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四川省成都七中实验学校2015-2016学年高一数学下学期期中试题

时间:

成都七中实验学校高 2015 级 2015-2016 学年(下)半期考试

数学试题

满分:150 分 时间:120 分钟

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。)

1、 sin15 cos15 ? ( )

A、 1 4

B、 1 2

C、 3 2

D、 3 4

2、已知数列1, 3, 5, 7,?, 2n ?1, 则 3 5 是它的( )

A、第 20 项

B、第 21项

3、下列命题正确的是( )

C、第 22 项

A、 a ? b ? a ? b

B、 a ? b ? a ? b

D、第 23项

C、 a ? 0 ? a ? 0

D、 a ? b ? a / /b

4、等差数列?an? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数 列?an? 的公差为( )

A、1

B、 2

C、 3

D、 4

? ? 5、若 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和, a2 ? a10 ? 4 ,则 S11 的值为( )

A、 44

B、33

C、 24

D、 22

6、函数 y ? ?3sin x ? 4cosx 的最小值为( )

A、 ?3

B、 ?4

C、 ?5

D、 ?7

7、在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 a2 ? b2 ? bc ? c2 ,则角 A ? ( )

A、 300

B、 600

C、1200

D、 600或1200

8、在 ABC 中, A ? 600 , a ? 3, b ? 2 ,则角 B ? ( )

A、 450 C、 450或1350

B、1350
D、以上答案都不对

9、 ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 ( AB ? AC) BC ? 0 ,则 ABC

的形状为 ( )

A、钝角三角形

B、等边三角形

C、直角三角形

D、等腰直角三角形

10、在 ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 1, S ABC ? 3 ,则 AB AC 等于( )

A、1

B、 2

C、 ?2

D、 ?2

11、已知菱形 ABCD的边长为 2 , ?BAD ? 1200 ,点 E、F 分别在边 BC、DC 上, BE ? ?BC , DF ? ?DC 。

若 AE AF ? 1,CE CF ? ? 2 ,则 ? ? ? ? ( ) 3

A、 1 2

B、 2 3

C、 5 6

D、 7 12

12、已知 ABC 的三个内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,若 b2 ? c2 ? a2 ,且

cos 2A?3sin A?1 ? 0 ,则 sin ?C ? A? ? 3 cos ?2A ? B? 的 取值范围为( )
2

经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。

A、

? ???

?

1 2

,

?

3? 4 ???

B、

? ???

?

1 2

,

?

3?

4

? ?

? C、 ?0,
?

3?

4

? ?

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分。)

13、设向量 a ? ?2,??,b ? ?? ?1,1? ,若 a / /b ,则 ? ? _____

D、

? ??

?

2 3

,

?

1 2

? ??

14、如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A、B ,灯塔 B 位于灯塔 A 的 正南方向。海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 750 方向,与 A
相距 3 2 海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 600 方向,与 B 相距 5 海里 的 C 处.则两艘轮船之间的距离为________海里。

15、数列 ?an ?满足: a1=1 ,且对任意的 m、n ? N* 都有: an+m=an+am+nm ,则 a100 ? ___

16、已知 D、E、F 分别是 ?ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且满足 AE ? 3 AC, AF ? 2 AB ,

4

3

? AD ? ? ?

AB

?

AC

? ?

??

?

R?



DF

?

?

? ?

BD sin

B

?

AD cos

B

? ?

?

?

?

R?



? | AB | cos B | AC | cos C ?

? | BD |

| AD | ?

DE ? DA ? DE ? DC ,则 | EF | ? ______ | BC |

三、解答题:(6 小题,共 70 分。) 17、(10 分) 已知| a |? 2 ,| b |? 3 , a 与 b 的夹角为120 。
(1)求| a ? 2b | 的值; (2)求 a ? 2b 在 a 方向上的投影.
18、(10 分)已知向量 OA ? ??1,3?,OB ? ?cos?, ?sin? ? ,且 ?AOB ? ? 。
2
(1)求 sin ?? ? 2? ? ? cos2 ? ;
sin 2? ? cos 2? ?1
(2)若? 是钝角,? ? ? 是锐角,且 sin ?? ? ? ? ? 3 ,求 sin ? 的值。
5
2经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。

19、(12 分)已知等差数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a3 ? a4 ? 12, S7 ? 49 。

(1)求数列?an? 的通项公式 an ;

(2)是否存在非零常数

c

使数列

? ? ?

Sn n?

c

? ? ?

为等差数列?若存在,请求出

c

;若不存在,请说明理由。

20、(12 分)已知 a、b、c 分别为 ABC 三个内角 A、B、C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c 。
(1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ABC 的面积为 3 ,证明: ABC 是正三角形。

21、(12 分)已知向量 u ? (sin x,cos x) , v ? (6sin x ? cos x,7sin x ? 2cos x) , 设函数 f (x) ? u ? v 。 (1)求函数 f (x) 的最大值及此时 x 的取值集合;
(2)在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 BA AC ? 0 , f ( A) ? 6 , 且 ABC 的面积为 3 , b ? 3 2 ,求 ABC 的外接圆半径 R 的大小。

? ? 22、(14 分)设数列?an? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, Sn ? nan ? 2n2 ? 2n n ? N* 。

(1)求证:数列?an? 为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式;

(2)是否存在自然数 n

,使得

S1

?

S2 2

?

S3 3

?

若不存在,请说明理由。

? Sn ? 2n ? 1124 ?若存在,求出 n 的值; n

(3)设 cn

?

2 n(an ?

7)

(n ?

N?)

, Tn

?

c1

?

c2

?

c3

? .... ?

cn (n ?

N?)

,若不等式 Tn

?

m 32

?m? Z ?

对n?

N ? 恒成立,

3经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。

求 m 的最大值。

成都七中实验学校高 2015 级 2015-2016 学年(下)半期考试

数学试题

满分:150 分 时间:120 分钟

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。)

1、 sin15 cos15 ? ( A )

A、 1 4

B、 1 2

C、 3 2

D、 3 4

2、已知数列1, 3, 5, 7,?, 2n ?1, 则 3 5 是它的( D )

A、第 20 项

B、第 21项

3、下列命题正确的是( C )

C、第 22 项

A、 a ? b ? a ? b

B、 a ? b ? a ? b

D、第 23项

C、 a ? 0 ? a ? 0

D、 a ? b ? a / /b

4、等差数列?an? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列?an? 的公差为( B )

A、1

B、2

C、 3

D、 4

? ? 5、若 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和, a2 ? a10 ? 4 ,则 S11 的值为( D )

A、 44

B、33

C、 24

D、 22

6、函数 y ? ?3sin x ? 4cosx 的最小值为( C )

A、 ?3

B、 ?4

C、 ?5

D、 ?7

7、在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若 a2 ? b2 ? bc ? c2 ,则角 A ? ( B )

A、 300

B、 600

C、1200

D、 600或1200

8、在 ABC 中, A ? 600 , a ? 3, b ? 2 ,则 B 等于( A )

A、 450 C、 450或1350

B、1350
D、以上答案都不对

9、 ABC 的三个内角 A、B、C 成 等差数列,且 ( AB ? AC) BC ? 0 ,则 ABC

的形状为 ( B )
A、钝角三角形 B、等边三角形

C、直角三角形 D、等腰直角三角形

10、在 ABC 中,已知 AB ? 4, AC ? 1, S ABC ? 3 ,则 AB AC 等于( D )

A、1

B、 2

C、 ?2

D、 ?2

11、已知菱形 ABCD的边长为 2 , ?BAD ? 1200 ,点 E、F 分别在边 BC、DC 上, BE ? ?BC , DF ? ?DC 。

若 AE AF ? 1,CE CF ? ? 2 ,则 ? ? ? ? ( C ) 3

A、 1 2

B、 2 3

C、 5 6

D、 7 12

解:以点 B 为坐标原点,以 BC 边所在直线为 x 轴建系。

? ? ? ? ? ? 易得 B?0,0?,C ?2,0?, A 1, 3 , D 3, 3 , E ?2?,0?, F 3 ? ?, 3 ? 3?

4经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。

? ? ? ? ? ? 则 AE ? 2? ?1, ? 3 , AF ? 2 ? ?, ? 3? ,CE ? ?2? ? 2,0?,CF ? 1? ?, 3 ? 3?

所以

?? 2?
?
???? 2?

?1??2 ? ? 2??1?

? ?

? ?

? 3? ? 1 ??2 ?
3

???2?? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ?? ??

?? ? ?2
3

3 2

?

?

?

?

?

5 6

另解:因为? BAD 120 ,所以 AB?AD AB AD cos120 = - 2 .

因为 BE ? ?BC ,所以 AE = AB + l AD , AF = mAB + AD .

( ) ( ) 因为 AE ?AF 1,所以 AB + l AD ? mAB AD = 1,即 2l + 2m- l m= 3 ① 2

同理可得 ?? ? ? ? ? ? ? 2 ②, ①+②得 ? ? ? ? 5 l + m= 5 .

3

6

6

12、已知 ABC 的三个内角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,若 b2 ? c2 ? a2 ,且

cos 2A?3sin A?1 ? 0 ,则 sin ?C ? A? ? 3 cos ?2A ? B? 的取值范围为( A )
2

A、

? ???

?

1 2

,

?

3? 4 ???

B、

? ???

?

1 2

,

?

3?

4

? ?

二、填空题:( 每小题 5 分,共 20 分.)

? C、 ?0,
?

3?

4

? ?

D、

? ??

?

2 3

,

?

1 2

? ??

13、设向量 a ? ?2,??,b ? ?? ?1,1? ,若 a / /b ,则 ? ? _____ ?1或2
14、如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A、B ,灯塔 B 位于灯塔 A 的 正南方向。海上停 泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 750 方向,与 A

相距 3 2 海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 600 方向,与 B 相距 5 海里 的 C 处.则两艘轮船之间的距离为________海里。
解: 连接 AC,∵ AB=BC,∠ABC=60°,∴AC=5;

在△ACD 中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45°,由余弦定理得 CD= 13。

15、数列 ?an ?满足: a1=1 ,且对 任意的 m、n ? N* 都有: an+m=an+am+nm ,则 a100 ? ___

解:令 m ? 1 则 an?1 ? an ?1? n ? an?1 ? an ? n ?1 ?

? ? ? ? a100 ? a100 ? a99 ? a99 ? a98 ? ? ?a3 ? a2 ? ? ?a2 ? a1 ? ? a1 ?100 ? 99 ? ? 2 ?1? 5050

16、已知 D、E、F 分别是 ?ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且满足 AE ? 3 AC, AF ? 2 AB ,

4

3

? AD ? ? ?

AB

?

AC

? ?

??

?

R?



DF

?

?

? ?

BD sin

B

?

AD cos

B

? ?

?

?

?

R?



? | AB | cos B | AC | cos C ?

? | BD |

| AD | ?

DE ? DA ? DE ? DC 。则 | EF | ? ____ | BC |

解:

AD

BC

? ???
?|

AB AB |

BC cos B

?

|

AC AC |

BC cos C

? ?
?

?

?

? ?
? ?

?

AB BC cos B ?
| AB | cos B

AC BC cos C ?

??0

| AC | cos C

? ?

5经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。

? AD ? BC 即 AD ? BC

AB

DF

?

? ??

AB

BD sin B

?

AB

AD cos B ? ?

? | BD |

| AD | ?

? ? AB BD cos B sin B AB AD cos ?BAD cos B ?

? ??

?

?

? ?

| BD |

| AD |

? ?

? ? AB BD cos B sin B AB AD sin B cos B ?

? ??

?

??0

? ?

| BD |

| AD |

? ?

? AB ? DF 即 AB ? DF

? ? DE ? DA ? DE ? DC ?DE ? DA ? DC ? 0 ? DE ?CA ? 0 ? DE ? CA 即 ?DE ? CA

连 接 EF DE ? CA, DF ? AB ?A、E、D、F 四点共圆 ??AEF ? ?ADF

又 AD ? BC 所以 ?B ? ?ADF 从而 ?B ? ?AEF 故 AEF ABC

? EF ? AE ? AF BC AB AC

AE ? 3 AC, AF ? 2 AB

4

3

?

3 4

AC

?

2 3

AB

?

AC

?

2

2 AB

AB AC

3

?

EF

?

3? 4

22 3

AB

?

2

BC

AB

2

三、解答题:(6 小题,共 75 分.)

17、(10 分) 已知| a |? 2 ,| b |? 3 , a 与 b 的夹角为120 。

(1)求| a ? 2b | 的值;

(2)求 a ? 2b 在 a 方向上的投影.

解:(1)| a ? 2b | =

2

2

a +4a ?b+4b =

22 +4 ? 2 ? 3? cos120 +4 ? 32

=2

7.

(2)

a

?

2b



a

上的投影为(a

?

2b)? a

?

2
a

?

2b ? a

?

4

?

2? 2?3? cos120

? ?1.

|a|

|a|

2

18、(10 分)已知向量 OA ? ??1,3?,OB ? ?cos?, ?sin? ? ,且 ?AOB ? ? 。
2

(1)求 sin ?? ? 2? ? ? cos2 ? ;
sin 2? ? cos 2? ?1

(2)若? 是钝角,? ? ? 是锐角,且 sin ?? ? ? ? ? 3 ,求 sin ? 的值。
5

解:(1) ?AOB ? ? 2

?OA OB ? 0

?? cos? ? 3sin? ? 0 ? tan? ? ? 1 , 3

sin ?? ? 2? ? ? cos2 ?
sin 2? ? cos 2? ?1

?

2sin? cos? ? cos2 ? 2sin ? cos? ? 2 cos2 ?

?

2 tan? ?1 2 tan? ? 2

?

1 4

6经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。

(2)∵? 是钝角, tan? ? ? 1 , ?cos? ? ? 3 10 ,sin? ? 10 ,

3

10

10

∵? ? ? 为锐角, sin ?? ? ? ? ? 3 , ?cos?? ? ? ? ? 4 。

5

5

?sin

?

?

sin

???

? ??

?

?

???

?

sin ?

cos ??

?

?

?

?

cos?

sin ??

?

?

?

?

13 10 50



19、(12 分)已知等差数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a3 ? a4 ? 12, S7 ? 49 。

(1)求数列?an? 的通项公式 an ;

(2)是否存

在非零常数

c

使数列

? ? ?

Sn n?

c

? ? ?

为等差数列?若存在,请求出

c

;若不存在,请说明理由。

解:(1)设等差数列?an? 的公差为 d ,

依题意 得,

??2a1 ? ??7a1

? ?

5d ? 12 7?6d ?
2

49

?

???ad1

?1 ?2

?

an

?

2n

?1.

………………6 分

(2)由(1)知,

Sn

?

n

??1 ?

?2n
2

?1???

?

n2



假设存在非零常数

c

使数列

? ? ?

Sn n?

c

? ? ?

为等差数列,

则 1 , 4 , 9 成等差数列. 1?c 2?c 3?c

? 1 ? 9 ? 2? 4 1?c 3?c 2?c

解得 c ? 0 矛盾

故不存在非零常数

c

使数列

? ? ?

Sn n?

c

? ? ?

为等差数列。………………12



20、(12 分)已知 a、b、c 分别为 ABC 三个内角 A、B、C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c 。

(1)求 A ;(2)若 a ? 2 , ABC 的面积为 3 ,证明: ABC 是正三角形。
解:(1)依题意及正弦定理得:

sin Acos C ? 3 sin Asin C ? sin B ? sin C

? sin Acos C ? 3 sin Asin C ? sin( A ? C) ? sin C

? 3 sin Asin C ? cos Asin C ? sin C
sin C ? 0 ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin(A ? 30? ) ? 1 2
00 ? A ? 1800 ??300 ? A ? 300 ? 1500 ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60? (2) S ? 1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4
2
由余弦定理得: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? bc ? ?b ? c?2 ? 3bc

? 4 ? ?b ? c?2 ?12 ? b ? c ? 4 ? b ? c ? 2

A ? 60? ? B ? C ? 600 故 ?ABC 是正三角形。

7经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。

21、(12 分)已知向量 u ? (sin x,cos x) , v ? (6sin x ? cos x,7sin x ? 2cos x) ,设函数 f (x) ? u ? v 。 (1)求函数 f (x) 的最大值及此时 x 的取值集合;
(2)在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 BA AC ? 0 , f ( A) ? 6 ,

且 ?ABC 的面积为 3 , b ? 3 2 ,求 ?ABC 的外接圆半径 R 的大小。

解:(1) f (x) ? u ? v ? sin x(6sin x ? cos x) ? cos x(7sin x ? 2cos x) ? 6sin2 x ? 2cos2 x ? 8sin x cos x

? 4sin 2x ? 4cos 2x ? 2 ? 4 2 sin(2x ? ? ) ? 2 ……………………4 分 4

令 2x ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) 得 x ? 3? ? k? (k ? Z ) ,

42

8

? f ( x)max ? 4

2 ? 2 ,此时 x 的集合为{x | x ? 3? ? k? ,k ? Z} ……………………6 分 8

(2 )由(I)可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ? ? ) ? 2 ? 6 ?sin(2 A ? ? ) ? 2 。

4

42

因为 BA AC ? 0 ? BA AC cos?? ? A? ? 0 ? cos A ? 0 ? 0 ? A ? ? ,
2

所以 ? ? ? 2 A ? ? ? 3? 。

4

44

从而 2 A ? ? ? ? ,? A ? ? …………………………………8 分

44

4

1

1

2

S?ABC

?

bc sin 2

A

?

2

?3

2c ?

2

?3

?c ? 2 ……… …………10 分

由余弦定理得?a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 18 ? 4 ? 2 ? 3 2 ? 2 ? 2 ? 10 ? a ? 10 2

由正弦定理得 2R ? a ? 10 ? 2 5 ? R ? 5 sin A 2 2

所以 ?ABC 的外接圆半径 R ? 5 …………………12 分

? ? 22、(14 分)设数列?an? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, Sn ? nan ? 2n2 ? 2n n ? N* 。

(1)求证:数列?an? 为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式;

(2)是否存在自然数 n

,使得

S1

?

S2 2

?

S3 3

?

若不存在,请说明理由。

? Sn ? 2n ? 1124 ?若存在,求出 n 的值; n

(3 )设 Cn

?

2 (n ? N ? ) n(an ? 7)

, Tn

?

c1

? c2

? c3

? .... ? cn (n ? N ? ) ,若不等式Tn

?

m ?m?Z?
32

对 n ? N ? 恒成立,求 m 的最大值。
? ? 解 (1)由 Sn ? nan ? 2n2 ? 2n n ? N* ,

8经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。

得 Sn?1 ? ?n ?1? an?1 ? 2?n ?1?2 ? 2?n ?1??n ? 2? 相减得 an ? nan ? ?n ?1? an?1 ? 4n ? 4 ? ?n ?1?an ??n ?1?an?1 ? 4?n ?1? ? an ? an?1 ? 4?n ? 2? 故数 列?an? 是以1为首项,以 4 为公差的等差数 列。
? ? 所以 an ?1? ?n ?1?? 4 ? 4n ? 3 n? N*

? ? Sn

? n ?a1 ? an ? ? 2n2 ? n
2

n? N*

………4 分

? ? (2)由(1)知 Sn ? 2n ?1 n ? N* , n

所以

S1

?

S2 2

?

S3 3

?

? Sn ? 2n ? 1? 3 ? 5 ? n

? ?2n ?1? ? 2n ? n ??1? ?2n ?1??? ? 2n ? n2 ? 2n
2

由 n2 ? 2n ? 1124 得 n ?10 ,即存在满足条件的自然数 n ?10 ………………9 分

(3) cn

?

2 n(an ?

7)

?

1 2n(n ?1)

?

1 2

(1 n

?

1) n ?1

Tn

?

c1

?

c2

?

c3

? .... ?

cn

?

1 2

???(1 ?

1)? 2

(1 2

?

1) 3

? ... ? ( 1 n

?

n 1? 1) ???

?

1 2

(1 ?

1) n ?1

?

n 2(n ?1)

n ?1

n

1

Tn?1 ? Tn ? 2?n ? 2? ? 2?n ?1? ? 2?n ? 2??n ?1? ? 0

?Tn ? Tn?1 即 Tn 单调递增

故 ?Tn

? min

?

T1

?

1 4

要使 Tn

?

m 32

恒成立,只需

m 32

?

1 4

成立,即

m

?

8?m? Z ?



故符合条件的 m 的最大值为 7 。 …………………………14 分

9经过广大教师的精心整理和编辑,结合近几年考试命题范围数奋战出了上万套实用性参很强于给同学们复习备。


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