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五年高考真题(数学理) 4.4 三角恒等变换

时间:2016-04-13


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第四节

三角恒等变换

考点 三角函数的求值与化简 1.(2015· 新课标全国Ⅰ,2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( 3 A.- 2 解析 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2 )

sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin

1 10°=sin 30°=2. 答案 D 1+sin β π? π? ? ? 2.(2014· 新课标全国Ⅰ,8)设 α∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = , 2 2 cos β ? ? ? ? 则( ) π B.3α +β= 2 π D.2α +β= 2 π A.3α -β= 2 π C.2α -β= 2 解析 由 tan α=

1+sin β sin α 1+sin β 得 = , 即 sin αcos β=cos α+sin cos β cos α cos β ?π ? βcos α,所以 sin(α-β)=cos α,又 cos α=sin? 2 -α?,所以 sin(α-β)= ? ? π π π π? π? ?π ? ? ? sin? -α?,又因为 α∈?0, ?,β∈?0, ?,所以- 2 <α-β< 2 ,0< 2 - 2 2 2 ? ? ? ? ? ? π π π α< 2 ,因此 α-β= 2 -α,所以 2α-β= 2 ,故选 C. 答案 C ) D.2 2-1

3.(2013· 重庆,9)4cos 50°-tan 40°=( A. 2 解析 = B. 2+ 3 2 C. 3

4cos 50°-tan 40°

4sin 40°cos 40°-sin 40° cos 40° 2sin 80°-sin 40° 2sin 100°-sin 40° = = cos 40° cos 40° 2sin(60°+40°)-sin 40° = cos 40°
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3 1 2× 2 cos 40°+2×2sin 40°-sin 40° = cos 40° = 3. 答案 C

4.(2012· 重庆,5)设 tan α ,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β) 的值为( A.-3 解析 ) B.-1 C.1 D.3

因为 tan α,tan β是方程 x2-3x+2=0 的两根,所以 tan α+tan β

=3,tan α·tan β=2, 而 tan(α+β)= 答案 A ) tan α+tan β 3 = =-3,故选 A. 1-tan α·tan β 1-2

3 7 ?π π ? 5.(2012· 山东,7)若 θ∈? , ?,sin 2θ = 8 ,则 sin θ =( 2? ?4 3 4 7 3 A.5 B.5 C. 4 D.4 ?π π? ?π ? 解析 ∵θ∈? , ?,∴2θ∈? ,π?, 2? ?4 ?2 ? 1 ∴cos 2θ=- 1-sin22θ=-8, ∴sin θ= 答案 D 1-cos 2θ 3 =4,故选 D. 2

3 6.(2012· 大纲全国,7)已知α 为第二象限角,sin α +cos α = 3 ,则 cos 2α = ( ) 5 D. 3 1 2 由(sin α+cos α)2=3,得 2sin αcos α=-3. 5 B.- 9 5 C. 9 5 A.- 3 解析

∵α在第二象限,∴cos α<0,sin α>0, ∴cos α-sin α=- (sin α+cos α)2-4sin αcos α 15 =- 3 ,
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故 cos 2α=cos2α-sin2α =(cos α+sin α)(cos α-sin α) 3 ? 5 15? ?=- ,选 A. = 3 ×?- 3 3 ? ? 答案 A

7.(2015· 四川,12)sin 15°+sin 75°的值是________. 解析 sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°= 2sin(15°+45°)= 2sin

6 60°= 2 . 答案 6 2

1 8.(2015· 江苏,8)已知 tan α =-2,tan(α+β)=7,则 tan β 的值为________. 解析 ∵tan α=-2,∴tan(α+β)= tan α+tan β -2+tan β 1 = =7,解得 1-tan αtan β 1+2tan β

tan β=3. 答案 3 9.(2014· 新课标全国Ⅱ,14)函数 f(x)=sin(x+2φ)- 2sin φ cos(x+φ)的最大值为________. 解析 f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-

cos(x+φ)sin φ=sin(x+φ-φ)=sin x,因为 x∈R,所以 f(x)的最大值为 1. 答案 1

10.(2013· 新课标全国Ⅰ,15)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值, 则 cos θ =________. 解析 f(x)=sin x-2cos x

2 ?1 ? = 5? sin x- cos x?, 5 ? 5 ? 1 2 令 cos α= ,sin α=- , 5 5 则 f(x)= 5sin(α+x),

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π 当 x=2kπ+ 2 -α(k∈Z)时,sin(α+x)有最大值 1,f(x)有最大值 5,即 θ=2k π π ? ? ?π ? π+ 2 -α(k∈Z),所以 cos θ=cos?2kπ+ -α?=cos? -α?= 2 ? ? ?2 ? sin α=- 答案 2 2 5 =- 5 . 5

2 5 - 5

tan x ? π? 11.(2011· 江苏,7)已知 tan?x+ ?=2,则tan 2x的值为________. 4? ? 1 tan x tan x 1 ? π? 1+tan x 解析 由 tan?x+ ?= =2,得 tan x=3,tan 2x= 2tan x =2(1-tan2x) 4 ? ? 1-tan x 1-tan2x 1? 1?2? 4 =2?1-? ?3? ?=9. ? ? ? ? 4 答案 9 ? π? 12.(2015· 山东,16)设 f(x)=sin xcos x-cos2?x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调区间; ?A? (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f? 2 ?=0,a=1,求 ? ? △ABC 面积的最大值. π? ? 1+cos?2x+ ? 2 ? sin 2x 1-sin 2x sin 2x 1 ? (1)由题意知 f(x)= 2 - = 2 - =sin 2x-2. 2 2



π π π π 由- 2 +2kπ ≤2x≤ 2 +2kπ ,k∈Z, 可得- 4 +kπ ≤x≤ 4 +kπ ,k∈Z; π 3π π 3π 由 2 +2kπ ≤2x≤ 2 +2kπ ,k∈Z, 可得 4 +kπ ≤x≤ 4 +kπ ,k∈Z. π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k∈Z); 4 ? 4 ? 3π ?π ? 单调递减区间是? +kπ , +kπ ?(k∈Z). 4 ?4 ? 1 1 ?A? (2)由 f? 2 ?=sin A-2=0,得 sin A=2, ? ? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A= 3 . 2

由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,
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可得 1+ 3bc=b2+c2≥2bc, 即 bc≤2+ 3,且当 b=c 时等号成立. 2+ 3 1 因此2bcsin A≤ 4 . 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 4 .

13.(2014· 江西,16)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中 a∈R,θ ∈ ? π π? ?- , ?. 2? ? 2 π (1)若 a= 2,θ = 4 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; ?π ? (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2? ? π? ? π? 解 (1)f(x)=sin?x+ ?+ 2cos?x+ ? 4? 2? ? ? 2 = 2 (sin x+cos x)- 2sin x 2 2 ?π ? = 2 cos x- 2 sin x=sin? -x?, ?4 ? 因为 x∈[0,π ], π ? 3π π ? ?, 从而 4 -x∈?- 4 ,4? ? 2 故 f(x)在[0,π ]上的最大值为 2 ,最小值为-1. ? ?π ? ?f? ?=0, (2)由? ? 2 ? 得 ? ?f(π )=1 ?cos θ (1-2asin θ )=0, ? 2 ?2asin θ -sin θ -a=1, ? π π? 又 θ∈?- , ?知 cos θ ≠0, 2? ? 2 ?a=-1, ? 解得? π θ =- 6 . ? ? ? π? ?5π ? 3 14.(2014· 广东,16)已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?=2. 4? ? ? 12 ?
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世纪金榜 (1)求 A 的值;

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π? 3 ? ?3π ? ?. (2)若 f(θ)+f(-θ)=2,θ ∈?0, ?,求 f? - θ 2? ? ? 4 ? ?5π ? ?5π π ? 3 解 (1)f? ?=Asin? + 4 ?=2, ? 12 ? ? 12 ? 3 3 ∴A· 2 =2,A= 3. π? π? 3 ? ? (2)f(θ)+f(-θ)= 3sin?θ + ?+ 3·sin?-θ+ ?=2, 4? 4? ? ? 2 2 3 ∴ 3[ (sin θ +cos θ )+ (-sin θ +cos θ )]= , 2 2 2 3 6 ∴ 6cos θ =2,cos θ = 4 , π 又 θ∈(0, 2 ), 10 ∴sin θ = 1-cos2θ = 4 , 30 ?3 ? ∴f?4π -θ?= 3sin(π -θ)= 3sin θ = 4 . ? ? 5 ?π ? 15.(2014· 江苏,15)已知 α∈? ,π ?,sin α = 5 . ?2 ? ?π ? (1)求 sin? +α?的值; ?4 ? ?5π ? (2)求 cos? -2α?的值. 6 ? ? 5 ?π ? 解 (1)因为 a∈? ,π ?,sin α = 5 , ?2 ? 2 5 所以 cos α =- 1-sin2α =- 5 . π π ?π ? 故 sin? +α?=sin 4 cos α +cos 4 sin α ?4 ? 2 ? 2 5? 2 5 10 ?+ × =- = 2 ×?- 5 10 . 5 ? 2 ? 5 ? 2 5? 4 ?=- , (2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2× 5 ×?- 5 5 ? ? ? 5?2 3 cos 2α =1-2sin2α =1-2×? ? =5, ?5? 5π 5π ? ?5π ? 3? 3 1 ? 4? - ? 所以 cos? -2α?=cos 6 cos 2α +sin 6 sin 2α =?- ?×5+2×? 6 ? 5? ? ? ? 2? 4+3 3 =- . 10
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? π? 16.(2013· 广东,16)已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? ? π? (1)求 f?- ?的值; ? 6? π? 3 ?3π ? ? ?,求 f?2θ+ ?. (2)若 cos θ =5,θ ∈? , 2 π 3? ? 2 ? ? ? π? 解 (1)因为 f(x)= 2cos?x- ?, ? 12? ? π? ? π π? 所以 f?- ?= 2cos?- - ? ? 6? ? 6 12? π ? π? = 2cos?- ?= 2cos 4 =1. ? 4? 3 ?3π ? (2)因为 cos θ =5,θ ∈? ,2π ?, 2 ? ? 4 所以 sin θ =-5. 24 所以 sin 2θ =2sin θ cos θ =-25, 7 cos 2θ =cos2θ -sin2θ =-25. π? π π? ? ? 所以 f?2θ + ?= 2cos?2θ + - ? 3? 3 12? ? ? π? ? = 2cos?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ 4? ? 7 ? 24? 17 =-25-?-25?=25. ? ?

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