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辽宁省实验中学大连八中大连二十四中鞍山一中东北育才学校2017_2018学年高二数学下学期期末试题文及答案

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2017-2018 学年下学期期末高二年级数学文科试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A=?x| ? 2 ? x ? 4? , B ? ?x | y ? lg( x ? 2)? ,则 A A. (2, 4) B. (?2, 4) C. (?2, 2)

(CR B) ? (



D. (?2, 2]

2.已知

z ? 2 ? i ,则复数 z ? ( 1? i
B. ?1 ? 3i

) C. ?1 ? 3i D. 1 ? 3i ) D. x ? y ? 0 )

A. 1 ? 3i

3.用反证法证明“若 x ? y ? 0 则 x ? 0 或 y ? 0 ”时,应假设( A. x ? 0 或 y ? 0
2

B. x ? 0 且 y ? 0

C. xy ? 0

4.命题“ ?x ??1, 2? , x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 5 D. a ? 5

4 5.如果曲线 y ? x ? x 在点 P 处的切线垂直于直线 y ? ?

1 x ,那么点 P 的坐标为( 3
D. (?1, 0)



A. (1, 0)

B. (0, ?1)

C. (0,1)

6.在平面几何里有射影定理:设三角形 ABC 的两边 AB ? AC , D 是 A 点在 BC 上的射影,

AD ? 面 ABC , 则 AB ? BD ? BC .拓展到空间, 在四面体 A ? BCD 中, 点 O 是 A 在面 BCD
2

内的射影,且 O 在 ?BCD 内,类比平面三角形射影定理,得出正确的结论是( A. S?ABC 2 ? S?BCO ? S?BCD C. S?ADC 2 ? S?DOC ? S?BOC B. S?ABO 2 ? S?BCD ? S?BOC D. S?BOC 2 ? S?ABD ? S?ABC



7.下列说法: ①设有一个回归方程 y ? 3 ? 5 x , 变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 5 个单位; ②线性回归直线 y ? bx ? a 必过必过点 ( x, y ) ;③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中, 从独立性检验知, 有 99% 的把握认为吸烟与患肺病有关系时, 我们说某人吸烟, 那么他有 99% 的可能患肺病;其中错误的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 ) D. 3

8.函数 y ? 2 x ? x 2 的图象大致是下图中的哪个(



A.

B.

C.

D.

9.已知定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f(? x) ,且 f (1) ? 2 ,则

f (2018) ? f (2019) 的值为(
A. ?2 B. 0

) C. 2 D. 4

10.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老实说:你们四人中有 2 位优 秀, 2 位良好,我现在给甲看看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对 大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( A.乙可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 11.已知 x ? (0, )

B.丁可以知道四人的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩

?
2

) ,函数 y ? f ( x) 满足: tan xf ( x) ? f '( x) 恒成立,其中 f '( x) 是 f ( x) 的


导函数,则下列不等式中成立的是( A. 3 f ( ) ? f ( ) C.

?

?

2f ( ) ? 3f ( ) 4 6

?

6

3

B. 2 f (1) cos1 ? f ( )

?

?

D. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

3

4

3

?2 x ? 1, x ? 1 ? 12.若曲线 ? 2 与直线 y ? kx ? 1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围是( , x ?1 ? ?1 ? x
A. (??,5 ? 2 6) C. (??,0) B. (??,5 ? 2 6) D. (??,0)



(0,5 ? 2 6)

(0,5 ? 2 6)

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z ? (1 ? 3i) ? 1 ,则 | z |? .

14.《聊斋志异》中有这样一首诗: “挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得决自诩无所阻,额 上坟起终不悟.”在这里,我们称形如一下形式的等式具有“穿墙术” :

2

2 2 3 3 4 4 5 5 ? 2 ,3 ? 3 ,4 ? 4 ,5 ? 5 , ?????? 3 3 8 8 15 15 24 24 8 8 ,则 n ? ? 8 具有“穿墙术” n n


则按照以上规律,若 8

15.已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? m ,若 | f ( x) | 在区间 ?0,1? 上单调,则实数 m 的取值范围 为 .

16.如果函数 f ( x ) 在 ? a, b? 上存在 x1 , x2 (a ? x1 ? x2 ? b) 满足 f '( x1 ) ?

f '( x2 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 f ( x ) 是在 ? a, b? 上的“双中值函数” ,已知函数 b?a

f (b) ? f (a ) , b?a

,则函数 t 的取值范围是 f ( x) ? x3 ? x2 ? t 是 ?0, t ? 上的“双中值函数”



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.2017 年 10 月 9 日, 教育部考试中心下发了 《关于 2018 年普通高考考试大纲修订内容的通 知》 ,在各科修订内容中明确提出,增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会 主义核心价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.鞍山市教育部门积极回应, 编辑传统文化教材,在全是范围内开设书法课,经典诵读等课程.为了了解市民对开设传统文 化课的态度,教育机构随机抽取了 200 位市民进行了解,发现支持开展的占 75% ,在抽取的 男性市民 120 人中支持态度的为 80 人. 支持 男性 女性 合计 (1)完成 2 ? 2 列联表 (2)判断是否有 99.9% 的把握认为性别与支持有关? 不支持 合计

n(ad ? bc)2 附: K ? . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b? d)
2

P(K 2 ? k )
k

0.15
2.072

0.10
2.706

0.05
3.841

0.025
5.024

0.010
6.635

0.005
7.879

0.001
10.828

18.已知 a 为实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax3 ? x ? a ,若 f '(?1) ? 0 . (1)求 a 的值。 (2)求函数 y ? f ( x) 在 ? ? ,1? 上的极值。 19. 某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数 x(0 ? x ? 10) 与销售价格 y (单位:万 元/辆)进行整理,得到如下的对应数据: 使用年数 x 销售价格 y

? 3 ? ? 2 ?

2

4

6
9.5

8
7

10
4.5

16

13

(Ⅰ)试求 y 关于 x 的回归直线方程 y ? bx ? a

(参考公式: b ?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

a ? y ? bx )

2

(Ⅱ)已知每辆该型号汽车的收购价格为 ? ? 0.05x ? 1.75x ? 17.2 万元,根据(Ⅰ)中所求
2

的回归方程,预测 x 为何值时,销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大?(利润=销售价格收购价格) 20. 已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x . (1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域; (2)设 F ( x) ?

a 2 ? f ( x) ? 2 ? ,求 F ( x) 在 a ? 0 时的最大值 g (a ) . ? ? f ( x) ( a ' 为实数) 2?

21. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax(a ? R) . (1)若曲线 y ? f (x) 与直线 x ? y? 1 ? 0 相切,求实数 a 的值; (2)若函数 y ? f (x) 有两个零点 x1 , x2 ,证明

1 1 ? ? 2. ln x1 ln x2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.已知直线 l 过点 P(2,1) ,倾斜角为 135% ,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴(长度单

位与之交坐标系 xoy 的长度相同)建立极坐标系,圆 C 的方程为 ? ? 4cos ? , (1)分别写出圆 C 的直角坐标方程和直线的参数方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A , B ,求 | PA | ? | PB | . 23.已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | . (1)求不等式 f ( x) ? 1 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? x2 ? x ? m 的解集非空,求 m 的取值范围.

试卷答案 一、选择题 1-5:DABCA 二、填空题 13. 6-10:ACAAD 11、12:A、D

1 2

14. 63

15.

? ??, ?2? ?0, ???

16.( ,1)

1 2

三、解答题 17.解(1)抽取的男性市民为 120 人,持支持态度的为 200 ? 75% =150 人,男性公民中持支持 态度的为 80 人,列出 2 ? 2 列联表如下: 支持 男性 女性 合计 (2) k ?
2

不支持

合计

80

40

120

70 150

10 50

80 200

2 200 (80 ? 10-70-40) 100 = ? 1.111 ? 10.828 150 ? 50 ? 80 ?120 9

所以有 99.9% 的把握认为性别与支持有关。
2 18.解: (1) f '( x) ? 3x ? 2ax ? 1,? f '(?1) ? 4 ? 2a ? 0 得 a ? 2 . 3 2 2 (2)由( 1 )知 a ? 2 ? f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ? f '( x) ? 2x ? 4x ? 1 ?(3x ? 1)(x ? 1)令

f '( x) ? 0 得 X1 ? ?1 x2 ? ?

1 3

当 x 变化时 f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x)

3 (- ,1) 2

-1 0
极大值

1 (-1,- ) 3

?

1 3

1 (- ,1) 3

+
?

?
1 3 50 . 27

0
极小值

+
?

f ( x)

由上表可知 f极大值 ( x) ? f (?1) ? 2 ; f极小值 ( x) ? f (? ) ? 19.解: (1)由由表中数据,计算 x ?

1 ? (2+4+6+8+10) =6 , 5

1 y? ? (16+13+9.5+7+4.5)=10 , 5
? 6+(-2) ? 3+0 ? (-0.5)+2 ? (-3)+4 ? (-5.5) =-58.5 ; (x ? x ( )y ? y)=(-4) ?
i ?1 i i 5

(x ? x)=(-4)? (-2)? 0 ?
2 2 i ?1 i

5

2

2

? 22 ? 42 =40 ,

由最小二乘法求得 b ?

?58.5 ? ?1.45 , 40

a ? y ? bx ? 10 ? (-1.45) ? 6=18.7 ,
? y 关于 x 的回归直线方程为 y ? ?1.45x ? 18.7 ;
(2)根据题意利润函数为

z? (-1.45x ? 18.7)-(0.05x2 -1.75x ? 17.2) = -0.05x2 ? 0.3x ? 1.5

?当 x ? ?

0.3 =3 时,利润 z 取得最大值. 2? (-0.05)

20. 解: (1)由 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 , 所以函数的定义域为 ??1,1? , 又 ? f ( x) ? ? 2 ? 2 1 ? x ? ? 2, 4? ,由 f (x) ? 0 ,得 f ( x) ? ? 2, 2 ? ,
2 2

?

?

所以函数值域为 ? 2, 2 ? ;

?

?

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x ) ? a 1 ? x2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x ? t ? 1 , 2 1 2 1 2 ? ? F ( x) ? m(t ) ? a( t ? 1) ? t ? at ? t ? a , t ? ? ? 2, 2 ? 2 2
(2)因为 F ( x) ?

1 2 ? at ? t ? a , t ? ? ? 2, 2 ? 的最大值. 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴. a 2
由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? 因为 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? ? 2, 2 ? 的图象是开口向下的抛物线的一段,

?

?

①若 t ? ?

1 2 ? 0, 2 ? ,即 a ? ? ,则 g (a) ? m( 2) ? 2 ; ? a 2 1 ? a

? ?

②若 t ? ?

2, 2 ? ? ,即 ?

1 1 2 1 ? a ? ? ,则 g (a ) ? m(? ) ? ? a ? a 2a 2 2

③若 t ? ?

1 2 ? ? 2, ?? ? ,即 ? ? a ? 0 ,则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 , a 2

1 ? ?a ? 2, ? 2 ? a ? 0 ? 1 2 2 ? 综上有 ??a ? ; ,? ?a? 2a 2 2 ? 1 ? ?a ? 2, ? 2 ? a ? 0 ?
21. 解: (1)由 f ( x) ? ln x ? ax ,得 f '( x) ?

1 ?a , x

?1 ? ? a ?1 设切点横坐标为 x0 ,依题意得 x0 , ? ? x ? 1 ? ln x ? ax 0 0 ? 0
解得 ?

? x0 ? 1 ,即实数 a 的值为 0 . a ? 0 ? ?ln x1 ? ax1 ? 0 , ?ln x2 ? ax2 ? 0

(2)不妨设 0 ? x1 ? x2 ,由 ? 得 ln x2 ? ln x1 ? a( x2 ? x1 ) , 即

x2 ? x1 1 , ? a ln x2 ? ln x1

x2 x1 x ? ? 2 ln 2 x x2 x1 x2 ? x1 1 1 1 1 1 1 1 所以 , ? ? ( ? )?2 ? ( ? )?2 ? 1 x2 ln x1 ln x2 a x1 x2 ln x2 ? ln x1 x1 x2 ln x1
令t ?

x2 x x x x 1 ? 1 ,则 ln 2 ? 0 , 2 ? 1 ? 2ln 2 ? t ? ? 2ln t , x1 x1 x1 x2 x1 t
1 t

设 g (t ) ? t ? 2 ln t ,则 g '(t ) ? 即函数 g (t ) 在 (1, ??) 上递增, 所以 g (t ) ? g (1) ? 0 ,

t 2 ? 2t ? 1 ?0, t2

x2 x1 x ? ? 2 ln 2 x x2 x1 ? 0, 从而 1 x2 ln x1


1 1 ? ? 2. ln x1 ln x2

22. 解: (1)直线 l 过点 P(2,1) ,倾斜角为 135% , 则:直线的方程为: y ? 1 ? (?1)(?2) , 整理得: x ? y ? 3 ? 0 .

? ?x ? 2 ? ? 转化成参数方程成为: ? ? y ? 1? ? ?
圆 C 的方程为 ? ? 4cos ? ,

2 t 2 ( 为参数). t 2 t 2

转化为直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? 4 x , 整理得: ( x ? 2) ? y ? 4
2 2

(2)圆心 (2, 0) 到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离 d ?

| 2?3| 2 . ? 2 2

则: | PA | ? | PB |? 2 22 ? (

2 2 ) ? 14 2

23.解: (1)

? ?3, x ? ?1 ? f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 |? ? 2 x ? 1, ?1 ? x ? 2 , f ( x) ? 1 ?3, x ? 2 ?

? 当 ?1 ? x ? 2 时, 2 x ? 1 ? 1 解得 1 ? x ? 2 ;
当 x ? 2 时, 3 ? 1 恒成立,故 x ? 2 ; 综上,不等式 f ( x) ? 1 的解集为 ?x | x ? 1 ?. (2)原式等价于存在 x ? R 使得 f ( x) ? x ? x ? m 成立,
2 2 即m ? ? ? f ( x) ? x ? x ? ? max ,设 g ( x) ? f ( x) ? x ? x .
2

?? x 2 ? x ? 3, x ? ?1 ? 由(1)知, g ( x) ? ?? x 2 ? 3x ? 1, ?1 ? x ? 2 , ?? x 2 ? x ? 3, x ? 2 ?
当 x ? ?1 时, g ( x) ? ? x2 ? x ? 3 ,其开口向下,对称轴方程为 x ?

1 ? ?1 , 2

? g ( x) ? g (?1) ? ?1 ? 1 ? 3 ? ?5 ;
当 ?1 ? x ? 2 时, g ( x) ? ? x2 ? 3x ?1 ,其开口向下,对称轴方程为 x ?

3 ? ( ?1, 2) , 2

3 9 9 5 ? g ( x) ? g ( ) ? ? ? ? 1 ? ; 2 4 2 4
当 x ? 2 时, g ( x) ? ? x ? x ? 3 ,其开口向下,对称轴方程为 x ?
2

1 ?2, 2

? g ( x) ? g (2) ? ?4 ? 2 ? 3 ? 1 ;
综上, g ( x ) max ?

5 , 4

5 ?m 的取值范围为 (??, ] . 4


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