nbhkdz.com冰点文库

2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第八章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

时间:


第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的 判别式为Δ . 方法 几何法 代数法 位置关系 d<r 相交 Δ >0 相切 d= r Δ =0 d>r 相离 Δ <0 2.圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 2 2 2 圆 O2:(x-a2) +(y-b2) =r2(r2>0). 方法 几何法:圆心距 d 与 代数法: 两圆方程联立组成方程组的解 位置关系 r1,r2 的关系 的情况 外离 d>r1+r2 无解 外切 d=r1+r2 一组实数解 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同的实数解 内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解 [做一做] 1.直线 3x+4y+1=0 与圆(x+2)2+(y-3)2=9 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案:A 2.圆 O1:x2+y2-2x=0 和圆 O2:x2+y2-4y=0 的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 答案:B 1.辨明两个易误点 (1)对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽视切线斜率 k 不存在的情形. (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形. 2.圆的切线问题 (1)过圆 x2+y2=r2(r>0)上一点 M(x0,y0)的切线方程为 x0x+y0y=r2; (2)过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点 M(x0,y0)引切线,有两条,求方 2 程 的 方 法 是 待 定 系 数 法 , 切 点 为 T 的 切 线 长 公 式 为 |MT| = x2 0+y0+Dx0+Ey0+F = |MC|2-r2(其中 C 为圆 C 的圆心,r 为其半径). 3.求圆的弦长的常用方法 l (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则( )2=r2-d2. 2 (2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: 设直线与圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1+k2|x1-x2| = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2].

注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题. [做一做] 3.圆 Q:x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( ) A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 解析:选 D.因点 P 在圆上,且圆心 Q 的坐标为(2,0), - 3 3 ∴kPQ= =- 3,∴切线斜率 k= , 3 2-1 3 ∴切线方程为 y- 3= (x-1), 3 即 x- 3y+2=0. 4.(2014· 高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+ 2 1) =4 截得的弦长为________. 解析:圆心为(2,-1),半径 r=2. |2+2×(-1)-3| 3 5 圆心到直线的距离 d= = , 5 1+4 所以弦长为 2 r2-d2=2 2 55 答案: 5 22-? 3 5?2 2 55 = . 5 ? 5 ?

考点一__直线与圆的位置关系__________________ (1)(2013· 高考陕西卷)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外, 则直线 ax+by =1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 π (2)(2013· 高考湖北卷)已知圆 O:x2+y2=5,直线 l:xcos θ +ysin θ =1?0<θ < ?.设 2? ? 圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k,则 k=________. 直线与圆的位置关系 [解析] (1)因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1,从而圆心 O 到直 |a·0+b· 0-1| 1 线 ax+by=1 的距离 d= = 2 2<1,所以直线与圆相交. 2 2 a +b a +b (2)∵圆心(0, 0)到直线 l 的距离为 1, 又∵圆 O 的半径为 5, 故圆上有 4 个点符合条件. [答案] (1)B (2)4 [规律方法] 判断直线与圆的位置关系常见的方法: (1)几何法:利用 d 与 r 的关系. (2)代数法:联立方程随后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 1.(2015· 山东聊城模拟)圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距 离等于 1 的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 |9+12-11| 解析:选 C.因为圆心到直线的距离为 =2,又 5 因为圆的半径为 3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上

到直线的距离为 1 的点有 3 个. 考点二__圆与圆的位置关系____________________ 已知圆 C1: x2+y2-2mx+4y+m2-5=0, 圆 C2: x2+y2+2x-2my+m2-3=0, m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 外切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含. [解] 对于圆 C1 与圆 C2 的方程,经配方后得 C1:(x-m)2+(y+2)2=9; C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)如果 C1 与 C2 外切,则有 (m+1)2+(-2-m)2=3+2. (m+1)2+(-2-m)2=25. m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2. ∴当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 外切. (2)如果圆 C1 与圆 C2 内含,则有 (m+1)2+(-2-m)2<3-2. (m+1)2+(-2-m)2<1,m2+3m+2<0, 解得-2<m<-1, ∴当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 在本例条件下,求公共弦所在的直线方程. 解:圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,① 圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,② 由②-①得 2x+2mx-2my-4y+2=0, ∴(m+1)x-(m+2)y+1=0. [规律方法] (1)判断两圆的位置关系常用几何法, 即用两圆圆心距与两圆半径和与差之 间的关系,一般不采用代数法. (2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长,只要把两圆方程相减消掉二 次项所得方程就是公共弦所在的直线方程, 再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦 长. 2.(2015· 郑州质检)若⊙O1:x2+y2=5 与⊙O2:(x+m)2+y2=20(m∈R)相交 于 A,B 两点,且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是________. 解析:由两圆在点 A 处的切线互相垂直,可知两切线分别过另一圆的圆心,即 AO1⊥ 2 5× 5 AO2,在直角三角形 AO1O2 中,(2 5)2+( 5)2=m2,∴m=± 5,|AB|=2× =4. 5 答案:4 考点三__圆的切线与弦长(高频考点)____________ 与圆有关的切线及弦长问题,是近年来高考的一个热点,多以选择题、填空题的形式呈 现,试题难度不大,多为中、低档题目. 高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下四个命题角度: (1)求圆的切线方程; (2)求弦长; (3)与切线长有关的问题; (4)由弦长及切线问题求参数. 已知点 P( 2+1,2- 2),点 M(3,1),圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程; (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长. [解] 由题意得圆心 C(1,2),半径长 r=2.

(1)∵( 2+1-1)2+(2- 2-2)2=4,∴点 P 在圆 C 上. 2- 2-2 又 kPC= =-1, 2+1-1 1 ∴切线的斜率 k=- =1. kPC ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y-(2- 2)=1×[x-( 2+1)],即 x-y+1-2 2=0. (2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点 M 在圆 C 外部. 当过点 M 的直线斜率不存在时,直线方程为 x=3, 即 x-3=0. 又点 C(1,2)到直线 x-3=0 的距离 d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线 x=3 是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0, |k-2+1-3k| 则圆心 C 到切线的距离 d= =r=2, k2+1 3 解得 k= . 4 3 ∴切线方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. 4 综上可得,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x-3=0 或 3x-4y-5=0. ∵|MC|= (3-1)2+(1-2)2= 5, ∴过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2-r2= 5-4=1. [规律方法] (1)求过一点的圆的切线方程,首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该 点为切点,切线只有一条;若不在圆上,切线应该有两条,设切线的点斜式方程,用待定系 数法求解,注意,需考虑无斜率的情况. (2)求解与圆的弦长有关的计算问题时,常利用圆的半径 r,弦长 l 与弦心距 d 之间的关 l2 系:r2=d2+ ,一般不用代数法求解. 4 3.(1)(2014· 高考浙江卷)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所 得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 2 2 (2)直线 y=kx+3 与圆(x-2) +(y-3) =4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3,则 k 的取 值范围是( ) 3 3 3 ? A.? B.?- , ? ?-4,0? ? 3 3? 2 - ,0? C.[- 3, 3] D.? ? 3 ? (3)(2015· 济南模拟)已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为________. 解析:(1)由圆的方程 x2+y2+2x-2y+a=0 可得,圆心为(-1,1),半径 r= 2-a.圆 |-1+1+2| 4?2 心到直线 x+y+2=0 的距离为 d= = 2.由 r2=d2+? 得 2-a=2+4, 所以 a ?2? , 2 =-4. (2)如图,设圆心 C(2,3)到直线 y=kx+3 的距离为 d,若|MN|≥2 3, 2 1 |2k|2 3 3 |MN|? ≤4-3=1,即 则 d2=r2-? ≤1,解得- ≤k≤ . ?2 ? 3 3 1+k2 (3)由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0,设圆心坐标为(a,0),则

|a-1| 2 由题意知( ) +2=(a-1)2,解得 a=3 或 a=-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 2 a=3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0,即 m= -3,故所求的直线方程为 x+y-3=0. 答案:(1)B (2)B (3)x+y-3=0

考题溯源——有关弦长问题 (2014· 高考山东卷)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为__________________. [解析] 设圆 C 的圆心为(a, b)(b>0), 由题意得 a=2b>0, 且 a2=( 3)2+b2, 解得 a=2, b=1. ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. [答案] (x-2)2+(y-1)2=4 [考题溯源] 本题源于人教 A 版必修 2 P132 A 组第 6 题“求圆心在直线 3x-y=0 上, 与 x 轴相切,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7的圆的方程.” 1.(2014· 高考福建卷)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 1 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的( ) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选 A.将直线 l 的方程化为一般式得 kx-y+1=0,所以圆 O:x2+y2=1 的圆心到 1 1 2|k| 1 1 2|k| 该直线的距离 d= 2 .又弦长为 2 1- 2 = 2 , 所以 S△OAB= · 2 · 2 2 k +1 k +1 k +1 k +1 k +1 |k| 1 1 = 2 = ,解得 k=± 1.因此可知“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充分而不必要条件, 2 k +1 2 故选 A. 2.(2015· 山西太原五中调研)在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边, π π 若 2ccos(C- )=asin(π -A)-bcos( +B),则圆 M:x2+y2=4 被直线 l:ax-by+c=0 所 2 2 截得的弦长为________. π π 解析:由 2ccos(C- )=asin(π-A)-bcos( +B),化简得 2csin C=asin A+bsin B, 2 2 2 2 2 2 2 由正弦定理,可得 2c =a +b ;圆 M:x +y =4 的圆心为(0,0),半径为 r=2,圆心 M 到 |c| 2 直线 l: ax-by+c=0 的距离为 d= 2 2= , 所以圆 M 被直线 l 所截得的弦长为 2 r2-d2 2 a +b =2 2 2 ) = 14. 2 答案: 14 4-(

1.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆与直线 x- 3y-4=0 相切,则圆 O 的 方程为( ) 2 A.x +y2=4 B.x2+y2=3 C.x2+y2=2 D.x2+y2=1

解析: 选 A.依题意, 圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y-4=0 的距离, 即 r=

4 1+3

=2,得圆 O 的方程为 x2+y2=4. 2.若 a2+b2=2c2(c≠0),则直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=1 所截得的弦长为( ) 1 A. B.1 2 2 C. D. 2 2 |c| |c| 2 解析:选 D.因为圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d= 2 2= = ,因此 2 2|c| a +b 2 2 2 ) = ,所以弦长为 2. 2 2 3.(2014· 高考湖南卷)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m =( ) A.21 B.19 C.9 D.-11 2 解析:选 C.圆 C2 的标准方程为(x-3) +(y-4)2=25-m. 又圆 C1:x2+y2=1,∴|C1C2|=5. 又∵两圆外切,∴5=1+ 25-m,解得 m=9. 4. (2015· 湖南岳阳模拟)若直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b =0 对称,则 k,b 的值分别为( ) 1 1 A. ,-4 B.- ,4 2 2 1 1 C. ,4 D.- ,-4 2 2 2 2 解析: 选 A.因为直线 y=kx 与圆(x-2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称, 所 以 直 线 y = kx 与 直 线 2x + y + b = 0 垂 直 , 且 直 线 2x + y + b = 0 过 圆 心 , 所 以 1 ? ?k=2, 1 ? 解得 k= ,b=-4. 2 ? ?2×2+0+b=0, 5.过点 P(4,1)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的 方程为( ) A.3x-y-4=0 B.3x+y-4=0 C.4x-y-4=0 D.4x+y-4=0 1 解析:选 B.如图所示,A 点的坐标为(1,1),∵AB⊥PC,kPC= , 3 ∴kAB=-3,∴直线 AB 的方程为 y-1=-3(x-1),即 3x+y-4 =0. 6.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直 线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________. 解析:因为点 A(1,2)在圆 x2+y2=5 上,故过点 A 的圆的切线方程为 x+2y=5,令 x 5 =0,得 y= . 2 令 y=0,得 x=5, 1 5 25 故 S△= × ×5= . 2 2 4 25 答案: 4 7.(2015· 辽宁阜新模拟)过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧 所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k=________. 解析:∵(1-2)2+( 2)2=3<4,∴点(1, 2)在圆(x-2)2+y2=4 的内部,当劣弧所对 根据直角三角形的关系,弦长的一半就等于 1-(

的圆心角最小时,即直线 l 交圆的弦长最短,此时圆心(2,0)与点(1, 2)的连线垂直于直线 l. 2-0 ∵ =- 2, 1-2 2 ∴所求直线 l 的斜率 k= . 2 2 答案: 2 8.(2015· 山东济南模拟)设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆上有一 y → → 点 M(x,y)满足OM·CM=0,则 =________. x → → 解析:∵OM·CM=0,∴OM⊥CM, |2k| y ∴OM 是圆的切线.设 OM 的方程为 y=kx,由 2 = 3,得 k=± 3,即 =± 3. x k +1 答案: 3或- 3 9.已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆 心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切, |4+2a| 则有 2 =2. a +1 3 解得 a=- . 4 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB(图略), 则根据题意和圆的性质, |4+2a| |CD|= 2 , a +1

? 得?|CD| +|DA| =2 , |AB|= 2, ?|DA|=1 2
2 2 2

解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 10.已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m=0. (1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)设直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|= 17,求直线 l 的倾斜角. 解:(1)证明:将已知直线 l 化为 y-1=m(x-1). 故直线 l 恒过定点 P(1,1). 因为 12+(1-1)2=1< 5, 故点 P(1,1)在已知圆 C 内, 从而直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点. (2)圆半径 r= 5,圆心 C 到直线 l 的距离为 |AB|?2 3 d= r2-? ? 2 ?=2, |-m| 3 由点到直线的距离公式得 = , 2 m +(-1)2 2 解得 m=± 3,

π 2π 故直线的斜率为± 3,从而直线 l 的倾斜角为 或 . 3 3 1.(2014· 高考江西卷)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) 4 3 A. π B. π 5 4 5 C.(6-2 5)π D. π 4 解析:选 A.∵∠AOB=90° ,∴点 O 在圆 C 上. 设直线 2x+y-4=0 与圆 C 相切于点 D,则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2x+y -4=0 的距离, ∴点 C 在以 O 为焦点,以直线 2x+y-4=0 为准线的抛物线上, ∴当且仅当 O,C,D 共线时,圆的直径最小为|OD|. |2×0+0-4| 4 2 又|OD|= = ,∴圆 C 的最小半径为 , 5 5 5 2 2 4 ∴圆 C 面积的最小值为π? ? = π. ? 5? 5 2.圆心在直线 x-y-4=0 上,且经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的 交点的圆的方程为( ) 2 2 A.x +y -x+7y-32=0 B.x2+y2-x+7y-16=0 C.x2+y2-4x+4y+9=0 D.x2+y2-4x+4y-8=0 解析:选 A.设经过两圆的交点的圆的方程为 x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,即 6λ 4+28λ 3λ 6 3 x2+y2+ x+ y- =0,其圆心坐标为(- ,- ),又圆心在直线 x-y-4 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 3λ 3 =0 上,所以- + -4=0,解得 λ=-7,故所求圆的方程为 x2+y2-x+7y-32=0. 1+λ 1+λ 3.(2015· 江苏南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-4x=0.若直 线 y=k(x+1)上存在一点 P,使过点 P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 k 的取值范围 是________. 解析:圆 C 的方程可化为(x-2)2+y2=4. 先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点 P 到圆心的距离为 2 2” . 再将“直线上存在点 P 到圆心的距离为 2 2”转化为“圆心到直线的距离小于等于 2 2” . |3k| 即 2 ≤2 2,-2 2≤k≤2 2. k +1 答案:[-2 2,2 2] 4.(2014· 高考湖南卷)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3, → → → → 0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是________. → → 解析:设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1 知(x-3)2+y2=1,即动点 D 的轨迹为以 点 C 为圆心的单位圆. → → → 又OA+OB+OD=(-1,0)+(0, 3)+(x,y)=(x-1,y+ 3), → → → ∴|OA+OB+OD|= (x-1)2+(y+ 3)2. 问题转化为圆(x-3)2+y2=1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,- 3)之间的距离为 (3-1)2+(0+ 3)2= 7, 故 (x-1)2+(y+ 3)2的最大值为 7+1. 答案: 7+1

5.已知圆 x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为 C,直线 l:y=x+m. (1)若 m=4,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (2)若直线 l 是圆心 C 下方的切线,当 a 在(0,4]上变化时,求 m 的取值范围. 解:(1)∵x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0, ∴(x+a)2+(y-a)2=4a, ∴圆心为 C(-a,a),半径为 r=2 a, 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t,当 m=4 时,直线 l:x-y+4=0, |-a-a+4| 圆心 C 到直线 l 的距离为 d= = 2·|a-2|, 2 则 t2=(2 a)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3)2+10,又 0<a≤4, ∴当 a=3 时,直线 l 被圆 C 所截得弦长的值最大,其最大值为 2 10. (2)圆心 C 到直线 l 的距离为 |-a-a+m| |m-2a| d= = , 2 2 |m-2a| ∵直线 l 是圆 C 的切线,∴d=r,即 = 2 a, 2 ∴m=2a± 2 2a,又∵直线 l 在圆心 C 的下方, ∴m=2a-2 2a=( 2a-1)2-1, ∵a∈(0,4],∴m 的取值范围是[-1,8-4 2]. 6.(选做题)(2015· 广东揭阳模拟)已知曲线 C 的方程为:ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a 为常数). (1)判断曲线 C 的形状; (2)设曲线 C 分别与 x 轴,y 轴交于点 A,B(A,B 不同于原点 O),试判断△AOB 的面积 S 是否为定值?并证明你的判断; (3)设直线 l:y=-2x+4 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,且|OM|=|ON|,求曲线 C 的 方程. 4 2 4 解:(1)将曲线 C 的方程化为 x2+y2-2ax- y=0?(x-a)2+(y- )2=a2+ 2, a a a 2 4 可知曲线 C 是以点(a, )为圆心,以 a2+ 2为半径的圆. a a (2)△AOB 的面积 S 为定值. 证明如下:在曲线 C 的方程中令 y=0,得 ax(x-2a)=0,得点 A(2a,0), 4 在曲线 C 方程中令 x=0,得 y(ay-4)=0,得点 B(0, ), a 1 ∴S= |OA|·|OB| 2 1 4 = ·|2a|·| |=4(定值). 2 a (3)∵圆 C 过坐标原点, 且|OM|=|ON|, 2 1 ∴OC⊥MN,∴ 2= , a 2 ∴a=± 2, 当 a=-2 时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为 5, |-4-1-4| 9 圆心到直线 l:y=-2x+4 的距离 d= = > 5, 5 5 直线 l 与圆 C 相离,不合题意舍去, a=2 时符合题意. 这时曲线 C 的方程为 x2+y2-4x-2y=0.


赞助商链接

...轮复习第八章几何第讲直线与圆、圆与圆的位置关系习...

高考数学一轮复习第八章几何第讲直线与圆圆与圆的位置关系习题讲义_高考_高中教育_教育专区。2017 高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第 4 讲 直线与圆、 ...

...数学一轮复习基础讲解直线与圆、圆与圆的位置关系

《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线与圆圆与圆的位置关系_数学_高中...4 =2 2,切线长的最 2 《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习...

第八章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

第八章第4讲直线与圆圆与圆的位置关系_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2018高三文科数学一轮复习 第4 讲 直线与圆圆与圆的位置关系 , [学生用书 ...

...一轮复习专题9.4直线与圆、圆与圆的位置关系(讲)

(浙江版)2018高考数学一轮复习专题9.4直线与圆圆与圆的位置关系(讲)_...对点练习: 1 【2016 高考新课标 1 文数】设直线 y=x+2a 与圆 C:x +y...

...(知识点归纳与总结):直线与圆、圆与圆的位置关系

2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):直线与圆圆与圆的位置关系_高考_高中教育_教育专区。第四直线与圆圆与圆的位置关系 [备考方向要明了] 考...

高考数学(理)一轮复习精品资料:专题48 直线与圆、圆与...

高考数学(理)一轮复习精品资料:专题48 直线与圆圆与圆的位置关系(押题专练)(含答案解析)_高考_高中教育_教育专区。1. 过点 P(- 3, -1)的直线 l 与...

...第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课...

全国版2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课时提升作业理_数学_高中教育_教育专区。直线与圆圆与圆的位置关系 (25 分钟 一...

...讲义:第8篇 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

一轮复习配套讲义:第8第4讲 直线与圆圆与圆的位置关系 - 语文数学英语,全册上册下册,期中考试,期末考试,模拟考试,单元测试,练习说课稿,备课教案学案导学案

...数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教师...

2016高考数学大一轮复习 9.4直线与圆圆与圆的位置关系教师用书 理 苏教版_数学_高中教育_教育专区。§9.4 直线与圆圆与圆的位置关系 1.判断直线与圆的...

高考数学第一轮复习资料直线与圆、圆与圆的位置关系_图文

高考数学第一轮复习资料直线与圆圆与圆的位置关系_高考_高中教育_教育专区。第 52 讲 圆位置关系 第 52 讲 要点梳理 直线与圆圆与圆的位置关系 方法 ...

相关文档

更多相关标签