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2014年江苏省高考数学试卷压轴题的解答、推广及联想

时间:2015-04-17


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5 8  ?  

中学 数学 月刊 

2 0 1 5年第 l 期 

2 0 1 4 年江苏省高考数学试卷压轴题的解答、 推广及联想 
徐 道 ( 江苏省如 皋 市教 师进 修 学校 2 2 6 5 0 0 )  

2 0 1 4年 江 苏 省 高 考 数 学 试 卷 压 轴 题 是 : 已 知 

( 1 ) ( 2 ) 两 题 作 为 一 个 “ 整 体 ” 考 虑 : 2 f , ( 号 ) +  

函数 f 。 ( z ) 一  
的导 数 , / - / E   N  .  

(  > 0 ) , 设f   ( z) 是 f   (  )  

号 - 厂 z ( 号 ) 是 函 数 2 厂   ( z ) + z 厂 z ( z ) 当 - T 一 号 时 的  

( 1 ) 求 z f - ( 号 ) + 号   z ( 号 ) 的 值 ;  
( 2 ) 证 明 : 对 任 意 的  E  N  , 等 式 

函 数 值 ; 而 I   , , r   ( - i   - 、 +  ̄ -   f   (   ) I 是 函 数  
I   n 厂  ( z) +x f   ( z)I 当  一   的函数值 , 显然  z f l ( z ) +x f2 ( z ) 是n f   一 l (  ) +x f   (  )当  一2  
时 的特殊情 形 , 则很 容易 获得本 文 给出 的解法 .  
1   推 广 

1   L 厂 一 ( 詈 ) +   _ 厂   (   ) 1 都 成 立 .  
解  ( 1 ) 由  ’ 。 ( z) 一兰   _ I 兰得 z , 。 ( z) :s i n  ,  

两端 取 导数得 厂 。 (  ) + 厂   (  ) 一C O S   ①. 对 ①  两端 取 导 数 , 2 厂   (  )+ x f   (  )一一 s i n  ②, 将 


将压轴 题 中条件 “ f 。 ( z ) : 

( z> o ) , , 改 

号 代 入 ② 得 z f   ( 号 ) + 号 厂 z ( 号 ) 一 一 1 .  
( 2 )由 ① ② 可 猜 测 , n ,   ( z)+ z ,   (  )一  

为“ 厂 。 (  ) 一   s i n. 2 7   /  > o ,  E   N  ) ” , 其余 条件 不 
变, 可得 如下结 论 :  
i l l    ̄ C ( z> 结论 1   已知 函数 f o ( z )一S



,  

s i n ( z + 等) ③ . 当   = = : 1 , 2 时 , ③ 即 ① , ② , 已 证 .  
假 设  一 是时 等 式 ③ 成 立 , 即有 志 f   (  ) + 

E   N  ) , 设 f   ( z ) 是 f  ( z )的导数 ,  —  E   N,  

z 厂   ( z ) 一 s i n ( z +  ) , 两 端 求 导 ,  
1 ) 厂   (   )+ z f 川(   )一 c o s  +  ) 一  

则 ∑   。 A  C 7 - i x i 厂   +   ( - z ) 一 s i n (   +  ) ④ ,  

l ∑   。 A   叫 c   ( 手 )   , r   ( } ) l 一  ⑤ .  
I ∑   。 A   c   ( 号 )   ( 号 )   I


i n 『 z +  
L  

厶  

] , 即  一 是 + 1 时③成 立 .  
得  E   N   时,  

故 由数 学 归纳法 原理 ,  E   N   时 ③ 成 立.  
由   ③ 

I 1   鍪 , ⑥ . 规 定 A o , 一 1 .   1 0   为奇 数  ’  

I   n f   ( 号 ) + 号 ,   ( 号 ) l 一 譬都 成 立 .  
与《 扬子 晚报 》 2 0 1 4年 6月 l 1日公 布的 “ 标准  解法 ”相 比 , 这种 解法 稍有 不 同. 第( 1 ) 题“ 标 准解 


显 然 ④⑤ 是 压轴 题 的推广.  
我 们 以 m一3 为 例来证 明结 论 1 , 一般 情形 仿 
3可 证 .  

f。 (  )一 s _ i n. 『 ; r,即 o T   3 / ‘ 。 (   )一 s i n   .所 以 

法 ”是 分 别 求 出 f   (  )与 , 。 ( z) , 再分 别求 出  

[  。  0 ( z ) ]   一( s i n  )   , 故3  _ 厂 o (  ) + 。 - 厂 l (  ) 一  
6 x f0 ( z) +6 c c   fl (  ) + z。 f 2 ( z)一 一s i n  .  

O S  . 将 此式 两端 求导 得 ,   ,   ( 号 ) 与f   ( 号 ) 从而求出 z f   ( - 兀 y ) +  C

号 - 厂 z ( 号 ) 之 值 . 这 种 解 法 欠 缺 之 处 有 两 点 : 一 是  
运 算量 较大 , 出错 的可 能较 大 ; 二 是 与第 ( 2 )题证  明的关 联性 几 乎 没 有 , 未 能启 发 证第 ( 2 )题 的 思  路. 而本 文解 法较 好解 决 了以上 两个 不足之 处. 可  能有读 者 要说 , 考生解第 ( 1 )题 时 不 会 想 到 先 求 
2 / ’   (  ) +   厂   (  ) = 一s i n  . 实 质上 如果 考生将 

这个 等 式 两 端 再 求 导 得 , 6 , 0 (  )+ 1 8 x f   ( o r ) + 
9   ,2 (  )+  。 f 3 ( z)一 一 C O S   ,即 6   ( o r )+  1 8 x fl (  )   +  9 c c   f2 (  )   +  f 3 (  )   一 

s i n f   +  1 . 已 证m 一 3 且   一 m — o 时④成 立.  
假 设  一 3且 "一   一 是时 ④ 成 立 , 即 有  Aj C   + 。 , ’   (  )   +  Ai C  。  - ,   ( z )   +  

2 0 1 5年第 1 期 
A  C  3   、   + 2 ( 1 - f )   +  A  C  + 3 z。 f   + 3 (  )  
即 

中学数 学月 刊 
=  

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c。s

i n 『 l     +  J  ]   l , 两 端 求 导 得 , A   3 C o     f 川( z )  
+  [ A; C  。 ,   +   ( z )   +  A ; C ; + 3 x f   + 2 (  ) ]   +  C   z  


( z + 号 )   ) + c 。 s  (  而 ( S i n   将 
压 

c 。 s   — s i n ( z + 号 ) . 已 证   = = = 1 时 ⑦ 也 成 立 .   轴 
假 设  一 题  是 时
中 

r 一 ● ~ ● S 2 L     一 r   z ● S 一 2 L     — , _   一 S    
即 有 
? ? ? — 上 一  

E Z A   C   + 。   ’   托   (  )   +  A  C  。 z   f   + 3 (  )   + 


⑦  成 立 ,  

_ l _ E 3 A; C 2 + 3  。 f ㈣  (  )   +  A: C n 上 3 z。 f   + 4 ( z) ]  一   A 

+ 

cos

[   +  

)  

C  ̄ c o s ( z 十  

条  件 

)  


蚪 + 

㈣  

+ 3 x   3 ^   x ) = s i n [ z 十  
+ 
(  

C  ̄ c o s ( z +   )   )     C  ̄ c o s (   +   一 )   )   C   C O S  x f   ( z) 一  C  ̄ - l   c o s ( z 十 号 ) f k   1 (   ) +  
上 一  

z  

注意 到 C   +C   一1   一C   , C   + : 一C   +   , 上 述 
C ( 

等式即为: A ; C   … (  )+ 蚪 A;   C ; +   x f   (  )+ 
A  C   + 4 z。 f 女 + 3 (  )   +  A: C2 + 4  。 f 女 + 4 (  )   一 

>   s i n ( z +  ) ⑨ . 对⑨ 式 左 端 求 导 得 ,  

C 2   l —s i n   l —s i n  

s i n 『 -   +  
L  

厶  

] . 已 证   一 3 且   一   一 k + l 时  
J  

z +   )   c   + c 。 s (   +   )   c z   ] +  
分 

④ 式 成立 .  

z +  

)   + c o s (   +  
)  
厂  

由数学 归纳 法原理 , 当 m一3 , n —m ∈ N时 ④ 
式也 成 立. 由 ④ 易得 ⑤⑥ 成立 .   2   联 想 

厂 。 (   ) ] + c ; 『 - s i n (   +  
cos

) 厂 : (   ) +  

一 — . + , . z S o 一 . 2   L — 一 . + .   S O 一 . 2 L    
+ 

)  

(   +  

c 叶  卅号 )  
母“  ” 改 为一 个三 角 函数 C O S X, 可 得如下 结论 :   结论 2   已知 函 数 - 厂 。 ( z) 一t a n  (  > O ) , 设 

+c  一 s i n   z L 厂   ( z ) +C O S   x f 川( z ) ]  

- 厂   (  )   为  厂  (  )   的 导 数,   ∈   N,   则 

C  ̄ c o s ( z +  
¨   C 

1●● J

 

r 

)  z )  
+ 

c  s (   +  ) f o (   )  

 + 。 s  +  ) ( c  ∞   C { )  z )   +  c + 
+  ( c  
一 2 
厂  

+ 

+ 

O S (   ( C ; +c i ) f 。 ( z) +  + C

( C   +   ) ( c :   + c   ) 厂   一   ( z )  ̄ c o s ( z 十 号 )  

+ 

c   ) ^(  )+ c   C O S   x f… ( z)  

c  。 s (   +   ) , o ( z )   +   C 4 1 m f l ( 号 ) 一   厂   ( 号 ) 一q   。 (   ) +  C  ̄ + x   C O S (   +  )   +   q ,   厂   ( 号 ) + a   厂 s ( 号 ) 一 q   厂 s ( { ) 一 q   - 厂   (   ) +  c  ̄ + 1   c o s 『 -   +   ] , 2 (   )+ … +  
一  

(   + 等) ⑦ ,  

厂 s ( 号 ) + … + q   。 ,   — s (   ) 一 q   厂   — z ( 号 ) 一  C  ̄ + 1   c o s (   + 号 ) f k (   ) + c   厂 川 (   G   厂   一 (   ) + q   厂   ( 号 ) 一 o ⑧ .   而 对 ⑨ 的 右 端 求 导 得 s i n 『   +   ] ,  
证 明  用 数学 归纳 法证 明 ⑦.  
一0时 , C   c o s ( x) - 厂 0 (  ) 一s i n   z, ⑦ 成立 . 将  已 证  —k+ 1 时 ⑦ 也 成立 .  

此 式 左 端 求 导,  


[ C   C O S ( X)  ( z) ]   一 
C O S   - t ,f  (  )   一 

故 由数 学 归纳法 原理 ,   ∈ N时 ⑦ 成 立.  

s i n   ,n (  )  

+ 

令  =4 m,  一   代入 ⑦ , 即得 ⑧.  


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