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江苏省南通、徐州、扬州、泰州、淮安、宿迁六市2018届高三第二次调研数学试题

时间:2018-04-08


2018 届高三模拟考试试卷(十三) 数
参考公式: 柱体的体积公式 V 柱体=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为高. 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知集合 U={-1,0,1,2,3},A={-1,0,2},则?UA=________. z1 2. 已知复数 z1=a+i, z2=3-4i, 其中 i 为虚数单位. 若 为纯虚数, 则实数 a 的值为________. z2 3. 某班 40 名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[40,100]上,其频率分布直方图如图所 示,则成绩不低于 60 分的人数为________.



2018.3

(满分 160 分,考试时间 120 分钟)

(第 3 题) 4. 如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值为________.

(第 4 题)

5. 在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,以线段 AC,BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积大 于 32 cm 的概率为________. 6. 在△ABC 中,已知 AB=1,AC= 2,B=45°,则 BC 的长为________. y 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C 与双曲线 x - =1 有公共的渐近线,且经过点 3
2 2 2

P(-2, 3),则双曲线 C 的焦距为________. 8. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知角 α ,β 的始边均为 x 轴的非负半轴,终边分别经过点 A(1,2),B(5,1),则 tan(α -β )的值为________. 9. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3, S9, S6 成等差数列, 且 a8=3, 则 a5 的值为________.

10. 已知 a,b,c 均为正数,且 abc=4(a+b),则 a+b+c 的最小值为________.

?x≤3, 11. 在平面直角坐标系 xOy 中,若动圆 C 上的点都在不等式组?x- 3y+3≥0,表示的平面 ?x+ 3y+3≥0
区域内,则面积最大的圆 C 的标准方程为______________. 1 ? ?e-x- ,x>0, 2 12. 设函数 f(x)=? (其中 e 为自然对数的底数)有 3 个不同的零点,则实数 3 ? ?x -3mx-2,x≤0 m 的取值范围是________. → → 13. 在平面四边形 ABCD 中,已知 AB=1,BC=4,CD=2,DA=3,则AC·BD的值为________. 14. 已知 a 为常数,函数 f(x)= 2 的最小值为- ,则 a 的所有值为________. 3 a-x - 1-x
2 2

x

二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分 14 分) 1 在平面直角坐标系 xOy 中, 设向量 a=(cos α , sin α ), b=(-sin β , cos β ), c=(- , 2 3 ). 2 (1) 若|a+b|=|c|,求 sin(α -β )的值; 5π (2) 设 α = ,0<β <π ,且 a∥(b+c),求 β 的值. 6

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,AB=AC,点 E,F 分别在棱 BB1,CC1 上(均异于端点),且∠ABE =∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.求证: (1) 平面 AEF⊥平面 BB1C1C; (2) BC∥平面 AEF.

17. (本小题满分 14 分) x y 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,B1,B2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的短轴端点,P 是椭圆上 a b 异于点 B1,B2 的一动点.当直线 PB1 的方程为 y=x+3 时,线段 PB1 的长为 4 2. (1) 求椭圆的标准方程; (2) 设点 Q 满足:QB1⊥PB1,QB2⊥PB2.求证: △PB1B2 与△QB1B2 的面积之比为定值.
2 2

18. (本小题满分 16 分) 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为 100 dm 的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线 l1,l2 裁剪成 A,B,C 三个矩形(B,C 全等),用来制成一个柱体.现有两种方案: 方案①: 以 l1 为母线,将 A 作为圆柱的侧面展开图,并从 B,C 中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面; 方案②: 以 l2 为侧棱, 将 A 作为正四棱柱的侧面展开图, 并从 B, C 中各裁剪出一个正方形(各 边分别与 l1 或 l2 垂直)作为正四棱柱的两个底面. (1) 设 B,C 都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径; (2) 设 l1 的长为 x dm,则当 x 为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
2

19. (本小题满分 16 分) 设等比数列 a1,a2,a3,a4 的公比为 q,等差数列 b1,b2,b3,b4 的公差为 d,且 q≠1,d≠0. 记 ci=ai+bi(i=1,2,3,4). (1) 求证:数列 c1,c2,c3 不是等差数列; (2) 设 a1=1,q=2.若数列 c1,c2,c3 是等比数列,求 b2 关于 d 的函数关系式及其定义域; (3) 数列 c1,c2,c3,c4 能否为等比数列?并说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=x-asin x(a>0). (1) 若函数 y=f(x)是 R 上的单调增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2) 设 a= ,g(x)=f(x)+bln x+1(b∈R,b≠0),g′(x)是 g(x)的导函数. 2 ① 若对任意的 x>0,g′(x)>0,求证: 存在 x0,使 g(x0)<0; ② 若 g(x1)=g(x2)(x1≠x2),求证: x1x2<4b .
2

2018 届高三模拟考试试卷(十三) 数学附加题(满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21. 【选做题】 在 A,B,C,D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分.若多做, 则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修 41:几何证明选讲) 如图,A,B,C 是圆 O 上的 3 个不同的点,半径 OA 交弦 BC 于点 D.求证:DB·DC+OD =OA .
2 2

B. (选修 42:矩阵与变换) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,0),B(3,0),C(2,2).设变换 T1,T2 对应的矩阵分别 为 M=?

? 1 0 ? ? 2 0 ? ?,矩阵 N=? ?,求对△ABC 依次实施变换 T1,T2 后所得图形的面积. ? 0 2 ? ? 0 1 ?

C. (选修 44:坐标系与参数方程) π π 在极坐标系中,求以点 P(2, )为圆心且与直线 l:ρ sin(θ - )=2 相切的圆的极坐标方 3 3 程.

D. (选修 45:不等式选讲) 1 1-a+c 已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c= ,求证: ≥2. 2 c( a+2 b)

【必做题】 第 22,23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤. 22. 在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:由电脑随机生成 一张如图所示的 3×3 表格,其中 1 格设奖 300 元,4 格各设奖 200 元,其余 4 格各设奖 100 元, 点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击 3 格,记中奖总金额为 X 元. (1) 求概率 P(X=600); (2) 求 X 的概率分布及数学期望 E(X).

23. 已知(1+x)

2n+1

=a0+a1x+a2x +?+a2n+1x

2

2n+1

,n∈N .记 Tn=

*

(2k+1)an-k.

(1) 求 T2 的值; (2) 化简 Tn 的表达式,并证明:对任意的 n∈N ,Tn 都能被 4n+2 整除.
*

2018 届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考) 数学参考答案及评分标准
1. {1,3} 2. 4 1 3. 30 4. 125 5. 3 3 6. 2+ 6 2 7. 4 3 8. 9 7 9. -6 10. 8

1 2 2 11. (x-1) +y =4 12. (1,+∞) 13. 10 14. 4, 4

1 3 15. 解:(1) 因为 a=(cos α ,sin α ),b=(-sin β ,cos β ),c=(- , ), 2 2 所以|a|=|b|=|c|=1,且 a·b=-cos α sin β +sin α cos β =sin(α -β ).(3 分) 因为|a+b|=|c|,所以|a+b| =c ,即 a +2a·b+b =1, 1 所以 1+2sin(α -β )+1=1,即 sin(α -β )=- .(6 分) 2 5π 3 1 1 3 (2) 因为 α = ,所以 a=(- , ).故 b+c=(-sin β - ,cos β + ).(8 分) 6 2 2 2 2 因为 a∥(b+c),所以- 3 3 1 1 (cos β + )- (-sin β - )=0. 2 2 2 2
2 2 2 2

1 3 1 π 1 化简得 sin β - cos β = ,所以 sin(β - )= .(12 分) 2 2 2 3 2 π π 2π π π π 因为 0<β <π ,所以- <β - < .所以 β - = ,即 β = .(14 分) 3 3 3 3 6 2

16. 证明:(1) 在三棱柱 ABC ?A1B1C1 中,BB1∥CC1. 因为 AF⊥CC1,所以 AF⊥BB1.(2 分) 又 AE⊥BB1,AE∩AF=A,AE,AF?平面 AEF,所以 BB1⊥平面 AEF.(5 分) 因为 BB1?平面 BB1C1C,所以平面 AEF⊥平面 BB1C1C.(7 分) (2) 因为 AE⊥BB1,AF⊥CC1,∠ABE=∠ACF,AB = AC, 所以 Rt△AEB≌Rt△AFC.所以 BE =CF.(9 分) 又由(1)知,BE∥CF,所以四边形 BEFC 是平行四边形.故 BC∥EF.(11 分) 又 BC?平面 AEF,EF?平面 AEF,所以 BC∥平面 AEF.(14 分)

17. 解:设 P(x0,y0),Q(x1,y1). (1) 在 y=x+3 中,令 x=0,得 y=3,从而 b=3.(2 分)

x y ? 2 ? 2+ =1, x2 (x+3)2 6a a 9 由? 得 2+ =1,所以 x0=- 2.(4 分) a 9 9+a ? y = x + 3 ? 6a 2 2 2 因为 PB1= x0+(y0-3) = 2|x0|, 所以 4 2= 2· 2,解得 a =18. 9+a x y 所以椭圆的标准方程为 + =1.(6 分) 18 9 y0-3 x0 (2) (方法 1)直线 PB1 的斜率为 kPB1= , 由 QB1⊥PB1, 所以直线 QB1 的斜率为 kQB1=- . x0 y0-3 于是直线 QB1 的方程为 y=- x0 x+3. y0-3
2 2 2

2

2

x0 同理,QB2 的方程为 y=- x-3.(8 分) y0+3 y0-9 联立两直线方程,消去 y,得 x1= .(10 分) x0 x y x0 y0 x0 2 因为 P(x0,y0)在椭圆 + =1 上,所以 + =1,从而 y0-9=- . 18 9 18 9 2 x0 所以 x1=- .(12 分) 2 S△PB1B2 ?x0? 所以 =? ?=2.(14 分) S△QB1B2 ?x1? (证法 2)设直线 PB1,PB2 的斜率为 k,k′,则直线 PB1 的方程为 y=kx+3. 1 由 QB1⊥PB1,直线 QB1 的方程为 y=- x+3. k x y 2 2 将 y=kx+3 代入 + =1,得(2k +1)x +12kx=0, 18 9 12k 因为 P 是椭圆上异于点 B1,B2 的点,所以 x0≠0,从而 x0=- 2 .(8 分) 2k +1 x y x0 y0 x0 2 因为 P(x0,y0)在椭圆 + =1 上,所以 + =1,从而 y0-9=- . 18 9 18 9 2 y0-3 y0+3 y0-9 1 1 所以 k·k′= · = 2 =- ,得 k′=- .(10 分) x0 x0 x0 2 2k 由 QB2⊥PB2,所以直线 QB2 的方程为 y=2kx-3. 1 ? ?y=- x+3, 6k 6k k 联立? 则 x= 2 ,即 x1= 2 .(12 分) 2k +1 2k +1 ? ?y=2kx-3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12k - ? ? 2k +1 S△PB B ?x ? 所以 =? ?= =2.(14 分) S△QB B ?x ? ? 6k ? ? 2k +1 ?
2 1 2 1 2 0 1 2

18. 解:(1) 设所得圆柱的半径为 r dm, 则(2π r+2r)×4r=100,(4 分) 5 2(π +1) 解得 r= .(6 分) 2(π +1) x x ? ? ?a≤2, ?a≤2, (2) 设所得正四棱柱的底面边长为 a dm,则? 即? (9 分) 100 20 ?a≤ x -4a, ? ?a≤ x . ?

? ? (方法 1)所得正四棱柱的体积 V=a x≤? 400 ? ? x ,x>2
2

x ,0<x≤2 10, 4 10.

3

(11 分)

? ? 记函数 p(x)=? 400 ? ? x ,x>2

x ,0<x≤2 10, 4 10,

3

则 p(x)在(0,2 10]上单调递增,在[2 10,+∞)上单调

递减, 所以当 x=2 10时,pmax(x)=20 10. 所以当 x=2 10,a= 10时,Vmax=20 10 (dm ).(14 分) 20 (方法 2)2a≤x≤ ,从而 a≤ 10.(11 分) a
2 2 20 所得正四棱柱的体积 V=a x≤a ( )=20a≤20 10. a 3

所以当 a= 10,x=2 10时,Vmax=20 10 (dm ).(14 分) 答:(1) 圆柱的底面半径为 5 2(π +1) dm; 2(π +1)

3

(2) 当 x 为 2 10时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.(16 分) 【评分说明】 x ① 直接“由 x·(2x+ )=100 得 x=2 10时正四棱柱的体积最大”给 2 分; 2 ② 方法 1 中的求解过程要体现 V≤p(x)≤2 10,凡写成 V=p(x)≤2 10的最多得 5 分, 其他类似解答参照给分.

19. (1) 证明:假设数列 c1,c2,c3 是等差数列,则 2c2=c1+c3,即 2(a2+b2)=(a1+b1)+(a3 +b3). 因为 b1,b2,b3 是等差数列,所以 2b2=b1+b3,从而 2a2=a1+a3.(2 分) 因为 a1,a2,a3 是等比数列,所以 a2=a1a3. 所以 a1=a2=a3,这与 q≠1 矛盾,从而假设不成立. 所以数列 c1,c2,c3 不是等差数列.(4 分) (2) 解:因为 a1=1,q=2,所以 an=2
2 2 n-1 2

.
2

因为 c2=c1c3,所以(2+b2) =(1+b2-d)(4+b2+d),即 b2=d +3d.(6 分) 由 c2=2+b2≠0,得 d +3d+2≠0,所以 d≠-1 且 d≠-2. 又 d≠0,所以 b2=d +3d,定义域为{d∈R|d≠-1,d≠-2,d≠0}.(8 分) (3) 解:(解法 1)设 c1,c2,c3,c4 成等比数列,其公比为 q1, a +b =c ①, ? ?a q+b +d=c q ②, 则? (10 分) a q +b +2d=c q ③, ? ?a q +b +3d=c q ④.
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 2 2

将①+③-2×②,得 a1(q-1) =c1(q1-1)
2

2

2

⑤,
2

将②+④-2×③,得 a1q(q-1) =c1q1(q1-1) 因为 a1≠0,q≠1,由⑤得 c1≠0,q1≠1. 由⑤⑥得 q=q1,从而 a1=c1.(14 分)

⑥,(12 分)

代入①得 b1=0. 再代入②得 d=0,与 d≠0 矛盾. 所以 c1,c2,c3,c4 不成等比数列.(16 分) c2 c3 c4 (解法 2)假设数列 c1,c2,c3,c4 是等比数列,则 = = .(10 分) c1 c2 c3 c3-c2 c4-c3 a3-a2+d a4-a3+d 所以 = ,即 = . c2-c1 c3-c2 a2-a1+d a3-a2+d a3-2a2+a1 a4-2a3+a2 两边同时减 1,得 = .(12 分) a2-a1+d a3-a2+d a3-2a2+a1 q(a3-2a2+a1) 因为等比数列 a1,a2,a3,a4 的公比为 q(q≠1),所以 = . a2-a1+d a3-a2+d 又 a3-2a2+a1=a1(q-1) ≠0,所以 q(a2-a1+d)=a3-a2+d,即(q-1)d=0.(14 分) 这与 q≠1,且 d≠0 矛盾,所以假设不成立. 所以数列 c1,c2,c3,c4 不能为等比数列.(16 分)
2

20. (1) 解:由题意,f′(x)=1-acos x≥0 对 x∈R 恒成立. 1 因为 a>0,所以 ≥cos x 对 x∈R 恒成立. a 1 因为(cos x)max=1,所以 ≥1,从而 0<a≤1.(3 分) a 1 1 b (2) 证明:① g(x)=x- sin x+bln x+1,所以 g′(x)=1- cos x+ . 2 2 x b b 1 b 若 b<0,则存在- >0,使 g′(- )=-1- cos(- )<0,不合题意, 2 2 2 2 所以 b>0.(5 分) 3 取 x0=e- ,则 0<x0<1. b 1 1 3 1 此时 g(x0)=x0- sin x0+bln x0+1<1+ +bln e- +1=- <0. 2 2 b 2 所以存在 x0>0,使 g(x0)<0.(8 分) x2 ② 依题意,不妨设 0<x1<x2,令 =t,则 t>1. x1 由(1)知函数 y=x-sin x 单调递增,所以 x2-sin x2>x1-sin x1. 从而 x2-x1>sin x2-sin x1. (10 分) 1 1 因为 g(x1)=g(x2),所以 x1- sin x1+bln x1+1=x2- sin x2+bln x2+1, 2 2 1 1 所以-b(ln x2-ln x1)=x2-x1- (sin x2-sin x1)> (x2-x1), 2 2 x2-x1 所以-2b> >0.(12 分) ln x2-ln x1 x2-x1 t-1 t-1 下面证明 > x1x2,即证明 > t,只要证明 ln t- <0 ln x2-ln x1 ln t t
2

(*).

t-1 -( t-1) 设 h(t)=ln t- (t>1),所以 h′(t)= <0 在(1,+∞)上恒成立. t 2t t 所以 h(t)在(1,+∞)上单调递减,故 h(t)<h(1)=0,从而(*)得证. 所以-2b> x1x2, 即 x1x2<4b .(16 分)
2

2018 届高三模拟考试试卷(十三)(六市联考) 数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 证明:延长 AO 交圆 O 于点 E,则 BD·DC=DE·DA=(OD+OE)·(OA-OD).(5 分) 因为 OE=OA,所以 DB·DC=(OA+OD)·(OA-OD)=OA -OD . 所以 DB·DC+OD =OA .(10 分)
2 2 2 2

B. 解:依题意,依次实施变换 T1,T2 所对应的矩阵 NM=? 则?

?2 0??1 0? ?2 0? ?? ?=? ?.(5 分) ?0 1??0 2? ?0 2?

?2 0??0? ?0? ?2 0??3? ?6? ?2 0??2? ?4? ?? ?=? ?,? ?? ?=? ?,? ?? ?=? ?. ?0 2??0? ?0? ?0 2??0? ?0? ?0 2??2? ?4?

所以 A(0,0),B(3,0),C(2,2)分别变为点 A′(0,0),B′(6,0),C′(4,4). 1 从而所得图形的面积为 ×6×4=12.(10 分) 2

C. 解:以极点为原点,极轴为 x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系 xOy. 则点 P 的直角坐标为(1, 3).(2 分) π? π π ? 将直线 l:ρ sin?θ - ?=2 的方程变形为 ρ sin θ cos -ρ cos θ sin =2, 3? 3 3 ? 化为普通方程,得 3x-y+4=0.(5 分) 所以 P(1, 3)到直线 l: 3x-y+4=0 的距离为
2 2

4 ( 3) +(-1)
2

2

=2.

故所求圆的普通方程为(x-1) +(y- 3) =4.(8 分) π? ? 化为极坐标方程,得 ρ =4sin?θ + ?.(10 分) 6? ?

D. 证 明 : 因 为 a , b , c 为 正 实 数 , 所 以

1-a+c c( a+2 b)



a+2b+3c c( a+2 b)



(a+c)+2(b+c) 2 ac+4 bc ≥ =2(当且仅当 a=b=c 取“=”).(10 分) ac+2 bc ac+2 bc

22. 解:(1)从 3×3 表格中随机不重复地点击 3 格,共有 C9种不同情形, 则事件“X=600”包含两类情形:

3

第一类是 3 格各得奖 200 元; 第二类是 1 格得奖 300 元,1 格得奖 200 元,1 格得奖 100 元. 其中第一类包含 C4种情形,第二类包含 C1·C4·C4种情形, C4+C1·C4·C4 5 所以 P(X=600)= = .(3 分) 3 C9 21 (2) X 的所有可能值为 300,400,500,600,700,则 C4 4 1 C1·C4 24 2 P(X=300)= 3= = ,P(X=400)= 3 = = , C9 84 21 C9 84 7 C1·C4+C4·C4 30 5 C1·C4 6 1 P(X=500)= = = ,P(X=700)= 3 = = . 3 C9 84 14 C9 84 14 所以 X 的概率分布列为 X P (8 分) 1 2 5 5 1 所以 E(X)=300× +400× +500× +600× +700× =500.(10 分) 21 7 14 21 14 300 1 21 400 2 7 500 5 14 600 5 21 700 1 14
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1

23. 解:由二项式定理,得 ai=C2n+1(i=0,1,2,?,2n+1). (1) T2=a2+3a1+5a0=C5+3C5+5C5=30.(2 分) (2) 因为(n+ 1+ k)C2n+1 = (n+ 1+k)· =(2n+1)C2n ,(4 分)
n+k n+1+k 2 1 0

i

(2n+1)! (2n+1)·(2n)! = (n+1+k)!(n-k)! (n+k)!(n-k)!

(8 分) Tn=(2n+1)C2n=(2n+1)(C2n-1+C2n-1)=2(2n+1)C2n-1. 因为 C2n-1∈N ,所以 Tn 能被 4n+2 整除.(10 分)
n * n n-1 n n


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