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江西省南昌市2015届高三第一次模拟测试数学(理)试题(扫描版)

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2014—2015 学年度南昌市高三第一次模拟测试卷 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 题目 答案 1 D 2 A 3 A 4 A 5 C 15. [ ? 6 C 7 B 8 B 9 B 10 C 11 D 12 A 二、填空题 13. 3 4 14. 4? 2 10 , ] 3 3 16 (?1,0) ? (0,??) ………3 三、解答题 17. (Ⅰ)解:等差数列 {an } , a1 ? 1 , S 3 ? 6 ,? d ? 1,故 an ? n 分 S ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 n ?? (1) S ?S a , (1) ? (2) 得 bn ? 2 n n ?1 ? 2 n ? 2 n ( n ? 2) , ? S n ?1 ? ?b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? 2 ? (2) ………7 b1 ? 2 S1 ? 21 ? 2 ,满足通项公式,故 bn ? 2 n 分 (Ⅱ)设 ?bn ? a n 恒成立 ? ? ? c n n n ?1 恒成立,设 cn ? n ? n?1 ? n 2 cn 2n 2 当 n ? 2 时, cn ? 1 , {cn } 单调递减, 1 1 ? (c n ) m a x? c1 ? ,故 ? ? . 2 2 ………10 分 ………12 分 18. 解: (Ⅰ) P(80 ? X ? 85) ? 1 ? P( X ? 75) ? 0.2 , P(85 ? X ? 95) ? 0.3 ? 0.1 ? 0.2 , 3 所以所求概率 P ? A3 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.1 ? 0.024 ; ………6 分(每个结果各 2 分) (Ⅱ) P(75 ? X ? 85) ? 1 ? 2P( X ? 75) ? 0.4 , 所以 ? 服从二项分别 B(3, 0.4) , P(? ? 0) ? 0.63 ? 0.216 , P(? ? 1) ? 3? 0.4 ? 0.62 ? 0.432 ,………8 分 P(? ? 2) ? 3? 0.42 ? 0.6 ? 0.288 , P(? ? 3) ? 0.43 ? 0.064 ,………10 分 所以随机变量 ? 的分布列是 ? 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 P E? ? 3 ? 0.4 ? 1.2 (人). ………12 分 19. 解: (Ⅰ)作 ME ? AB 于 E ,连接 CE , ? ME ∥ AP …① ? AC 是圆 O 的直径, AC ? 2 BC ? 2CD ? 2 , ? AD ? DC, AB ? BC ,? ?BAC ? ?CAD ? 300 , ………2 分 ?BCA ? ?DCA ? 600 , AB ? AD ? 3 1 3 BE 3 1 , , tan?BCE ? ? BP ? BE ? BA ? 3 3 3 BC 3 ? ?BCE ? ?ECA ? 300 ? ?CAD ? EC ∥ AD …②,………4 分 由①②,且 ME ? CE ? E , ? 平面 MEC ∥平面 PAD , CM ? 平面 MEC , CM ? 平面 PAD ………6 分 ? CM ∥ 平面 PAD (Ⅱ)依题意,如图以 A 为原点,直线 AB,AP 分别为 x,z 轴建立空间坐标系,设 AP ? a BM ? 3 3 , ,0) 2 2 设面 PAC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,设 CM 与平面 PAC 所成角为 ? A(0,0,0), B( 3,0,0), C ( 3,1,0), P(0,0, a), D( ? ?n ? AP ? az ? 0 ? ? ?n ? AC ? 3x ? y ? 0 设x ? 3 ,? n ? ( 3,?3,0) , ………8 分 1 CM ? CB ? BM ? CB ? BP 3 ? CM ? (? ? 2 3 a ,?1, ) 3 3 ? 3 12 ? a 2 ? 5 5 ………10 ? sin ? ?| cos CM , n |? | CM ? n | | CM || n | 3 ? 9 ? a2 12 ? 9 分 ?a ? 3 20. (Ⅰ)解:如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 F1 , F2 , ………12 分 F1 , E, A 三 点 共 线 , ? F1 A 为 圆 E 的 直 径 , 1 9 x 2 ? (0 ? ) 2 ? , ? AF2 ? F1F2 2 4 ………2 分 ? x ? ? 2 ,? c ? 2 2 2 2 | AF2 | ?| AF1 | ? | F1 F2 | ? 9 ? 8 ? 1 , 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 4 a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 2 , ………4 分 ? 椭圆 C 的方程 x y ? ? 1, 4 2 2 2 ………5 分 (Ⅱ)点 A 的坐标 ( 2,1) 分 故设直线 l 的方程为 y ? MN ? ?OA(? ? 0) , 所以直线 l 的斜率为 2 x?m 2 2 , ………6 2 ? 2 y? x?m ? ? 2 ? x2 ? 2mx ? m2 ? 2 ? 0 ,设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ? 2 2 ?x ? y ?1 ? ?4 2 ? x1 ? x2 ? ? 2m, x1x2 ? m2 ? 2, ? ? 2m2 ? 4m2 ? 8 ? 0 ,??2 ? m ? 2 分 ………8 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 12 ? 3m2 2 6 |m| 点 A 到直线 l 的距离 d ? 3 | MN |? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 1 ? S?AMN ? …10 分 1 1 6 2 2 4

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