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第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

时间:2014-07-05


2009~2013 年高考真题备选题库 第 2 章 函数、导数及其应用 第 10 节 变化率与导数、导数的计算 导数的几何意义

考点一

1. (2013 广东, 5 分) 若曲线 y=kx+ln x 在点(1, k)处的切线平行于 x 轴, 则 k=________. 解析:本题主要考查导数的几何意义,考查考生的运算能力.y′|x=1=0,即当 x=1 时, 1 k+ =k+1=0,解得 k=-1. x 答案:-1 ln x 2. (2013 北京,13 分)设 L 为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线. x (1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 解: 本题考查导数的几何意义、 导数在研究函数性质和不等式中的应用等基础知识和基 本方法,意在考查函数与方程思想、化归与转化思想和考生的运算求解能力、逻辑推理能力 以及综合运用知识分析问题、解决问题的能力. 1-ln x ln x (1)设 f(x)= ,则 f′(x)= . x x2 所以 f′(1)=1,即 L 的斜率为 1. 又 L 过点(1,0),所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明: 令 g(x)=x-1-f(x), 则除切点之外, 曲线 C 在直线 L 的下方等价于 g(x)>0(? x>0,x≠1). g(x)满足 g(1)=0,且 g′(x)=1-f′(x) = x2-1+ln x . x2

当 0<x<1 时,x2-1<0,ln x<0,所以 g′(x)<0,故 g(x)单调递减; 当 x>1 时,x2-1>0,ln x>0,所以 g′(x)>0,故 g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 3. (2011 山东, 5 分) 曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A.-9 C.9 B.-3 D.15 )

解析:y′=3x2,故曲线在点 P(1,12)处的切线斜率是 3,故切线方程是 y-12=3(x-1), 令 x=0 得 y=9.

答案:C sinx 1 π 4. (2011 湖南,5 分)曲线 y= - 在点 M( ,0)处的切线的斜率为( 4 sinx+cosx 2 1 A.- 2 C.- 2 2 1 B. 2 D. 2 2 )

cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 π 1 解析:y′= = ,把 x= 代入得导数值为 . 2 4 2 ?sinx+cosx? 1+sin2x 答案:B 4 5. (2010 辽宁, 5 分) 已知点 P 在曲线 y= x 上, α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e +1 则 α 的取值范围是( π A.[0, ) 4 π 3π C.( , ] 2 4 ) π π B.[ , ) 4 2 3π D.[ ,π) 4

解析:设曲线在点 P 处的切线斜率为 k, -4ex -4 则 k=y′= , x 2= 1 ?1+e ? ex+ x+2 e 因为 ex>0, 所以由均值不等式得 k≥ 2 ,又 k<0, 1 e × x+2 e
x

-4

3π ∴-1≤k<0,即-1≤tanα<0,所以 ≤α<π. 4 答案:D x 6.(2009· 辽宁,5 分)曲线 y= 在点(1,-1)处的切线方程为( x-2 A.y=x-2 C.y=2x-3 B.y=-3x+2 D.y=-2x+1 )

-2 x 解析:y′=( )′= ,∴k=y′|x=1=-2. x-2 ?x-2?2 l:y+1=-2(x-1),即 y=-2x+1. 答案:D 7. (2012 新课标全国,5 分)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 解析:y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为 4,所以切线方程为 y-1 =4(x-1),即 y=4x-3.

答案:y=4x-3 8. (2012 广东,5 分)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为________. 解析:曲线方程为 y=x3-x+3,则 y′=3x2-1,又易知点(1,3)在曲线上,有 y′|x=1 =2,即在点(1,3)处的切线方程的斜率为 2,所以切线方程为 y-3=2(x-1), 即 y=2x+1. 答案:y=2x+1 9. (2011 江苏,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是函数 ?(x)=ex(x>0)的图像 上的动点,该图像在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N.设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是____. 解析:设点 P 的坐标为(x0,ex0),则切线 l 的方程为 y-ex0=ex0(x-x0),则过点 P 作 l 1 1 的垂线 m 的方程为 y-ex0=- (x-x0),令 x=0,得 M(0,ex0-x0ex0),N(0,ex0+x0 ), ex0 ex0 x0 x0ex0 ex0 1 所以 t=ex0+ - ,得 t′=(1-x0)( + ),令 t′=0,得 x0=1,当 0<x0<1 时, 2ex0 2 2 2ex0 x0 x0ex0 x0 x0ex0 t′>0,t=ex0+ - 单调递增;当 x0>1 时,t′<0,t=ex0+ - 单调递减, 2ex0 2 2ex0 2 1 1 所以当 x0=1 时,t 取最大值,为 (e+ ). 2 e 1 1 答案: (e+ ) 2 e 10. (2010 江苏,5 分)函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴的交点的横 坐标为 ak+1,其中 k∈N*.若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________.
2 解析:∵y′=2x,∴在点(ak,ak )处的切线方程为 y-a2 k =2ak(x-ak),又该切线与 x 轴

1 1 的交点为(ak+1,0),所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列,首项 a1=16,其公比 q= ,∴ 2 2 a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 答案:21 11.(2009· 福建,4 分)若曲线 f(x)=ax3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范 围是________. 1 解析:f′(x)=3ax2+ , x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, 1 ∴f′(x)=0 有解,即 3ax2+ =0 有解, x 1 ∴3a=- 3,而 x>0,∴a∈(-∞,0). x 答案:(-∞,0)

考点二 导数的概念与运算
(2011 江西,5 分)若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f ′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) C.(2,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) D.(-1,0) )

4 2?x-2??x+1? 解析:令 f ′(x)=2x-2- = >0,利用数轴标根法可解得-1<x<0 或 x x x >2,又 x>0,所以 x>2. 答案:C


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