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安徽省“江淮十校”2015届高三4月联考数学(文)试题及答案(WORD)

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2015 届(安徽省)“江淮十校”高三 4 月联考 数学(文科)
一,选择题 1,已知集合 A={x∈Z | -1≤x≤2},集合 B={y | y= A.{-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1,2}

?x 1 } ,则 A∩B= 2 2 D. ?

2,已知 f(x)=x3-1,设 i 是虚数单位,则复数 A.-1 B.1 C.i

f (i ) 的虚部为 i

D.0 1 3,若点 M 在△ABC 的边 AB 上,且 AM ? MB ,则 CM ? 2 1 1 1 2 2 1 A. CA ? CB B. 2CA ? CB C. CA ? CB D. CA ? CB 2 2 3 3 3 3 2 2 4, 双曲线 C 的实轴和虚轴分别是双曲线 16x -9y =144 的虚轴和 实轴,则 C 的离心率为 25 5 5 25 A. B. C. D. 3 4 16 9 5,某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 12π +15 B. 13π +12 C. 18π +12 D. 21π +15
? 0? x?3 ? 6,若 P(x,y)∈ ? 0 ? y ? 4 则事件 P(x,y)∈{(x,y)| (x-1)2+(y-1)2≤1}的概率是 ? 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ?

? ? 1 ? B. C. D. 12 2 6 4 7,某同学在社会实践中,为了测量一湖泊两侧 A、B 间的距离,某同学 首先选定 了与 A、 B 不共线的一点 C, 然后给出了四种测量方案 (△ABC 的内角 A、 B、C 所对的边分别记为 a、b、c): ①测量 A、C、b ②测量 a、b、C ③测量 A、B、a ④测量 a、b、B 则一定能确定 A、B 间距离的所有方 案的序号为 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 8,执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数:y=lnx-x、y=tanx-x、
A. y=-2 、y=-x A.y=lnx-x
x


1

,则输出的函数为
x

B. y=tanx-x C. y= -2

D. y=-x



1

3 x 9, 二次函数 f(x)的图像经过点 (0, ) , 且 f ’(x)= -x -1,则不等式 f(10 )>0 2 的解集为 1 A. (-3,1) B.( -lg3 , 0) C.( , 1 ) D. (-∞, 0 ) 1000
10,已知向量 a、b 的夹角为θ ,|a+b|=2,则θ 的取值范围是 A.

?

6

?? ?

?

2

B.

?

3

?? ?

?

2

C. 0 ? ? ?

?

3

D. 0 ? ? ?

2? 3

二、填空题 11,已知角α 的顶点在坐原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆的交点为 A ? x , 4 ? ,则
? ?
0

? 5?

?? ? sin ?2 ? ? ? = 2? ?

(用数值表示)

12,某脑科研究机构对高中学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得到下表数据 X y 6 2 8 3 10 5 12 6

由散点图可以看出 x 与 y 具有线性关系,若回归直线方程为 y ? bx ? 2.3 ,则 b = 13,函数 f(x)=e +x(x∈R)可表示为奇函数 h(x)与偶函数 g(x)的和,则 g(0)= 14,将正整数 1,2,3,??,n,??,排成数表如图所示,即第一行 3 个数,第二行 6 个数,且后一 行比前一行多 3 个数,若第 i 行、第 j 列的数可用(i,j)表示,则 2015 可表示为 第1列 第1行 第2行 第3行 ? ? 15,函数 f(x)上任意一点 A(x1,y1)处的切线 l1,在其图像上总存在异与点 A 的点 B(x2,y2),使得在点 B 处的切线 l2 满足 l1// l2,则称函数具有“自平行性”,下列有关函数 f(x)的命题: ①函数 f(x)=sinx+1 具有“自平行性” ②函数 f(x)=x3(-1≤x≤2)具有“自平行性” 1
源:Z+xx+k.Com]

x

第2列 2 8 11

第3列 3 7 12

第4列

第5列

第6列

第7列

第8列 ?

?

[



9 10

6 13

5 14

4 15 16 17 ? ?

? e x ? 1? x ? 0 ? ? ③函数 f(x)= ? 1 具有“自平行性”的充要条件为函数 m=1; ?x ? ? x ? m? x ?
④ 奇函数 y= f(x) (x≠0)不一定具有“自平行性”
其中所有叙述正确的命题的序号是 三 、解答题 16.(12 分)

⑤偶函数 y= f(x)具有“自平行性”

[来源:学+科+网]

已知向量 m=( 3 sinx, sinx),n=(cosx, -sinx),且 f(x)=2m·n+2。 (I) (II) 求函数 f(x)的最大值,并求此时 x 的取值; 函数 f(x)图像与 y 轴的交点、y 轴右侧第一个最低点、与 x 轴的第二个交点分别记为 P、 Q、R,求 QP QR 的值。 n kn ?

?

17,(12 分) 已知等差数列{an}的公差不为零,a1 = 3,且 a1,a2,a4 成等比数列. (I)求{an}的通项公式; (II)数列{ akn }是以 a1 为首项,3 为公比的等比数列,求数列 n kn ? 的前 n 项和 Sn

?

18,(12 分) 某校在寒假 放假之前举行主题为“珍惜生命,安全出行”的“交通与安全”知识宣传与 竞赛活动,为了了解本次活动举办效果,从全校学生的答卷中抽取了部分学生的答卷成 绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容积为 n)进行统计。按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100),的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图 (图中仅列出了得分在[50,60), ??, [90,100)的数据)。

(I)求 n、x、y 的值,并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩; (II)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到市政广场 参加市团委举办的宣传演讲活动,求所抽取的 2 同学来自不同组的频率。
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

19,(13 分) 如图,四棱锥 S—ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,SA=AB=2,点 M 是 SD 的中点,AN⊥SC,且交 SC 于点 N。 (I)求证:SB//平面 ACM; (II)求证:直线 SC⊥平面 AMN; (III) 求几何体 MANCD 的体积。

20.(13 分) x 已知函数 f(x)=e -mx-n(m、n∈R) (I) 若函数 f(x)在 x=0 处的切线过点(1,0),求 m+n 的值; (II) 当 n=0 时,讨论函数 f(x)在区间[-1, ∞)的单调性,并求最值。

21,(13 分) 已知椭圆 E:

x2 y 2 2 2 ? 2 ?1 (a>b>0) 的一焦点 F 在抛物线 y2=4x 的准线上, 且点 M (1,? ) ? 2 a b 2 2

在椭圆上 (I)求椭圆 E 的方程; (II)过直线 x= -2 上一点 P 作椭圆 E 的切线,切点为 Q,证明:PF⊥QF。

文科数学答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 答 案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 C 6 A 1 4 7 A 8 B 9 D 1 0 C

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分). 题 1 11 12 号 3 答 案
[来 源:Zxxk.Com]

15 ① ③④

7 25

0.7

1

? 37,17 ?

⒖【答案】①③④. 【解析】 函数 f ( x) 具有 “自平行性” , 即对定义域内的任意自变量 x1 , 总存在 x2 ? x1 , 使得 f ? ? x2 ? ? f ? ? x1 ? . 对于①, f ?( x) ? cos x ,满足条件,故①正确;对于②, f ?( x) ? 3x 2 ? ?1 ? x ? 2 ? ,对任意 x1 ? ?1, 2? ,不 存在 x2 ? x1 ,使得 f ? ? x2 ? ? f ? ? x1 ? 成立,故②错误;对于③,当 x ? 0 时, f ?( x) ? e x ? ? 0,1? ,而 x ? m 时,
? 1 ?1 ? x 2 ? 0, 1 ? 解得 x ? ?1 (舍去)或 x ? 1 ,则 m ? 1 ,故③正确;对于④, f ?( x) ? 1 ? 2 ? ?0,1? ,则 ? x ?1 ? 1 ? 1, ? ? x2 f ( x) ? x ? x ? 0? 不符合定义,故④正确;对于⑤,同④,其导函数为奇函数,故⑤不正确.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答写在答题 卡上的指定区域内. ⒗(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ? x ? ? 2m ? n ? 2 ? 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x ? 2 ? 3sin 2 x ? ?1 ? cos2 x ? ? 2
? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 ,??????????????????????????4 分 6? ?

故当 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? ,即 x ?

?
6

? k? ? k ? Z ? 时, f ? x ?max ? 3 ;

??????????????6 分

(Ⅱ)由 f ? 0 ? ? 2 ,知 P ? 0, 2 ? . 由 2x ?
?
6 ? 3? 2? ? 2? ? ? 2k? ,得 x ? ? k? ? k ? Z ? ,此时 f ? x ? ? ?1 ,则 Q ? , ?1? .?????????8 分 2 3 3 ? ? ? 2k? ?

而由 2 x ?
uuu r

?
6

?
6

,得 x ? ? ? k? ? k ? Z ? ,则 x ?
6

?

5? 5? ? ? k ? 1? ,故 R ? ? ,0 ? ,????????10 分 6 ? 6 ?

从而 QP ? ? ??

uuu r uuu r uu u r ?? ? 2? ? ?2 2? ? ? ? 3 ?1 ? ? ?3. ,3 ? , QR ? ? ,1? ,因此 QP ? QR ? ? 3 6 9 ?6 ? ? 3 ?

?????????12 分

⒘(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ )设的公差为 d ,由题意, a22 ? a1a4 ,即 ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 3d ? ?????????2 分
2

于是 d (a1-d ) ? 0 因为 d ? 0 ,且 a1 ? 3 ,所以 d ? 3 . ???????????????????4 分 故 an ? 3n . ??????????????????????????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ )知, ak ? 3kn ,???????????????????????6 分 又数列 ?ak ? 是以 a1 为首项, 3 为公比的等比数列,则 ak ? 3 ? 3n ?1 ? 3n , ???7 分
n
n
n

所以 3kn ? 3n ,即 kn ? 3n ?1 . 因此 Sn ? 1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? L ? n ? 3n ?1 ①

?????????????????????8 分

则 3Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? L ? ? n ? 1? ? 3n ?1 ? n ? 3n ② ?????????????????10 分 由①-②得 ?2Sn ? 1 ? 3 ? 32 ? L ? 3n ?1 ? n ? 3n ? 因此 Sn ? ? ? 2n ? 1? 3n .
1 4 1 4

1 ? 3n 1 ? 1? ? n ? 3n ? ? ? ? n ? ? 3n 1? 3 2 ? 2?

??????????????????????????12 分

⒙(本小题满分 12 分)

[来源:学&科&网]

解:(Ⅰ)由题意可知, n ?

8 2 ? 50 , y ? ? 0.004 ,?????????2 分 0.016 ? 10 50 ? 10

x ? 0.1? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.04 ? 0.030 , ???????????????????3 分

平均分约为 X ? 55 ? 0.16 ? 65 ? 0.30 ? 75 ? 0.40 ? 85 ? 0.10 ? 95 ? 0.04 ? 70.6 .????????5 分 (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分别记为 a, b, c, d , e ,分数在[90,100)有 2 人,分别记 为 F, G .从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有如下种情形: , (a,b),, ( a c) ,, (a d ) ,, (a e,, ) (a F,, ) (a G,, ) (b c ,, ) (b d ,, ) (b e ,, ) (b F )

(b,G),, (c d ),, (c e),, (c F ),, (c G), (d,e), (d,F ), (d,G),, (e F ),, (e G),( F,G) , 共 有 21
个等可能基本事件;????????????????????????????????9 分 其中符合“抽取的 2 名同学来自不同组”的基本事件有(a,F), (a,G),(b,F),(b,G),(c,F),(c,G),(d,F),(d,G),(e,F),(e,G),共 10 个,??1 1 分 10 所以抽取的 2 名同学来自不同组的概率 P ? .????????????????????12 分 21 ⒚(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:连结 BD 交 AC 于 E ,连结 ME . Q ABCD 是正方形,∴ E 是 BD 的中点. Q M 是 SD 的中点,∴ ME 是△ DSB 的中位线. ∴ ME // SB . 2分 又∵ ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , ∴ SB // 平面 ACM . 4分 (Ⅱ)证明:由条件有 DC ? SA, DC ? DA, ∴ DC ? 平面 SAD ,∴ AM ? DC. ??????????6 分 又∵ SA ? AD, M 是 SD 的中点,∴ AM ? SD. ∴

AM ?





S

. D

C



SC ? AM . ???????????????????8 分 SC ? AN 由已知 ,∴ SC ? 平面 AMN . ???????????????????9 分
M , D, C , N ? 平面 ACD , 解: (Ⅲ) 几何体 MANCD 为四棱锥 A ? MNCD .由 (Ⅱ) 知 AM 为点 A 到平面 MNCD

的距离.

????????????????????10 分

因为 SA ? AB ? 2 ,则 SD ? 2 2 , SC ? 2 3 , AM ? SM ? 2 . 因为 SC
? 6? 2 3 6 ? 平面 AMN ,则 MN ?SC ,故 MN ? SM ? sin ?MSN ? 2 ? , SN ? 2 ? ? ,因 ? ? ? ? ? 3 3 3 2 3 ? ?

2

2

此 S四边形MNCD = ? 2 ? 2 2 ? ? 则 VA? MNCD ? ?

1 2

1 2

6 2 3 5 2 ,????????????????????12 分 ? ? 3 3 3

1 5 2 10 . ? 2? 3 3 9

????????????????????13 分

⒛(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ )由题意,得 f ?( x ) ? e x ? m , ???????????????????1 分 所以函数 f ( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m , ???????????????????2 分 又 f (0) ? 1 ? n ,所以函数 f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , ?????????4 分 将点 (1,0) 代入,得 m ? n ? 2 . ???????????????????6 分 (Ⅱ)当 n ? 0 时,函数 f ( x) ? e x ? mx 的定义域为 R , f ?( x ) ? e x ? m .因为 x ? ?1 ,所以 e x ? . ①当 m? 值;
1 e 1 1 时 , f ?( x ) ? 0, 函 数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上 单 调 递 增 , 从 而 f ( x)min ? f (?1) ? ? m , 无 最 大 e e 1 e

????? ??????????????9 分

②当 m ? 时,由 f ?( x) ? e x ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ?? ) , 当 x ? ? ?1,ln m ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减;当 x ? (ln m, ?? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. 所以函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上有最小值为 f (ln m) ? m ? m ln m ,无最大值. ??????????12 分 综上知:当 m ? 时,函数 f ( x) 在 ? ?1, ?? ? 上单调递增,有最小值 f (?1) ? ? m ,无最大值; 当 m?
1 时 , 函 数 f ( x) 在 ? ?1,ln m ? 上 单 调 递 减 , 在 (ln m, ??) 上 单 调 递 增 , 有 最 小 值 为 e 1 e

1 e

f ( l nm )? m? m l nm ,无最大值.

???????????????????13 分

21. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ )抛物线 y 2 ? 4 x 的准线为 x ? ?1 ,则 F ? ?1,0 ? ,即 c ? 1 .??????????????2 分 又点 M ? ? 1, ?
? ? 2? 1 1 在椭圆上,则 2 ? ? 1 ,解得 a 2 ? 2 , ? ? 2 ? a 2 a2 ? 1

?

?

??????????????4 分

故求椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????????????? ?5 分 2

(Ⅱ)设 P ? ?2, y0 ? 、 Q ? x1 , y1 ? . 依题意可知切线 PQ 的斜率存在,设为 k ,则 PQ : y ? kx ? m ,并代入到
x2 ? y 2 ? 1 中,整理得: 2

? 2k

2

? 1? x2 ? 4mkx ? 2 ? m2 ? 1? ? 0 ???????????????????????????8 分

因此 ? ? 16m2k 2 ? 8? 2k 2 ? 1?? m2 ? 1? ? 0 ,即 m 2 ? 2k 2 ? 1 .?????????????????9 分 从而 x1 ? ?
2mk 2mk 2 m 2mk m ? , y1 ? ? 2 ? m ? 2 ,则 Q ? ?? 2 , 2 ? ;??????????10 分 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

又 y0 ? ?2k ? m ,则 P ? ?2, ?2k ? m ? , PF ? ?1,2k ? m? , QF ? ? ? 由于 PF ? QF ?
uuu r uuu r

uuu r

uuu r

2mk m ? ? 1, ? 2 ? .???????11 分 2 2k ? 1 ? ? 2k ? 1

uuu r uuu r m ? 2k ? m ? 2mk m2 ? 1 ? ? ? 1 ? 0 ,故 PF ? QF ,即 PF ? QF .??????13 分 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1


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