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2015年高考山东理科数学第21题解法研究及推广

时间:2015-10-18


霓  I  僦   皤  蹙  焉 乏   恶翳  9  

中学 数学 杂志

2 0 1 5年 第 7期 

2 0 1 5 年高考山东理科数学第 2 1 题解法研究及推广 
陕西省 成 阳市教 育局教 育教 学研 究 室  7 1 2 0 0 0   刘聪 胜 

陕 西 省 成 阳 市 乾 县 杨 汉 中 学 
题目   设函数l 厂 (  ) = I n (  +1 )+ n (   。 一  ) , 其中  
0 ∈ R.  

7 1 3 3 0 0  

汪仁 林 

感不言而喻. 考 题标 准解 答技 巧性 强 , 略显 突 兀 , 学生 

普遍反映能看懂但 想不到 , 而且 将 问题 转化 为含 参数 
的 函数求最值 , 分类 目标不 明确 , 较 难处理. 本文 提供 

(I ) 讨论 函数  ) 极 值点的个数 , 并说 明理由 ;   ( 1 1 )   若V   >0   )≥0 成立 , 求 0的取值范 嗣.  
1   对 题 目解 法 的探 究 

的解法的优点是 : 分 类讨 论 目标非 常 明确 , 思路 清晰 ;   将 问题转化为不含参数 的函数求最值 , 非 常方 便 ; 通过  分离参数 、 构造 函数 、 二次 求导 , 再 借助 洛 比达法 则使  问题轻松获解 , 容 易理解和 掌握. 可操作性 强 , 深 受学 
生青睐 1  

解  (I) 略.  

(1 I )由题设知 , V   >0  
一  

) =l n (   +1 )+a ( x -  ̄  

)≥ 0 恒 成 立  专 口 (   一  )≥ 一I n (   +1 )   (   ) 对 

V   > 0恒 成 立.  

2   方 法 的 推 广 

① 当   一   =0 , 即  m - - 1 时, (   ) 式显然恒成立 ,  
此时 , 。 ∈ R;  

上述解法不失一般性 , 对于 “ 已知不 等式 o? l 厂 (  )  

≤g (  ) 对 V   ∈R恒成立 , 求实数 。的取值 范围. ”的  题型均适合.   常规解 法  构造 函数 h (  )=   )一g (  )即  
h (  )≤0 对 V   ∈R恒成立 , 则只需 h (  ) … ≤0 即可 ,  

② 当 。 一   >0 , 即   >1 时, (   )式可化 为 n≥  
二  恒成立 , 令g (  ) :二  ,  >1 , 则 

≥g (  ) …. 因 为 

g   c  = 一 兰   - = 一   — 二 —  - _  

, 令  

问题转化为求 函数 h (  )的最大值.   点评  此类解法 的缺点是 : 求 函数 h (  ) 的最大值  时, 因为函数 h (  ) 含参数 。 , 往往要对参数 。进行分类  讨论 , 且如 何分类 目标不 明 确 , 较 麻烦 , 对 学生 的逻 辑  思 维能力要求较 高 , 会使 大多数 学生无从 下手.   优美解法  不等式 n? _ 厂 (  ) ≤g (  ) 对V   ∈R恒  成立 , 可对  )进行讨论 如下 :  

h (  ) =   一   一( 2 x一1 ) (   +1 ) i n (   +1 ) , 贝 0   g   (  ) 与 

h (  )异号. 而h   (  ) = 一( 2  +1 ) I n (  +1 )<0 , 所 以函  数h (  ) 在( 1 ,+∞)上 递减 , 所以h (  )< h ( 1 ) = 一  

2 1 n 2<0 , 所以g   (  )>0在( 1 , +∞ ) 上恒成立 , 所 以  函数 g (  ) 在( 1 ,十∞) . 上递增 , 所 以 
1  

① 当- 厂 (  )>0 时, 原不等式可化为 : 。≤  
J   ,  

对 

g(   一- - - ,   l   i a r 十  
+ 

二 
一 

=   l i a r


=0 ( 洛必达 
一 l  

∈{  I f (   )>o t 时恒成立, 令  (  ) =  
1\x  

, 则只需 o  

+   一 

法则 ) , 所以 0≥ 0 ;  

≤  (  )   此时问题转化为 当  ∈ {  l 八 )>0 } 时,  
求函数  (  )的最小值 ;   ② 当  )<0时 , 原不 等式可化 为 : 。≥  
J  

③ 当  一   <0 , 即 0<   <1 时, (   )式可化为 
。≤二  恒成立 , 令 (   ) : 二 


0 <  

对 

<1 , 则 0≤  (  ) …. 由② 知, ( b   (  )>0 在( 0 , 1 ) 上恒 
成立 , 所 以函数  (  )在 ( 0 , 1 )上递增 , 所以 
l  

∈{  【 , (   )<0 } 时恒成立 , 则只需 。≥  (   )  , 此时  问题转化为 当   ∈{  l _ 厂 (  )<0 } 时, 求 函数  (  )的 
最大值 ;   ③ 当厂 (  ) =0时 , 原不等式可化为 : 0≤ g (  ) , 对 

咖 (  

一l   i   a二   r
—  

:  
Z- X 
J  

-1 ( 洛必达法 

{  J l 厂 (  ) =0 } 时, 不等式 0≤g (  ) 显然恒成立 , 此 时 
∈ R.  

则) , 所 以 0≤ 1 .  

因为 (   )式对 V   >0 恒成 立. 所以① ② ③ 求 出   的 。的范 围再 求交 集 即为答 案. 所以 6 / , 的取 值范 围是 
[ 0 , 1 ] .   评析  对 比考题标准答案 可知 , 此种解法 的优越 

因为不等式 。? l 厂 (  )≤g (  )要求  )>0  

)  

<0   厂 (  ) =0同时恒成立 , 所 以 ① ② ③ 求 出的 。的范 
围再求交集 即为答案.   点评  本 解 法 的优 点是 : 分 类讨 论 目标 非常 明 

中学 数学 杂 志

2 0 1 5年第 7期 

嚣锨 交 般  

投 为  ' % %罨 %  琵%9  

确, 思路清晰 ; 将 问题 转化 为不 含参 数 的 函数求 最值 ,  

( 2 ) 若  ≥一2时 (   )≤ k? g (  ) , 求| j } 的取值范 
围.  

非常方便 ; 通过分 离参 数 、 构造 函数 、 二次求 导 , 再借助  洛 比达法则使 问题轻松获解 , 容易理解 和掌握. 可操作  性强 , 值得推广.  
3   方法的进一步巩 固 

4 . ( 2 0 1 2 年高考天津理科第 2 0 题) 已知 函数 厂 (  ) =  


I n (   +0 )的最小值为 0 , 其 中 a> 0 .   (I) 求 。的值 ; ( Ⅱ) 若对任意 的  ∈ [ 0 , +∞) ,  

此类含参数 不等式恒成立 的高考压轴题 在近几年  频频 出现 , 限于篇 幅 , 请读者 自己用本文方法 尝试 解答 
下列 高考题 . 以期领会 方法的本质 1   1 . ( 2 0 1 4年 陕 西 高 考理 科 数 学 第 2 1 题 )设 函数 

有  )≤ k x   成立 , 求实 数 k 的最小值.   5 . ( 2 0 1 1 年高考全 国课标卷数学 理科第 2 1 题)  
已知 函数  ) :  
咒 T   1 

+一 b


曲线 y=   ) 在点( 1 ,  



) =I n ( 1+  ) , g (  )=矿 (  ) ,  ≥0 , 其 中厂(  )是  厂 ( x )的导函数 .  
(I)令 g   (  )=g (  ) , g   +   (  )=g ( g   (  ) ) ,   ∈  

1 ) ) 处 的切线 方程 为  +2 y一3=0 . ( 1 ) 求n , b 的值 ;   ( 2 ) 如果 当  >0 且  ≠ l 时 
的取值范 围.  

)>  
一 j  

+   , 求k  

N; , 求g   (  )的表达式 ;  

( I I ) 若  )≥ a g (   )恒成 立 , 求实数 。的取值范 
围;  

参 考答 案 : 1 ~ ∈( 一∞ , 1 ] ; 2 . b   =2 ; 3 . k∈ [ 1 ,  
1  

e   ] ; 4 . k   i   = ÷; 5 .   ∈( 一。 。 , 0 ] .  
二 

2 . ( 2 0 1 4年新课标 Ⅱ理科数学 第 2 1 题 )已知 函数  l 厂 (  ) =e  一e 一 一2 x .   (I) 讨论 l 厂 (  )的单调性 ;   ( Ⅱ) 设g (  ) = f C 2 x )一4 b f (  ) , 当 ∞>0时 , g (  )   >0 , 求 b的最大值.   3 . ( 2 0 1 3年高考数学全 国课标 I卷理科第 2 2 题)   已知函数 - 厂 (  ) =   +口  +b , g ( x ) =e   ( c  - - I d ) , 若  曲线 Y= , (  )和曲线 Y= g (  )都过点 P( 0 , 2 ) , 且在点  P处有相 同的切线 Y=4 x+2 .  

作者 简介  刘聪 胜 , 男, 陕 西 旬阳人 , 中学数 学特 级教 
师, 陕 西省跨世 纪三五人 才. 成阳市教 育教 学研 究 室副主任 、  

教 育学会 副会长兼秘 书长、 数 学学会 副理事 长. 发表 论 文 6 0  
余篇 , 主编教辅 用书三十 余本 , 主持 教 育教 学研 究课 题 十余 

项, 其 中两项获 陕西省教 育厅基 础教 育科研 成 果一等 奖 , 三 
项 分 获二 、 三 等 奖.  

汪仁 林 , 男, 中学一级教 师. 全 国新青 年数 学教 师工作 室  成 员, 主要从 事数 学教 育与 高考试题研 究, 发表 文 章 1 0 0余  篇, 参 编教 育专著 5本.  

( 1 ) 求a , b , c , d的值.  

2 0 1   5年 高 考 山东卷 文 科 第 1   9 题 解 法探 析 
湖 北省 广水 市 第一 高级 中学
题目  ( 2 0 1 5年 高考 山 东卷文 1 9 )已知数列 { 口   }  

4 3 2 7 0 0  

聂 文喜 

4 S  =1? 4  +2? 4 ’+3? 4  +… +  ? 4   十 1   ② 

是 首 项 为 正 数 的 等 差 数 列 , 数 列 { L _   a l 的 前   项 和 为  


① 一② 得 一3 S   =4+4  +… +4  一n? 4   =  
一  

an +1   J  

n 



所以 s  :  

.  



 
( 1 ) 求数列 { a   } 的通项公式 ;   ( 2 )设 b   =( a  +1 )? 2  , 求数 列 { b   } 的前 n 项和.  
解  ( 1 ) a  =2 n一 1 .  

拓展 1   若数列 { o   } 是 等差数 列 , 公差 为 d≠ 0 ,  
数列 { b   } 是等 比数列 , 公 比 q≠ 1 , 则数列 { a n b   }前 n   项和 s   可用错位相减 法求解 : 令S   = a f b 。 +a z b 2 + a 3 b ,  
+ … + a


( 2 ) 分析 1  b  =2 n? 2 。   =n? 4   , 令c  =n , d   =  

b   , 贝 0   q S   =a l b 2 +a 2 b 3+a z b 4 +… +a n b   + l ,  

4   , 则数列 { 6   } 是 由等差数列 { C   } 与等比数列 { d   }的  乘积构成 的新数 列 { c n d   }的求和 问题 , 我们 不妨把 这  类数列称为“ 差 比型 ” 数列 , 求“ 差 比型 ” 数列 的常规解 
法是错位相减 法.  

所 以( 1一q ) S  =0 l b 1 +( d b 2 +d 6 3 +? ? ‘ +d 6   )一  
a n b   + l   aI b l   上 

d b 2 ( 1一q   )  
一  





1一q  

b   ,所 以 S  =  

a】 b l— a n b   + 】  
1一 g  

d b   ( 1一g  )  

+ 

解法 1 ( 错 位相减法 )   S  :1? 4+2? 4 。+3? 4  +… - t -  ? 4  

① 

分析2   用“ 错位相减法 ” 求“ 差 比型” 数列 的前 r t  
59  


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