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高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-1_图文

时间:2014-01-16

1.7
1.7.1

定积分的简单应用
定积分在几何中的应用

复习巩固
b

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) ? òa f (x )dx = nlim ? n i= 1
y
y=f(x)

ò
O

b

a

f (x )dx

a

b x

2.微积分基本定理是什么?

如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且 F ? (x ) = f (x ) ,则
f ( x ) dx = 蝌
a b b a

F? (x )dx = F (b) - F (a ) .

3.用定积分可以表示曲边梯形的面积, 微积分基本定理为定积分的计算提供了

一种有效的方法,二者强强联合,可以
解决平面几何中曲边图形的面积问题.

探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图

形的面积
y y =x 2

B
O
1 x

y 2=x

(1,1)

探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图

形的面积
y
y =x 2 1 O C B D A 1 x y 2=x

S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OADC.

探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图

形的面积
y y =x 2 y 2=x

1 O

C

B

D A 1

x

S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OADC

S =

ò

1

0

xdx -

ò

1

0

x dx

2

y
y =x 2 1 O C B D A 1 x y 2=x

S =

ò

1

0

xdx -

ò

1

2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3

3 2 1 0

0

x dx

2

探究(二):直线y=x-4与曲线 y =

2x

及x轴所围成图形的面积
y

y =x -4

4

y= (8,4)
4 8 x

2x

(0,0)
O

(4,0)

探究(二):直线y=x-4与曲线

及x轴所围成图形的面积
y 4 C y =x -4

B
A

y=

2x

O

D 4

8

x

S=S曲边梯形OABC-S△ABD.

探究(二):直线y=x-4与曲线

及x轴所围成图形的面积
y y =x -4 C 4

B
A

y=

2x

O

D 4

8

x

S=S曲边梯形OABC-S△ABD. 8 1 S = ò 2xdx - 创4 2 0

4

y 4 C

y =x -4
B A

y=

2x

O

D 4

8

x

S=S曲边梯形OABC-S△ABD. 8 1 S = ò 2xdx - 创4 4 0 2 3 2 2 2 8 1 40 S = x |0 - 创4 4 = 3 2 3

例题讲解

1 y= - x 和 例1 计算由直线y=2-x, 3

曲线y =
y

x 所围成的平面图形的面积.
B

y =2 -x

y=
2D 3 x A

x

1 O -1

13 S = 6

1C

1 y= - x 3

例2.如图直线y=kx将抛物线y=x-x2 与x轴所围成的平面图形分成面积相等 的两部分,求实数k的值.
y y= x- x 2

k = 1-

3

1 2

y=kx

1
O 1 -k x

例3 如图,曲线y=x2 (x≥0)与切线l及
1 x轴所围成图形的面积为 12 ,求切线l的

方程. y=2x-1
O

y

y =x 2

A

l

C

B

x

归纳小结

1.定积分在几何中的应用,主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时,一般 先要画出草图,再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积,对于非规则曲边梯形,一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形,再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积,可直接利用相关面积 公式求解.

3.位于x轴下方的曲边梯形的面积, 等于相应定积分的相反数.一般地,设由 直线x=a,x=b(a<b),y=0和曲线y= f(x)所围成的曲边梯形的面积为S,则.
S =

ò

b

a

| f (x ) | dx

y

y=|f(x)|

O a y=f(x)

b x

P58练习:(1),(2).

作业: P60习题1.7 A组:1; B组:1。 《学海》19课时


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