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高一数学:2.1.2《指数函数及其性质1》学案(新人教A版必修1)

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课题:2.1.2 指数函数及其性质 1
主 备 人:李建明 一、学习目标: 1.理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质. 2.培养学生实际应用函数的能力 二、学法指导: 1. 在正确理解理解指数函数的定义,会画出基本的 指数函数的图象,并且能够归纳出性质及其 简单应用.
2. 指数函数的图象和性质的学习,能够学会观察,分析,归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法. 3. 掌握函数研究的基本方法,激发自主学习的学习兴趣

三、知识要点 1.指数函数的定义:函数 域是

叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义

2.指数函数的图象和性质: y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质 a>1 图 象 0<a<1

(1) 定义域: 性 质 (2)值域: (3)过点( ) ,即 x= 时,y=

(4)在 R 上是函数 (4)在 R 上是 函数 四、教学过程: (一)复习: 引例 1:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,……. 1 个这样的细胞 分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 分裂次数:1,2,3,4,…,x 细胞个数:2,4,8,16,…,y 由上面的对应关系可知,函数关系是 y ? 2 .
x

引例 2:某种商品的价格从今年起每年降低 15%,设原来的价格为 1,x 年后的价格为 y, 则 y 与 x 的函数关系式为 y ? 0.85x 在 y ? 2 , y ? 0.85x 中指数 x 是自变量,底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量.
x

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量的函数叫做指数函 数.

-1-

(二)新课讲解: 1.指数函数的定义: 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R 探究 1:为什么要规定 a>0,且 a ? 1 呢? ①若 a=0,则当 x>0 时, a =0;当 x ? 0 时, a 无意义.
x x

②若 a<0,则对于 x 的某些数值,可使 a 无意义. 如 (?2) x ,这时对于 x=
x

1 1 ,x= ,… 4 2

等等,在实数范围内函数值不存在. ③若 a=1,则对于任何 x ? R, a =1,是一个常量,没有研究的必要性.
x

为了避免上述各种情况, 所以规定 a>0 且 a?1 在规定以后, 对于任何 x ? R,a 都有意义,
x

且 a >0. 因此指数函数的定义域是 R,值域是(0,+∞). 探究 2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗? 指数函数的解析式 y= a 中, a 的系数是 1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如 y= a +k (a>0 且 a ? 1,k ? Z);有些函数看
x x x

x

起来不像指数函数,实际上却是,如 y= a

?x

?1? (a>0,且 a ? 1),因为它可以化为 y= ? ? ,其中 ?a?

x

1 1 >0,且 ? 1 a a
2.指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数 y= 2 ,y= ? ? ,y= 10 ,y= ? 列表如下: x y= 2
x x

?1? ?2?
0 1 1

x
x

?1? ? 的图象. ? 10 ?
2 4 0.25 3 8 0.13 … … …

x

… …
x

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

?1? y= ? ? ?2?



-2-

x y= 10
x

… …
x

-1.5 0.03 31.62

-1 0.1 10

-0.5 0.32 3.16

-0.25 0.56 1.78

0 1 1

0.25 1.78 0.56

0.5 3.16 0.32

1 10 0.1

1.5 31.62 0.03

… … …

?1? y= ? ? ? 10 ?



x 我 们 观 察 y= 2 , y= ? ? , y= 10 , y= ?

x

?1? ?2?

x

?1? ? 的图象特征,就可以得到 ? 10 ?

x

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
6

0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

(三) .例题分析: 例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%,画 出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半 (结果保留 1 个有效数字) 分析:通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并可列表、描点、作图,进 而求得所求 解:设这种物质量初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y 经过 1 年,剩留量 y=1×84%=0.841; 经过 2 年,剩留量 y=1×84%=0.842; 1 ……
3.5 3 2.5 2

0.5
-3-

1.5

1

0.5

0
-0.5

1
1

2
2

3
3

4
4

5
5

一般地,经过 x 年,剩留量 y=0.84
x

根据这个函数关系式可以列表如下: x y 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42 6 0.35

用描点法画出指数函数 y=0.84x 的图象从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半 评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现 例 2 (课本第 81 页)比较下列各题中两个值的大小:
5

① 1 .7

2.5

, 1.7 ;

3

② 0.8

?0.1

, 0.8

?0.2



③ 1 .7

0.3

, 0 .9

3 .1

4.5

4

3.5

解:利用函数单调性 ① 1 .7
2.5

f?x? = 1.7x
2.5 2

3

与 1.7 的底数是 1.7,它们可以看成函数 y= 1.7 ,当 x=2.5 和 3
-2 -1

3

x

1.5

1

0.5

1.8
1 2 3 4 5 6

时的函数值;因为 1.7>1,所以函数 y= 1.7 在 R 是增函数,而 2.5<3,所 以, 1.7
2.5

x

f?x? =

-0.5

1.6

0.8x

1.4

1.2

< 1.7 ;
?0.1

3

1

0.8

0.6

② 0.8

与 0.8

?0.2

的底数是 0.8 ,它们可以看成函数 y= 0.8 ,当
-1.5 -1 -0.5

x

0.4

0.2

0.5

1

x=-0.1 和-0.2 时的函数值;因为 0<0.8<1,所以函数 y= 0.8 在 R 是减函 数,而-0.1>-0.2,所以, 0.8
?0.1

x

-0.2

< 0.8

?0.2


0.3

③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号:1.7
3.2
3.2

>1;0.9

3 .1

<1;1.7

0.3

> 0 .9

3 .1

3
3

2.8
2.8

2.6
2.6

2.4
2.4

2.2

2.2

2

2

1.8

1.8

f?x? =

f?x? = 0.9x

1.7x

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

小结: 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性, 必须要明确所给的两个值是哪个 指数函数的两个函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 五、课堂小练
2 4

⑴比较大小: (?2.5) 3 , (?2.5) 5 ⑵81 页练习 1 ⑶比较下列各数的大小: 1 ,
0

0.4 ?2.5 ,

2 ?0.2

, 2.5

1 .6

-4-

六、课堂小结:本节课学习了以下内容:指数函数概念,指数函数的图象和性质

七、学习感悟

八、作业:

-5-


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