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海南省海南中学2015届高三5月月考 数学(理)

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精品试卷

海南中学 2015 届高三 5 月月考

数学(理)试题
(考试用时为 120 分钟,满分分值为 150 分.) 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卷上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将答题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1.已知集合 A ? x y ? log 2 ? x ? 1? , B ? y y ? A. ? B. ?1, ?? ?

?

?

?

x ? 1 ,则 A ? B ? (
D. ? 0, ?? ?

?

)

C. ?1, ?? ? )

2. 已知复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? 3 ? 4i ,则 z =( A.

5 B. 1 C. 5 D. 5 5 ? ? ? ? ? ? 0 3.已知向量 a , b 的夹角为 60 ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则 2 a ? b ? (
A. 3 4.已知 a1 ? 1 , an ?1 ? B. 5 C. 2 2



D. 2 3 ( )

an ,则数列 ?an ? 的通项为 an ? 3an ? 1
B. 2 n ? 1 D. 3n ? 2 )

5. 执行右边的程序框图, 若 p ? 0.9 , 则输出的 n ? ( A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

1 2n ? 1 1 C. 3n ? 2
A.

6.在圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 0 内, 过点 E ? 0,1? 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD , 则四边形 ABCD
2 2

的面积为( A. 5 2

) B. 10 2 C. 15 2 .
·1·

D. 20 2

精品试卷

7.将函数 y ? f ? x? 的图像向右平移

? 单位得到函数 y ? cos 2 x 的图像,则将函 y ? f ? x ? 的横坐标 2


伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ? x ? 的图像,则 g ? x ? ? ( A. ? sin 4 x B. cos 4 x C. sin x D. ? cos x

8.设函数 f ? x ? ? 4sin ? 2x ?1? ? x ,则在下列区间中,函数 f ? x ? 不存在零点的是( A. ? ?4, ?2? B. ? ?2,0? C. ? 0, 2? D. ? 2, 4?



9.已知直线 l 过抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点,且与 y 轴垂直,则直线 l 与抛物线 C 所围成的图形的面 积为( ) A.

4 3

B. 2

C.

8 3

D.

? 3? ? ) , 2? ? ,满足 tan ?? ? ? ? ? 2tan ? ? 0 ,则 tan ? 的最小值是( ? 2 ? 2 3 2 3 2 2 A. B. ? C. ? D. 4 4 4 4 2 2 x y 11.设 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ﹥ 0 , b ﹥ 0 )的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P , a b ??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? 使得 OP ? OF 2 ?F2 P ? 0 ,其中 O 为坐标原点,且 PF1 ? 2 PF2 ,则该双曲线的离心率为( )
10. 已知 ? ? ?

16 2 3

?

?

A.

2 3 3

B. 3 ? 1

C.

5 2

D. 5

12.对于函数 f ? x ? ,若对于任意的 x1 , x2 , x3 ? R

, f ? x1 ? , f ? x2 ? , f ? x3 ? 为某一三角形的三边长,

则称 f ? x ? 为“可构成三角形的函数”。已知函数 f ? x ? ? 取值范围是( A. ? , 2 ? 2 )

ex ? t 是“可构成三角形的函数”,则实数 t 的 ex ? 1

?1 ?

? ?

B.

?0,1?

C. ?1, 2?

D. ? 0, ?? ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题至第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题至第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分.) 13. 若 双 曲 线 为

x2 y 2 ? ?1 ( a ﹥ 0 , b ﹥ 0 ) 的 离 心 率 为 a 2 b2


3 ,则其渐近线方程


14.已知数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1, Sn 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ?

·2·

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15. 已 知 函 数 f ? x ? ? log a

?

x2 ? 1 ? x ?

?

1 3 ? ?? ?? 1 ? ( a ﹥ o , a ? 1 ) , 若 f ?s i n ?? ?? ? ? a ?1 2 ?? 3 ? ?6
x

( ? ? k? ?

?

? 2? ? ? ? , k ? Z ),则 f ? cos ? ? ? ? = 6 3 ?? ? ? ?



16. 已知下列四个命题: ⑴若 ax ? ax ? 1 ﹥0 在 x ? R 上恒成立,则 0 ﹤ a ﹤4;
2

⑵锐角三角形 ?ABC 中, A ?

?
3

,则

1 ﹤ sin B ﹤1; 2

⑶已知 k ? R ,直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( m ﹥0)恒有公共点,则 m ? ?1,5? ; 5 m

⑷定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? y ? ? f ? x? ? f ? y? , 当 x ﹤0 时, f ? x ? ﹥0,则函数 f ? x ? 在

? a, b? 上有最小值 f ? b ? 。
其中的真命题是 。 三.解答题(本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x

?

3 sin x ? cos x 。

?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递减区间; ⑵记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 f ? B ? ? 18(本小题满分 12 分) 营养学家指出, 高中学生良好的日常饮食应该至少提供 0. 075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪。1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 35 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 28 元。为了满足营养专家 指出的 日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg? 19(本小题满分 12 分) 数列 ?an ?的前几项和为 Sn ,满足 ? 2t ? 3?? Sn?1 ?1? ? ?3t ? 4? Sn , a1 ? 1 ,其中 t ﹥0 。 ⑴若 t 为常数,证明:数列 ?an ?为等比数列; ⑵若 t 为变量,记数列 ?an ?的公比为 f ? t ? ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2, bn?1 ? f ?bn ? ,求 b2 , b3 ,试判定 bn
·3·

1 , a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围。 2

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与 2 的大小,并加以证明。 20(本小题满分 12 分). 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1 ( a ﹥ b ﹥0)经过点 P ?1, ? ,离心率 e ? 。 2 2 a b ? 2?

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵不过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,若 AB 的中点 M 在抛物线 E : y 2 ? 4x 上,求直线 l 的 斜率 k 的取值范围。 21(本小题满分 12 分) 己知函数 f ? x ? ? x ?

2a 2 ? a ln x ? a ? R? 。 x

⑴讨论函数 f ? x ? 的单调区间;
2 ⑵设 g ? x ? ? x ? 2bx ? 4 ? ln 2 ,当 a ? 1 时,若对任意的 x1 , x2 ??1, e? 都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数

b 的取值范围;
(3)求证: ln ? n ? 1? ﹤ 1 ?

1 1 1 n ? ? ??? ? ? n? N? ? 。 ? 2 3 n n ?1

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题 做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 .... 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在正 ?ABC 中,点 D, E 分别在边 AC, AB 上,且

1 2 AC , AE ? AB , BD 与 CE 交于点 F 。 3 3 ⑴求证: A, E , F , D 四点共圆; AD ?
⑵若正 ?ABC 的边长为 2,求点 A, E , F , D 所在圆的半径。 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 已知曲线 C : x ? y ? 1,将曲线 C 上的点按坐标变换 ?
2 2
' ? ?x ? 2x ' 得到曲线 C ;以直角坐标系原 ' ? ? y ? 3y

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标系方程是 ? ? 2cos? ? sin ? ? ? 10 。 ⑴写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; ⑵求曲线 C 上的点 M 到直线 l 距离的最大值及此时点 M 的坐标。 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
·4·
' '

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已知函数 f ? x ? ? 9 ? 6 x ? x ?
2

x 2 ? 8 x ? 16

⑴解不等式 f ? x ? ? f ? 4? ; ⑵设函数 g ? x ? ? kx ? 3k , k ? R ,若不等式 f ? x ? ﹥ g ? x ? 恒成立,求实数 k 的取值范围。

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参考答案
(考试用时为 120 分钟,满分分值为 150 分.) 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卷上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将答题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. ) 1.已知集合 A ? x y ? log 2 ? x ? 1? , B ? y y ? A. ? B. ?1, ?? ?

?

?

?

x ? 1 ,则 A ? B ? ( B
D. ? 0, ?? ?

?

)

C. ?1, ?? ? )

2. 已知复数 z 满足 ?1 ? 2i ? z ? 3 ? 4i ,则 z =( C A.

5 B. 1 C. 5 D. 5 5 ? ? ? ? ? ? 0 3.已知向量 a , b 的夹角为 60 ,且 a ? 1 , b ? 2 ,则 2 a ? b ? ( D
A. 3 4.已知 a1 ? 1 , an ?1 ? ( C ) B. 5 C. 2 2



D. 2 3

an ,则数列 ?an ? 的通项为 an ? 3an ? 1

5. 执 行 右 边 的 程 序 框 图 , 若 p ? 0.9 , 则 输 出 的 n ? ( C ) A. 3 B. 4 6.在圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 0 内, 过点 E ? 0,1? 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD , 则四边形 ABCD
2 2

1 2n ? 1 1 C. 3n ? 2
A.

B. 2 n ? 1 D. 3n ? 2

C. 5

D. 6

的面积为( B ) A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 .
·6·

D. 20 2

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7.将函数 y ? f ? x? 的图像向右平移

? 单位得到函数 y ? cos 2 x 的图像,则将函 y ? f ? x ? 的横坐标 2

伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ? x ? 的图像,则 g ? x ? ? ( D ) A. ? sin 4 x B. cos 4 x C. sin x D. ? cos x

8. .设函数 f ? x ? ? 4sin ? 2x ?1? ? x ,则在下列区间中,函数 f ? x ? 不存在零点的是( A. ? ?4, ?2? B. ? ?2,0? C. ? 0, 2? D. ? 2, 4?

A )

9.已知直线 l 过抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点,且与 y 轴垂直,则直线 l 与抛物线 C 所围成的图形的面 积为( C ) A.

4 3

B. 2

C.

8 3

D.

? 3? ? , 2? ? ,满足 tan ?? ? ? ? ? 2tan ? ? 0 ,则 tan ? 的最小值是( B ) ? 2 ? 2 3 2 3 2 2 A. B. ? C. ? D. 4 4 4 4 2 2 x y 11.设 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1( a ﹥0, b ﹥0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P , a b ??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? 使得 OP ? OF 2 ?F2 P ? 0 ,其中 O 为坐标原点,且 PF1 ? 2 PF2 ,则该双曲线的离心率为( D )
10. 已知 ? ? ?

16 2 3

?

?

A.

2 3 3

B. 3 ? 1

C.

5 2

D. 5

12.对于函数 f ? x ? ,若对于任意的 x1 , x2 , x3 ? R

, f ? x1 ? , f ? x2 ? , f ? x3 ? 为某一三角形的三边长,

则称 f ? x ? 为“可构成三角形的函数”。已知函数 f ? x ? ? 取值范围是( A. ? , 2 ? 2 A )

ex ? t 是“可构成三角形的函数”,则实数 t 的 ex ? 1

?1 ?

? ?

B.

?0,1?

C. ?1, 2?

D. ? 0, ?? ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题至第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题至第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分.)

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为 y ? ? 2x 。 a 2 b2 14.已知数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? 1, Sn 为其前 n 项和,若 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 S8 ? 8 或 64 。
13. 若双曲线

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15. 已 知 函 数 f ? x ? ? log a

?

x2 ? 1 ? x ?

?

1 3 ? ? ? a? 0, a ? 1? , 若 f ? s a ?1 2 ?
x

?? ?? 1 i ?n ? ? ? ? ? ?6 ?? 3

( ? ? k? ?

?

? 2? ? ? 5 ? , k ? Z ),则 f ? cos ? ? ? ? =3 。 6 3 ?? ? ? ?

16. 已知下列四个命题: ⑴若 ax ? ax ? 1 ? 0 在 x ? R 上恒成立,则 0? a? 4 ;
2

⑵锐角三角形 ?ABC 中, A ?

?
3

,则

1 ?sin B?1 ; 2

⑶已知 k ? R ,直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1? m? 0 ? 恒有公共点,则 m ? ?1,5? ; 5 m

⑷定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? y? ? f ? x ? ? f? y ? , 当 x ? 0 时, f ? x ??0, 则函数 f ? x ? 在

? a, b? 上有最小值 f ? b ? 。
其中的真命题是 (2) (4) 。 三.解答题(本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x

?

3 sin x ? cos x 。

?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递减区间; ⑵记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 f ? B ? ? 解: (1) f ? x ? ? sin ? 2 x ?

1 , a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围。 2

? ?

?? 1

? ? --------------2 分 6? 2

T ? ? -------------4 分
函数 f ? x ? 的递减区间为: ? k? ? (2)? f ? B ? ?

? ?

?
3

, k? ?

5? ? ? k ? Z ? 。----------6 分 6 ? ?

1 2

?? ? ? sin ? 2 B ? ? ? 1 6? ?
? 0? B ?? ??

?
6

?2B ?

? 11?
6 ? 6
·8·

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2B ?
2

?
6

?
2

?
2

即B ?
2

?
3

-------8 分

由 b ? a ? c ? 2ac cos B, a ? c ? 1, cos B ?

1 2

1? 1 ? 得 b ? 3 ? a ? ? ? ------10 分 2? 4 ?
2

2

又 a ? c ? 1, 则 0? a ?1

1 ?1 ? ? ? b 2 ?1 即 b ? ? 1? 。------12 分 4 ? 2, ?
18(本小题满分 12 分) 营养学家指出,高中学生良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪。1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 35 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 28 元。为了满足营养专家 指出的 日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg? 解:设每天食用 xkgA 食物, ykgB 食物,总成本为 z 。则

?0.105 x ? 0.105 y ? 0, 075 ?0.07 x ? 0.14 y ? 0.06 ? ? ?0.14 x ? 0.07 y ? 0.06 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
目标函数为 z ? 35 x ? 28 y ------------------4 分

?7 x ? 7 y ? 5 ?7 x ? 14 y ? 6 ? ? 不等式组化简为 ?14 x ? 7 y ? 6 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
如图作出可行域(阴影部分) 。---------------------------------------6 分

把 z ? 35 x ? 28 y 变形为 y ? ?

5 z x? , 4 28

由图可见,当直线 z ? 35 x ? 28 y 经过可行域上的点 M 时 z 最小。-------8 分
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解方程组 ?

?7 x ? 7 y ? 5 ?14 x ? 7 y ? 6
?1 4? , ? --------------10 分 ?7 7?

得 M 的坐标为 ?

所以 zmin ? 35x ? 27 y ? 21 故每天食用 A 约 143 g ,食物 B 约 571g ,能够满足日常饮食要求,又使花费最低,最低成本 21 元。--------------12 分 19(本小题满分 12 分) 数列 ?an ?的前几项和为 Sn ,满足 ? 2t ? 3?? Sn?1 ?1? ? ?3t ? 4? Sn , a1 ? 1 ,其中 t ? 0 ⑴若 t 为常数,证明:数列 ?an ?为等比数列; ⑵若 t 为变量,记数列 ?an ?的公比为 f ? t ? ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 2, bn?1 ? f ?bn ? ,求 b2 , b3 ,试判定 bn 与 2 的大小,并加以证明。 解: (1)当 n ? 1 时, a2 ?

3t ? 4 2t ? 3
① ②

当 n ? 2 时, ? 2t ? 3?? sn ?1? ? ?3t ? 4? sn?1

? 2t ? 3?? sn?1 ?1? ? ?3t ? 4? sn
②-①得: ? 2t ? 3? an?1 ? ?3t ? 4? an

?

an?1 3t ? 4 ? an 2t ? 3

? n ? 2? ---------4 分



a2 3t ? 4 ? a1 2t ? 3
故 ?an ?是等比数列---------------6 分

(2) bn ?1 ?

3bn ? 4 2bn ? 3
·10·

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b2 ?

10 58 , b3 ? 7 41

猜想: bn ﹥ 2 ------------8 分

下面用数学的归纳法证明: ① 当 n ? 1, b1 ? 2 ,则 b1 ﹥ 2 成立 ② 假设当 n ? k 时, bk ﹥ 2 当 n ? k ? 1 时, bk ?1 ?

3bk ? 4 2bk ? 3

bk ?1 ? 2 ?

3bk ? 4 ? 2 2bk ? 3

?

?3 ? 2 2 ? b ? ? 4 ? 3 2 ?
k

2bk ? 3

?

?3 ? 2 2 ??b ? 2 ? ﹥ 0
k

2bk ? 3

bk ?1 ? 2, 即 n ? k ? 1 ,结论也成立
由①②知: bn ﹥ 2 ----------12 分 20(本小题满分 12 分). 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a?b? 0 ? 经过点 P ?1, ? ,离心率 e ? 。 2 2 a b ? 2?

⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵不过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,若 AB 的中点 M 在抛物线 E : y ? 4x 上,求直线 l 的
2

斜率 k 的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1 --------------------3 分 解:(1) C : 4 3
(2)设直线 l : y ? kx ? m ? m ? 0? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ? x0 , y0 ? 。-----4 分

·11·

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由?

? y ? kx ? m
2 2 ?3x ? 4 y ? 12

2 2 2 得 3 ? 4k x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 -----6 分

?

?

? ? ? 8km ? ? 4 ? 3 ? 4k 2 ?? 4m2 ? 12 ? ﹥0
2

即 4 k ? m ? 3 ﹥0
2 2

(1)----8 分

又 x1 ? x2 ? ? 故 M ??

8km 3 ? 4k 2

3m ? ? 4km , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ? 3m ? ? 4km 2 代入 y ? 4 x 得 , 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?

将 M ??

m ??
2

16k ? 3 ? 4k 2 ? 9

, ? k ? o ? ? ? ? ? ? 2? -------10 分

2 2 2 将(2)代入(1)得: 16 k 3 ? 4k ? 81

?

?

解得 ?

? 6 ? ? 6? 6 6 ? , 0 ? 0, ?k? , 且 k ? 0 。即 k ? ? ? ? ? 8 ? ? 8 ? ? 。--12 分 8 8 ? ? ? ?

21(本小题满分 12 分) 己知函数 f ? x ? ? x ?

2a 2 ? a ln x ? a ? R? . x

⑴讨论函数 f ? x ? 的单调区间;
2 ⑵设 g ? x ? ? x ? 2bx ? 4 ? ln 2 ,当 a ? 1 时,若对任意的 x1 , x2 ??1, e? 都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数

b 的取值范围;
(3)求证: ln ? n ? 1? ?1 ? 解: (1) f ? x ? ? x ?

1 1 1 n ? ? ??? ? ? n? N??。 ? 2 3 n n ?1

2a 2 ? a ln x, x ? ? 0, ?? ? x

·12·

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f '? x? ?

? x ? a ?? x ? 2a ?
x2

当 a ? 0 时,递减区间为 ? 0, 2a ? ,递增区间为 ? 2a, ?? ? ; 当 a ? 0 时,递增区间为 ? 0, ?? ? ; 当 a ? 0 时,递减区间为 ? 0, ?a ? ,递增区间为 ? ?a, ?? ? 。------------4 分 (2)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ?

2 ? ln x, x ? ? 0, ?? ? x

由(1)知 x ??1, e? 时 f ? x ?min ? f ? 2? ? 3 ? ln 2 对任意的 x1 , x2 ??1, e? 都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立 即 f ? x ?min ? g ? x ? , x ??1, e? 恒成立 即 3 ? ln 2 ? x ? 2bx ? 4 ? ln 2 , x ??1, e? 恒成立
2

1 , x ??1, e? 恒成立 x 1 1 ' 令 h ? x ? ? x ? ,则 h ? x ? ? 1 ? 2 ? 0 , x ??1, e? x x 1 1 即 h ? x ? ? x ? 在 x ??1, e? 上递增,故 h ? x ? max ? e ? x e
即 2b ? x ? 所以 b ?

1? 1? ? e ? ? 。---------------8 分 2? e?
1 1 1 ? ln x 时, f ? x ? ? x ? 2 2x 2

(3)当 a ?

由(1)知, x ? ?1, ?? ? 单调递增,则 x ? 1 时, f ? x ? ? f ?1? 即 ln x ? 2 x ? 取x?

1 ?3 x

k ?1 k ? N?? , ? k k ?1 2 1 ? ? 则 ln k k k ?1 2 2 1 故 ln ? ? 1 1 2 3 2 1 ln ? ? 2 2 3
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。 。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。

ln

n ?1 2 1 ? ? n n n ?1

上式叠加得: ln

2 3 n ?1 ? 2 1 ? ? 2 1 ? 1 ? ?2 ? ln ? ... ? ln ? ? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? 1 2 n ? 1 2? ? 2 3? ? n n ?1 ?
1 1 1 n ? ? .... ? ? 。--------------12 分 2 3 n n ?1

即 ln ? n ? 1? ? 1 ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题 做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 .... 在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在正 ?ABC 中,点 D, E 分别在边 AC, AB 上,且

1 2 AC , AE ? AB , BD 与 CE 交于点 F 。 3 3 ⑴求证: A, E , F , D 四点共圆; AD ?
⑵若正 ?ABC 的边长为 2,求点 A, E , F , D 所在圆的半径。

2 1 AB, 则 AE ? AB 3 3 1 在正 ?ABC 中, AD ? AC ,? AD ? BE 3 又 AB ? BC , ?BAD ? ?CBE
解: (1)由 AE ?

??BAD ? ?CBE ??ADB ? ?BEC 故 ?ADF ? ?AEF ? ? 从而 A, E , F , D 四点共圆。
(2)取 AE 中点 G ,连接 GD ,则

1 1 2 AE ? AB ? 2 3 3 1 2 0 又 AD ? AC ? , ?DAE ? 60 3 3 ? ?AGD 为正三角形 2 ? GD ? AG ? AD ? 3 2 即 GA ? GE ? GD ? 3 AG ? GE ?
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精品试卷

故 G 是过 A, E , F , D 四点的圆心,且半径为

2 。 3
' ? ?x ? 2x ' 得到曲线 C ;以直角坐标系原 ' ? ? y ? 3y

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 已知曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1,将曲线 C 上的点按坐标变换 ?

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标系方程是 ? ? 2cos? ? sin ? ? ? 10 。 ⑴写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; ⑵求曲线 C 上的点 M 到直线 l 距离的最大值及此时点 M 的坐标。
' '

x '2 y '2 ? ?1 解: (1) C : 4 9 l : 2 x ? y ? 10 ? 0
'

(2)设曲线 C 上的点 M ? 2cos ?,3sin ? ? ,则
'

d?

4cos ? ? 3sin ? ? 10 5

?

5sin ?? ? ?0 ? ?10 5
? 8 ? 5 9? 5?

当 sin ?? ? ?0 ? ? ?1时, d 取最大值 3 5 即距离的最大值为 3 5 ;此时点 M 的坐标为 ? ? , ? ? 。 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 9 ? 6 x ? x ?
2

x 2 ? 8 x ? 16

⑴解不等式 f ? x ? ? f ? 4? ; ⑵设函数 g ? x ? ? kx ? 3k , k ? R , 若不等式 f ? x ?? g ? x ? 恒成立, 求实数 k 的取值范围。 解: (1) f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 4 , f ? 4? ? 9

? x ?3 ? x ? 4 ? 9
原不等式等价于

??4 ? x ? 3 ? x ? 3 ? x ? ?4 或? 或? ? ?2 x ? 1 ? 9 ??2 x ? 1 ? 9 ?7 ? 9 解得 x ? ?5 或 x ? 4
即不等式的解集为 ? ??, ?5? ? ?4, ??? 。

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精品试卷

??2 x ? 1, x ? ?4 ? (2) f ? x ? ? ?7, ?4 ? x ? 3 , g ? x ? ? k ? x ? 3? ?2 x ? 1, x ? 3 ?
由其函数图像知: k ? ? ?1, 2? 。

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