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江西省红色七校2016届高三第一次联考文科数学答案

时间:2015-12-13


江西省红色七校 2016 届高三第一次联考文科数学试题 参考答案
选择题:1-12:BBCBC;ADDAC;DA 填空题:13. 3 ? 4i 14.

又?b2 ? c2 ? a2 ,?c ? 1, b ? 1
故所求椭圆方程

1? 3

15.

3 5

x2 ? y2 ? 1 2

16. [0,1]

(2)当直线 l 斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? m 代入椭圆方程得

解答题: 17, (1)解:从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的学校数目为 3,2,1. ( 2 )解:在抽取到的 6 名教师中,3 名初级教师分别记为 A1,A2,A3,2 名中级教师分别记为 A4, A5,高级教师记为 A6,则抽取 2 名教师的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5}, {A4,A6},{A5,A6},共 15 种. 从 6 名教师中抽取的 2 名教师均为初级教师(记为事件 B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3}, 3 1 {A2,A3},共 3 种.所以 P(B)= = . 15 5 18,解:(1)由 m∥n,得(2b-c)cos A-acos C=0, ∴(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0, 2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin(π-B)=sin B. 1 π 在锐角三角形 ABC 中,sin B>0,∴cos A= ,故 A= . 2 3 π (2)在锐角三角形 ABC 中,A= , 3 π π π 1 3 ? 故 <B< .∴y=2sin2B+cos? ?3-2B?=1-cos 2B+2cos 2B+ 2 sin 2B 6 2 π? π 3 1 π π π 5π =1+ sin 2B- cos 2B=1+sin? ?2B-6?.∵6<B<2,∴6<2B-6< 6 . 2 2 π π 3 1 3 2B- ?≤1, <y≤2.∴函数 y=2sin2B+cos? -2B?的值域为? ,2?. ∴ <sin? 6 3 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 19,(1)证明 在菱形 ABCD 中,记 AC,BD 的交点为 O,AD=5,∴OA=4,OD=3,翻折后变成三棱 9 2 2 2 锥 A-BCD,在△ACD 中,AC =AD +CD -2AD·CD·cos ∠ADC=25+25-2×5×5× =32, 25 在△AOC 中,OA +OC =32=AC ,∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC, 又 AO⊥BD,OC∩BD=O,∴AO⊥平面 BCD,又 AO?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 CBD. (2) ? M 是
2 2 2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0
? ? ? 0 ? m2 ? 2k 2 ? 1
假设存在 M1 (?1 ,0), M 2 (?2 ,0)满足题设

d1d 2 ?

| (?1k ? m)(?2 k ? m) | | (?1?2 ? 2)k 2 ? (?1 ? ?2 )km ? 1| ? ? 1 对任意 k 恒成立 k 2 ?1 k 2 ?1

?1?2 ? 2 ? 1, ?1 ? ?2 ? 0

?1 ? ?1, ?2 ? 1或?1 ? 1, ?2 ? ?1
当直线 l 斜率不存在时,经检验符合题意 综上可知存在两个定点 M1 (?1,0), M 2 (1,0), 使它们到直线距离之积等于 1. 21,解:(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=a>0. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x a (-∞,-1) -1 (-1,a) (a,+∞) f′(x) 0 0 + - + f(x) 极大值 极小值 ? ? ? 故函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a). (2)由(1)知 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数 f(x)在区间(- f(-2)<0, ? ? 2,0)内恰有两个零点当且仅当?f(-1)>0, ? ?f(0)<0, 1? 1 解得 0<a< .所以,a 的取值范围是? ?0,3?. 3

AB 的 中 点 , 所 以 A, B 到 平 面 MCD 的 距 离 相 等 ,

1 1 1 ?VA? MCD ? VB ? MCD ? VA? BCD ? ? S?BCD ? AO ? 8 2 2 3
20,解(1)因为 F (c,0), A(0, b), 由题设可知FA? FP ? 0 得 c ?
2

??? ? ??? ?

4 1 c ? b2 ? 0 3 3

? P在椭圆上 ,

16 b2 ? ? 1可得a 2 ? 2 2 2 9a 9b
1

1 (3)a=1 时,f(x)= x3-x-1.由(1)知 f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2] 3 上单调递增.①当 k∈[-3,-2]时,k+3∈[0,1],-1∈[k,k+3],f(x)在[k,-1]上单调递增,在[- 1 1,k+3]上单调递减.因此,f(x)在[k,k+3]上的最大值 M(k)=f(-1)=- ,而最小值 m(k)为 f(k)与 3 f(k+3)中的较小者.由 f(k+3)-f(k)=3(k+1)(k+2)知,当 k∈[-3,-2]时,f(k)≤f(k+3),故 m(k) 5 =f(k),所以 g(k)=f(-1)-f(k).而 f(k)在[-3,-2]上单调递增,因此 f(k)≤f(-2)=- ,所以 g(k) 3 5 4 1 - ?= . 在[-3,-2]上的最小值为 g(-2)=- -? 3 ? 3? 3 ②当 k∈[-2,-1]时,k+3∈[1,2],且-1,1∈[k,k+3].

下面比较 f(-1),f(1),f(k),f(k+3)的大小.由 f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有 f(- 5 1 2)≤f(k)≤f(-1),f(1)≤f(k+3)≤f(2).又 f(1)=f(-2)=- ,f(-1)=f(2)=- ,从而 M(k)=f(-1)= 3 3 1 5 4 4 - ,m(k)=f(1)=- .所以 g(k)=M(k)-m(k)= .综上,函数 g(k)在区间[-3,-1]上的最小值为 . 3 3 3 3 22. (本小题满分 10 分) 【解析】 : (I)先证 ?C?D ? ???D ,再证 ?D?? ? ???D ,进而可证 ?C?D ? ?D?? ; (II)先由(I) 知 ?D 平分 ?C?? ,进而可得 ?D 的值,再利用切割线定 理可得 ?? 的值,进而可得 ? ? 的直径. 试题解析: (I)因为 DE 为圆 O 的直径,则 ?BED ? ?EDB ? 90 ,
?

所以 f ( x ) ≥2.

f (3) ? 3 ?
(Ⅱ)

1 ? 3? a a 5 ? 21 2 。

1 当时 a>3 时, f (3) ? a ? ,由 f (3) <5 得 3<a< a
当 0<a≤3 时, f (3) =

B

6?a?

1 1? 5 f (3) a ,由 <5 得 2 <a≤3.

又 BC ? DE,所以 ? CBD+ ? EDB=90°,从而 ? CBD= ? BED. 又 AB 切圆 O 于点 B,得 ? DAB= ? BED,所以 ? CBD= ? DBA. (II)由(I)知 BD 平分 ? CBA,则

E

O

C

D

A

1 ? 5 5 ? 21 2 综上,a 的取值范围是( 2 , ).

BA AD = = 3 ,又 BC = 2 ,从而 BC CD

AB = 3 2 ,
所以 AC =

AB2 - BC 2 = 4 ,所以 AD=3 .
2

由切割线定理得 AB =AD ×AE ,即 AE = 故 DE=AE-AD=3,即圆 O 的直径为 3. 23. (本小题满分 10 分)解:

AB 2 =6, AD

(1)消去参数 t 得,圆的普通方程为 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 9 ,
2 2

由 2 ? sin(? ?

?
4

) ? m ,得 ? sin ? ? ? cos? ? m ? 0

所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? m ? 0 . (2)依题意,圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,即

|1 ? ? ?2 ? ? m | 2

? 2 ,解得 m ? ?3 ? 2 2

24. (本小题满分 10 分)解:

1 1 1 (I)由 a ? 0 ,有 f ( x) ? x ? ? x ? a ? x ? ? ( x ? a) ? ? a ? 2 . a a a
2


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