1 ? 0.
解得 tan B ?

2? 6 2? 6 ,舍去负值得 tan B ? , 2 2

? tan A ? 2 tan B ? 2 ? 6. 设 AB 边上的高为 CD.
则 AB=AD+DB=

CD CD 3CD ? ? . tan A tan B 2 ? 6

由 AB=3,得 CD=2+

6 . 所以 AB 边上的高等于 2+ 6 .

20

16

证明:如图,记 AB ? c,BC ? a, CA ? b, 设AI的延长线交?ABC的外接圆O于K点, 则OK是圆O的半径,记为R, ? OK ? BC, ? OK // AD ? AI AD c ? sin B ? ? ? 2 sin B sin C IK OK R 1 又 ? ?ABI ? ?IBC ? ?B 2 1 ?CBK ? ?CAK ? ?A 2 ?AKB ? ?ACB ? ?C ?BAK ? 1 ?A 2

1 B AB ? BI ? sin AI S ?ABI 2 ? ? ? 2 1 A ?B IK S ?KBI BK ? BI ? sin 2 2 B B B C sin sin 2 sin sin AB 2 ? sin C ? 2 ? 2 2 ? ? A BK cos C sin A cos C sin 2 2 2 2 B C 2 sin sin 2 2 由(1)、 (2)可得: 2 sin B sin C ? A sin 2 A B C ? 4 sin cos cos ? 1 2 2 2 又设?ABC的边BC上的旁切圆半径为 ra , 则: 1 1 bc sin A bc sin A ? S ?ABC ? ra (b ? c ? a ) ? ra ? 2 2 b?c?a sin A sin B sin C sin A sin B sin C ? ra ? 2 R ? ? 2R ? B?C B ?C B?C B?C sin B ? sin C ? sin A 2 sin cos ? 2 sin cos 2 2 2 2
? R? sin A sin B sin C A B C ? 4 R ? sin 2 sin sin ? R B?C B C 2 2 2 sin 2 sin sin 2 2 2 ?即?ABC的外接圆半径等于 BC边上旁切圆的半径
21


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