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1993年全国高中数学联赛加试试题及解答

时间:2013-05-14

一九九三年全国高中数学联赛加试试题
一. (本题满分 35 分)设一凸四边形 ABCD ,它的内角中仅有 ?D 是钝角,用一些
直线段将该凸四边形分割成 n 个钝角三角形,但除去 A, B, C , D 外,在该四边形的周界上, 不含分割出的钝角三角形顶点。试证 n 应满足的充分必要条件是 n ? 4 。

二. (本题满分 35 分)设 A 是一个有 n 个元素的集合, A 的 m 个子集 A1 , A2 ,?, Am
两两互不包含。试证:⑴

? C1Ai | ≤1;⑵ ? Cn| Ai | ≥ m 2 。其中| Ai |表示 Ai 所含元素的个数, | i ?1 i ?1 n

m

m

| CnAi | 表示 n 个不同元素取| Ai |个的组合数。

三. (本题满分 35 分)水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l ? m ,l 与 m 相交于 M



点 M 在圆心的右侧,直线 l 上不同的三点 A, B, C 在圆外,且位于直线 m 上方, A 点离 M 点最远, C 点离 M 点最近, AP, BQ, CR 为圆 O 的三条切线, P, Q, R 为切点。 试证:⑴ l 与圆 O 相切时, AB ? CR ? BC ? AP ? AC ? BQ ;⑵ l 与圆 O 相交时,

AB ? CR ? BC ? AP ? AC ? BQ ;⑶ l 与圆 O 相离时, AB ? CR ? BC ? AP ? AC ? BQ 。

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一九九三年全国高中数学联赛加试解答
一.充分性:⑴先证凸四边形 ABCD 可以剖分成 4 个钝角三角形,如图 1,连接 AC ,取 ?ABC 的费 马点 P ,则 ?ADC, ?APC, ?APB, ?BPC 均为钝角三角 形; ⑵再证明凸四边形 ABCD 可以剖分成 n ? 5 , … 6, 个钝角三角形,如图 2 所示,只需在 AP 边上任取点 连接 CE1 , CE 2 ,? , 则将凸四边形 ABCD 按 E1 , E2 ,? , 题目的要求分割成 5,6,…个钝角三角形。因此, 凸四边形 ABCD 可以剖分成 n ?n ? 4? 个钝角三角形;
图 1 P C D A

B

B 必要性:首先,很显然,一个非钝角三角形不 能剖分成两个钝角三角形。设凸四边形 ABCD 已经 E 被剖分成 n 个钝角三角形, 则⑴如果该凸四边形的四 P 条边分别属于 4 个不同的钝角三角形,那么已经证 A 得 n ? 4 ;⑵如果有两条邻边同属于一个钝角三角形 C (不相邻的两条边不能构成三角形) ,这时有两种情 D 况:①该两邻边的夹角为钝角 D ,于是角 D 不能剖 分,则 AC 必为剖分线,非钝角 ?ABC 必须再剖分, 图 2 而它不能剖分成两个钝角三角形,只能剖分成 3 个 或 3 个以上的钝角三角形,故有 n ? 4 ;②该两邻边的夹角不是钝角 D ,则夹角 只能是 ? A 或 ?C ,从而使 BD 成为剖分线,并且将角 D 剖分出一个钝角,使该 两邻边构成钝角三角形的两条边。这样,另一个非钝角三角形必被再剖分成 3 个或 3 个以上的钝角三角形,故有 n ? 4 。

二.⑴即证:若 k1 ? k2 ? ? ? km ? n ,则 ? ki !? n ? ki ? ! ? n ! 。由于 n ! 表示 n 个元
i ?1

m

素的全排列数,而 ki !? n ? ki ?! 表示先在这 n 个元素中取出 k i 个元素排列,再把其 余元素排列的方法数。由于 Ai 互不包含,故 ? ki !? n ? ki ?! ? n ! 成立;
i ?1 m

m m ? m 1 ?? m | ? 1 | ⑵因为 ? ? | Ai | ? ? ? CnAi | ? ? m2 ,且 0 ? ? | Ai | ? 1 ,故 ? CnAi | ? m 2 。 i ?1 i ?1 Cn ? ? i ?1 Cn ? ? i ?1

三. ⑴如图 1, 由切线定理 AP ? AM , BQ ? BM , CR ? CM , AB ? CR ? BC ? AP 故

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? AB ? CM ? BC ? AM ? AB?BM ? BC? ? BC? AB ? BM ? ? BM ? AB ? BC? ? BM ? AC
A B P Q R C M

A B P Q R M C
P Q R

A B C M

O

O

O

图 1

图 2

图 3

⑵如图 2 所示, 连接 OP, OA , 因为 OM ? OP , 所以 AP ? AM 。 同理 CR ? CM , 故 AB ? CR ? BC ? AP ? AB ? CM ? BC ? AM ? BM ? AC ,得证;
⑶如图 3 所示, 连接 OP, OA , 因为 OM ? OP , 所以 AP ? AM 。 同理 CR ? CM ,

故 AB ? CR ? BC ? AP ? AB ? CM ? BC ? AM ? BM ? AC ,得证。

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