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2011湛江一中第三次模拟试卷

时间:2012-12-11


永远与细心、认真做好朋友!

2011 年湛江一中高三模拟考 文科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题共 50 分)和第 II 卷(非选择题共 100 分)两部分. 考试时间为 120 分钟,满分为 150 分.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色笔将自己的姓名、班级、学号、清楚填写在答题卷的密封 线内,座位号填写在试卷右上角的座位号栏内。 2.每小题选出答案后,填写在试卷的答题栏内,在试题上作答无效。 参考公式: 一、本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 复数 z ? a ? ?1? a ? i A.0

(a ? R) 是纯虚数,则 z 2 的值为
C. i D. ?i

B. ?1

2.直线 3x ? y ? 2 ? 0 的倾斜角是

? ? 2? B. C. 3 6 3 ? ? ? ? 3.若 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?3, m ? , a ? b, ,则 m ? 3 3 A. B. ? C. 6 2 2
A. 4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分布直方图

D.

5? 6

D. ?6 频率 0.036 0.024 0.01 组距

如右图所示,其中支出在 [50,60) 元的同学有 30 人, 则 n 的值为 A. 100 C. 90 B. 1000 D. 900

20 30 40 50 60



5.记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S7 ? 28 , S8 ? 36 ,则 S15 ? A.210 B.120 C.64 D.56

6.如下图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且其体积为 体的俯视图可以是
模拟卷文科数学试题 第 1 页 共 9 页

? . 则该几何 4

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第 6 题图 7.椭圆 x 2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为 A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

8.若 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列命题: ①若 m ? ? , n // ? , 则m ? n ; ③若 m // ? , n // ? , 则m // n ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ; ④若 ? // ? , ? // ? , m ? ?则m / ? ? ( ) D.4 第 8 题图

其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示 9.设 该函数在区间 ?? 2,1? 上的图像,则 f (2011) ? f (2012) = A.3 B.2 C.1 D.0

10.已知 an ? ( ) ,把数列 ?an ? 的各项排列成
n

1 3

如下的三角形状:

a1 a2 a5 a6 a3 a7 a4 a8 a9

?????????? 记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A(11,12) ? (A) ( )

1 3

67

(B) ( )

1 3

68

(C) ( )

1 3

111

(D) ( )

1 3

112

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,只做 4 小题。其中第 11-13 题为必做题,第 14、15 题为
模拟卷文科数学试题 第 2 页 共 9 页

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选做题,只能做其中的一题,做两题的,按第一题记分。每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题: 10. sin1680 sin 720 ? sin1020 sin1980 =_______. 11.配置 A、B 两种药剂都需要甲、乙两种原料,用料要求如右表所示(单位:克) ,如果 药剂 A、B 至少各配一剂,且药剂 A、B 每剂售价分别为 2 元,3 元,现在有原料甲 20 克, 原料乙 25 克,那么可以获得的最大销售额为_______________.

答:17 元 设药剂 A、B 分别配 x 剂、y 剂, 目标函数为 z ? 2 x ? 3 y. 则

?2 x ? 4 y ? 20 ?4 x ? 3 y ? 25 ? ? ?x ? 1 ?y ? 1 ?
作出可行域如图中阴影部分. 平行移动直线 l : 2 x ? 3 y ? t(t 为参数) .经过点 A (4, 时,z max ? 2×4+3×3=17 3) (元)

4 ? ln 2
12.曲线 y ? ln x 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是
2

.

5

13. 若函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ?1 的零点是抛物线 x ? ay 焦点的横坐标, 则a ? .

1 4

(二)选做题: (只能做其中的一题,做两题的,按第一题记分) 14. (坐标系与参数方程选做题)若 P(2, ?1) 为曲线 ?

? x ? 1 ? 5cos ? ( ? 为参数且 ? y ? 5sin ?
.

0 ? ? ? 2π )的弦的中点,则该弦所在直线的普通方程为

A D B F E C

x ? y ?3 ? 0

模拟卷文科数学试题 第 3 页 共 9 页

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15. (几何证明选讲选做题)如图,在 ?ABC 中, DE ∥ BC ,

DF ∥ AC , AE ︰ AC = 3 ︰ 5 , DE ? 6 ,则 BF =____.

4
第 15 题图

三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, ? ? 0, 0 ? ? ? (1)求 A,? 及 ? 的值;

?

2

)的图象如图所示。

1 ? ,求 f (? ? ) 的值。 3 8 5? ? ? )=?, ∴ =2, 解:(1)由图知 A=2T=2( ? …………4 分 8 8 ? ? ∴ f(x)=2sin(2x+?), 又∵ f ( ) =2sin( +?)=2, 8 4 ? ∴ sin( +?)=1, 4 ? ? ? ∴ +?= ? 2 k? ,?= + 2k? ,(k?Z) 2 4 4 ? ? ∵0 ? ? ? ,∴ = ……6 分 ? 2 4 ? (2)由(1)知:f(x)=2sin(2x+ ) 4 1 2 14 ? ? ∴ f (? ? ) =2sin(2?+ )=2cos2? =4cos2?-2 = 4 ? ( ) ? 2 ? ? 3 9 8 2 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? b , x ? (?1 , 1) , a 、 b ? R 是常数.
(2)若 cos?= ⑴若 a 是从 ? 2 、 ? 1 、 0 、1 、 2 五个数中任取的一个数, b 是从 0 、1 、 2 三个数中任 取的一个数,求函数 y ? f (x) 为奇函数的概率. ⑵若 a 是从区间 [?2 , 2] 中任取的一个数,b 是从区间 [0 , 2] 中任取的一个数,求函数

y ? f (x) 有零点的概率.
解:函数 f ( x) ? ax ? b , x ? [?1 , 1] 为奇函数,当且仅当 ?x ? [?1 , 1] ,

f (? x) ? ? f ( x) ??1 分,即 b ? 0 ????2 分,
基本事件共 15 个:(?2 , 0) 、(?2 , 1) 、(?2 , 2) 、(?1 , 0) 、(?1 , 1) 、(?1 , 2) 、(0 , 0) 、
模拟卷文科数学试题 第 4 页 共 9 页

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(0 , 1) 、 (0 , 2) 、 (1 , 0) 、 (1 , 1) 、 (1 , 2) 、 (2 , 0) 、 (2 , 1) 、 (2 , 2) ,
其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值????4 分, 事件 A ,即“函数 f ( x) ? ax ? b , x ? [?1 , 1] 有零点”包含的基本事件有 5 个:(?2 , 0) 、

(?1 , 0) 、 (0 , 0) 、 (1 , 0) 、 (2 , 0) ????6 分,
事件 A 发生的概率为 P( A) ?

5 1 ? ???7 分. 15 3

⑵试验的全部结果所构成的区域为 ?(a , b) | ?2 ? a ? 2 , 0 ? b ? 2?????8 分, 区域面积为 4 ? 2 ? 8 ??9 分, 构成事件 A 的区域为

?(a , b) | a ? b ? 0?? ?(a , b) | ?2 ? a ? 2 ,
? ?

0 ? b ? 2 , a ? 0且(a ? b)(b ? a) ? 0?10 分,
b ? ? 1? 11 分, a ?

即 ?(a , b) | a ? b ? 0? ? ?(a , b) | ?2 ? a ? 2 , 0 ? b ? 2 , a ? 0且 ? 1 ? 区域面积为

1 ? 4 ? 2 ? 4 ??12 分, 2 4 1 ? ??14 分. 8 2

事件 A 发生的概率为 P ( A) ? 18. (本小题满分 14 分)

已知三点 P(5, 2), F (?6,0), F2 (6,0) 1 (I)求以 F 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; 1 (Ⅱ)设点 P , F , F2 关于直线 y ? x 的对称点分别为 P ', F1 ', F2 ' ,求以 F1 ', F2 ' 为焦 1 点且过点 P ' 的双曲线的标准方程。

x2 y 2 解: (I)设所求椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , a b
则半焦距 c ? 6 。 ?????2 分

2 2 2 2 依椭圆定义: 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? 11 ? 2 ? 1 ? 2 ? 6 5 ,故 a ? 3 5 ,

所以

b2 ? a2 ? c2 ? 3 5 )2 ? 62 ? 9 (

?????5 分

模拟卷文科数学试题 第 5 页 共 9 页

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x2 y 2 ? ?1 故所求椭圆的标准方程为 45 9
(Ⅱ)点 P(5, 2), F (?6,0), F2 (6,0) 关于直线 y ? x 的对称点分别为 1 点 P '(2,5),

?????6 分

F1 '(0, ?6) , F2 '(0,6)

?????9 分

y 2 x2 设所求双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) a1 b1
由题意知,半焦距 c1 ? 6

?????10 分

2a1 ? P ' F1 ' ? P ' F2 ' ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5

?a1 ? 2 5,

b12 ? c12 ? a12 ? 36 ? 20 ? 16
y 2 x2 ? ?1 20 16

?????13 分

故所求双曲线的标准方程为 19. (本小题满分 14 分)

?????14 分

一个棱柱的直观图和三视图(主视图和俯视图是边长为 a 的正方形,左视图是直角边 长为 a 的等腰三角形)如图所示,其中 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点, G 是 DF 上的 一动点. (Ⅰ)求证: GN ? AC; (Ⅱ)求三棱锥 F ? MCE 的体积;

(Ⅲ)当 FG ? GD 时,证明 AG / / 平面 FMC .

a
主视图 侧视图

F

E

G
D

a

a
俯视图

N
M
B

C

A

(Ⅰ)由三视图可知,多面体是直三棱柱,两底面是直角边长为 a 的等腰直角三角形, 侧面 ABCD , CDFE 是边长为 a 的正方形. ???????????????2 分
模拟卷文科数学试题 第 6 页 共 9 页

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连结 DN , 因为 FD ? CD, FD ? AD , 所以, FD ? 面 ABCD FD ? AC 又 AC ? DN , 所以,AC ? 面 GND , GN ? 面 GND (Ⅱ) VE ?FMC ? VADF ? BCE ? VF ? AMCD ? VE ?MBC 所以 GN ? AC ??5 分

F

E

1 1 G ? S?BCE ? CD ? FD ? S AMCD ? EC ? S ?MBC 3 3 1 1 1 a 1 1 a D ? a ? a ? a ? ? ( ? a) ? a ? a ? ? ? ? a ? a N 2 3 2 2 3 2 2 1 3 A M = a . ?????????9 分 6 1 1 1 1 3 另解: VE ? FMC ? VM ?CEF ? AD ? S ?CEF ? ? a ? a ? a ? a 3 3 2 6
(Ⅲ)连结 DE 交 FC 于 Q ,连结 QG 因为 G, Q, M 分别是 FD, FC , AB 的中点,所以 GQ //

Q

C
B

1 CD , 2

1 AM // CD ,所以, AM // GQ , AMGQ 是平行四边形?????????12 分 2
AG ∥ QM , AG ? 面 FMC , MQ ? 面 FMC
所以, AG //平面 FMC . ??????????????????????14 分

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? kx ?

k ? 3 ln x 。 x

(1) 当 k=2 时,求函数 f (x) 的最小值。 (2) 若函数 f (x) 在 x ? ?2, e?上单调递增,求实数 k 的取值范围。 解析: (1)当 k=2 时, f ( x) ? 2 x ?

2 ? 3 ln x ,函数 f (x) 的定义域为 ?0,??? 。 x

f ' ( x) ? 2 ?

1 2 3 2 x 2 ? 3x ? 2 ? ? ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 2, x ? ? (负舍) 2 2 2 x x x

∴当 x ? (0,2) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 在 x ? (0,2) 单调递减;

模拟卷文科数学试题 第 7 页 共 9 页

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当 x ? (2,??) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 在 x ? (2,??) 单调递增, 所以 f (x) 在 x ? 2 处取得极小值也就是最小值 f (2) ? 5 ? 3 ln 2 。

k 3 ? , f (x) 在 x ? ?2, e?上单调递增, x2 x k 3 则 f ' ( x) ? k ? 2 ? ? 0 在 x ? ?2, e?上恒成立。 x x
(2) f ' ( x) ? k ? 即

kx 2 ? 3x ? k ? 0 在 x ? ?2, e?上恒成立, kx 2 ? 3x ? k ? 0 在 x ? ?2, e?上恒成立, 2 x
3x 在 x ? ?2, e?上恒成立。 x ?1
2

k?

令 g ( x) ?

3x ? 3 ? 3x 2 ,∵ g ' ( x) ? ? 0 在 x ? ?2, e?上恒成立, 2 x2 ?1 x2 ?1

?

?

∴ g (x) 在 x ? ?2, e?上单调递减。g ( x) max ? g (2) ? 2 。 k ? 要 则 k ? 2 。∴ k 的取值范围是 ?2,??? 。 21. (本小题满分 14 分) 2. 已知数列 {an } 和 {bn } 满足:a1 ? 1 ,a2 ? 2 ,an ? 0 ,bn ? 是以 q 为公比的等比数列. (I)证明: an?2 ? an q2 ; (II)若 cn ? a2n ?1 ? 2a2n ,证明数列 {cn } 是等比数列; (III)求和:

3x 在 x ? ?2, e?上恒成立, x ?1
2

, an an ?1 ( n ? N * ) 且 {bn }

1 1 1 1 1 1 . ? ? ? ??? ? a1 a2 a3 a4 a2 n?1 a2 n
a a a bn ?1 ? q ,有 n ?1 n ? 2 ? n ? 2 ? q , an bn an an ?1

解析: (I)证:由

∴ an?2 ? an q2 (n ?N*) .
(II)证:? an ? qn?2q ,?a2n?1 ? a2n?3q ? ? ? a1q
2 2 2 n ?2



模拟卷文科数学试题 第 8 页 共 9 页

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a2n ? a2n?2q2 ? ? ? a2qn?2 , ?cn ? a2n?1 ? 2a2n ? a1q2n?2 ? 2a2q2n?2 ? (a1 ? 2a2 )q2n?2 ? 5q2n?2 .

??cn ? 是首项为 5,以 q2 为公比的等比数列.
(III)由(II)得

1 a2 n?1

?

1 1 2?2 n 1 2? 2 n , 2n ? 2 q , q a a a1

于是

1 1 1 ?1 1 1 ? ?1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? a1 a2 a2 n ? a1 a3 a2 n ?1 ? ? a2 a4 a2 n ?
? 1? 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ?2 ? a1 ? q q q q ? a2 ? q q ?

3? 1 1 1 ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? . 2? q q q ?
当 q ? 1 时, 当 q ? 1 时,

1 1 1 3? 1 1 1 ? 3 ? ??? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? ? n . a1 a2 a2 n 2 ? q q q ? 2

1 1 1 3? 1 1 1 ? 3 ? 1 ? q ?2 n ? 3 ? q 2 n ? 1 ? ? ? 2n?2 2 ? ??? ? ?1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? ? ? ?. ?2 ? a1 a2 a2 n 2 ? q q q ? 2 ? 1 ? q ? 2 ? q ( q ? 1) ?

?3 q ? 1, ? n, 1 1 1 ?2 故 ? ?? ? ?? 2n a1 a2 a2 n ? ? ? q ? 1 ? ,q ? 1. ? ? ? q 2 n ? 2 (q 2 ? 1) ? ? ? ?

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