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2017优化方案高考总复习·数学·文(北师大版)专题讲座五知能训练轻松闯关

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x2 y2 1.(2016· 长春质量检测)若 F(c,0)是双曲线 2- 2=1(a>b>0)的右焦点,过 F 作该双曲线一 a b 12a2 条渐近线的垂线与两条渐近线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△OAB 的面积为 ,则该 7 双曲线的离心率 e=( ) 5 4 A. B. 3 3 5 8 C. D. 4 5 b 2ab 解析:选 C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为 θ,则 tan θ= ,tan 2θ= 2 2,因此 a a -b 1 a3b 12a2 b 3 5 △OAB 的面积可以表示为 ·a·atan 2θ= 2 2= ,解得 = ,则 e= .故选 C. 2 7 a 4 4 a -b 2 2.(2016· 山西省考前质量检测)已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 E 在 C 的准线上,且 3? 在 x 轴上方,线段 EF 的垂直平分线与 C 的准线交于点 Q? ?-1,2?,与 C 交于点 P,则点 P 的坐标为( ) A.(1,2) B.(2,2 2) C.(3,2 3) D.(4,4) 解析:选 D.由题意,得抛物线的准线方程为 x=-1,F(1,0). 设 E(-1,y),因为 PQ 为 EF 的垂直平分线, 所以|EQ|=|FQ|, 3?2 3 即 y- = (-1-1)2+? ?2? ,解得 y=4, 2 4-0 1 所以 kEF= =-2,kPQ= , 2 -1-1 3 1 所以直线 PQ 的方程为 y- = (x+1), 2 2 即 x-2y+4=0. ?x-2y+4=0, ?x=4, ? ? 由? 2 解得? 即点 P 的坐标为(4,4),故选 D. ?y =4x, ?y=4, ? ? x2 3.已知 F1、F2 分别为椭圆 +y2=1 的左、右焦点,过椭圆的中心 O 任作一直线与椭圆交 4 → → 于 P,Q 两点,当四边形 PF1QF2 的面积最大时,PF1·PF2的值为________. 解析:易知当 P,Q 分别是椭圆的短轴端点时,四边形 PF1QF2 的面积最大.由于 F1(- 3, → 0),F2( 3,0),不妨设 P(0,1),所以PF1=(- 3,-1), → PF2=( 3,-1), → → 所以PF1·PF2=-2. 答案:-2 2π a2+e2 x2 y2 4.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e,则 的 a b 3 2b 最小值为________. b 解析:由题意, = 3,所以 b= 3a,所以 c=2a,e=2, a 2 2 2 a +e a +4 a2+e2 a 2 2 3 2 3 = = + ≥ (当且仅当 a=2 时取等号),则 的最小值为 . 2b 3 2 b 3 2 3a 2 3 3a 2 3 答案: 3 y2 x2 3 5.(2016· 山西省四校联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原 a b 2 点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ 2=0 相切.A、B 是椭 圆 C 的右顶点与上顶点,直线 y=kx(k>0)与椭圆相交于 E、F 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当四边形 AEBF 面积取最大值时,求 k 的值. c 3 解:(1)由题意知:e= = , a 2 2 2 c2 a -b 3 所以 e2= 2= 2 = ,所以 a2=4b2. a a 4 又圆 x2+y2=b2 与直线 x-y+ 2=0 相切, y2 所以 b=1,所以 a2=4,故所求椭

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