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广东省2012年广州二模数学(理科)试题word版

时间:2012-04-26


试卷类型:B

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试 二) 年广州市普通高中毕业班综合测试(二 理科) 数 学(理科 理科
2012.4 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 l20 分钟。 注意事项: 1.答卷前。考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢 笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试 室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相 应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信 息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在 试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题 目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上 新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
1 参考公式:锥体的体积公式 V = Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分.满分 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的 1.已知 i 为虚数单位,复数 z1 = a + i , z2 = 2 ? i ,且 | z1 |=| z2 | ,则实数 a 的值为 A.2 B.-2 C.2 或-2 D.±2 或 0

2.设集合 A={(x,y)|2x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=4},满足 C ? (A I B)的集合 C 的

个数为 A.1

B.2

C .3

D.4

3.已知双曲线 x 2 + my 2 = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 A. 4 B. 1 4 C. ? 1 4 D.-4

4.已知等差数列{ an }的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 l5,所有偶数

项之和为 25,则这个数列的项数为 A.10 B.20 C.30 D.40
5.已知两条不同直线 m 、 l ,两个不同平面 α 、 β ,在下列条件中,可得出 α ⊥ β

-1-

的是 A. m ⊥ l , l ∥ α , l ∥ β C. m ∥ l , m ⊥ α , l ⊥ β B. m ⊥ l , α I β , m ? α D. m ∥ l , l ⊥ β , m ? α

6.下列说法正确的是 1 A.函数 f ( x ) = 在其定义域上是减函数 x B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C . 命 题 “ ?x ∈ R,x 2 + x + 1 > 0 ” 的 否 定 是 “ ?x ∈ R,x 2 + x + 1 < 0 ” D.给定命题 P、q,若 P ∧ q 是真命题,则 ? P 是假 命题 7.阅读图 l 的程序框图,该程序运行后输出的 A 的值 为 B.6 C .7 D.8 A.5 8 . 已 知 实 数 a , b 满 足 a 2 + b 2 ? 4a + 3 = 0 , 函 数 f ( x ) = a sin x + b cos x + 1 的 最 大 值 记 为 ? ( a,b ) , 则

? ( a,b ) 的最小值为
A. 1 B.2 C. 3 + 1 D. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某社区有 600 个家庭,其中高收入家庭 150 户,中等收入家庭 360 户,低收人 家庭 90 户,为了调查购买力的某项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 l00 的样本,则中等收入家庭应抽取的户数是 。
10.( 2 x ? 1 6 ) 展开式中的常数项是 x (用数字作答)。

11.已知不等式 | x ? 2 | >1 的解集与不等式 x 2 + ax + b > 0 的解集相等,则 a + b 的值

。 为 12.在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 与 AC 相交于点 F,若 uuu r uuu r uuur m EF = m AB + n AD( m,n ∈ R ) ,则 的值为 。 n
13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点 | OP |= 2 (点 O 为坐标原点),点

M(-1,0),则 cos ∠ OPM 的取值范围是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)



-2-

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC(顶点 A,B,C 按顺时针方向排列)的顶点 A,B 的极坐标分别为 π 7π (2, ),(2, ),则顶点 C 的极坐标为 。 6 6 15.(几何证明选讲选做题)如图 2,AB 是圆 O 的 直径,延长 AB 至 C,使 BC=2OB,CD 是圆 O 的 AD 切线,切点为 D,连接 AD,BD,则面 的值 BD . 为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin( ω x ? 和最低点的坐标分别为(
(1)求 A 和 ω 的值; (2)已知 α ∈ (0,

π

5π 11π ,2 ) ( ,-2) 。 12 12 4 ,求 f ( α ) 的值. 5

3

)( A > 0 ,ω > 0 ) 在某一个周期内的图象的最高点

π

2 17.(本小题满分 l2 分) 如图 3,A,B 两点之间有 6 条网线连接,每条 网线能通过的最大信息量分别为 1, , , , , . 1 2 2 3 4 从 中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设

),且 sin α =

这三条网线通过的最大信息量之和为 ξ .
(1)当 ξ ≥6 时,则保证线路信息畅通,求线路信

息畅通的概率;
(2)求 ξ 的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 l4 分) 某 建 筑 物 的 上 半 部 分 是 多 面 体 MN—ABCD , 下 半 部 分 是 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1(如图 4). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 5, 其中正(主) 视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求直线 AM 与平面 A,B,C,D,所成角的正弦值; (2)求二面角 A—MN—C 的余弦值; (3)求该建筑物的体积.

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19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2: x 2 = 4 y 有一个相同的焦点 F1,直线 l : y = 2 x + m 与抛物线 C2 只有一个公共点.
(1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标. 20.(本小题满分 l4 分)

1 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax 2 + x,a ∈ R. 2 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x ) 的极值大于 0?若存在,求 a 的取值范围;

若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 l4 分)
1 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (-1 , 1) ,且 f ( ) = 1 ,对任意 x, y ∈ ( ?1,1 ) ,都有 2 f ( x )? f ( y ) = f (

2an x? y 1 ) ,数列{ an }满足 a1 = ,an +1 = ( n ∈ N * ). 2 1 ? xy 2 1 + an

(1)证明函数 f ( x ) 是奇函数; (2)求数列{ f ( an ) }的通项公式;

(3)令 An =

n n a1 + a2 + ... + an n ?1 ( n ∈ N * ) ,证明:当 n ≥ 2 时, | ∑ ai ? ∑ A1 |< 。 n 2 i =1 i =1

-4-

数学(理科) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 B

小题, 小题, 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 题是选做题,考生只能选做一题. 小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 4 9. 60 10. ?160 11. ?1 12. ?2

? ? 13. ? 2 ,1? ? 2 ?

14. ? 2 3, 2π ? ? ? 3 ? ? 三、解答题: 解答题:

15. 2 。说明 说明:第 14 题的答案可以是 ? 2 3, 说明 ?

?

2π ? + 2k π ? ( k ∈ Z ) . 3 ?

16. 12 分) (本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函 ( 数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解:∵函数 f ( x ) 的图象的最高点坐标为 ? 5π , 2 ? , ∴ A = 2 . … 1 分 ? ? ? 12 ?

11π 5π 依题意,得函数 f ( x ) 的周期 T = 2 ? ? ? ? 12 12
(2)解:由(1)得 f ( x ) = 2sin ? 2 x ? π ? . 解 ? ? 3? ? ∴ cos α = 1 ? sin 2 α =
cos 2α = 1 ? 2 sin 2 α = ? 7 25

2π ? = 2 . …… 3 分 ? = π ,…… 2 分∴ ω = T ?

… 4 分∵ α ∈ ? 0,

4 ? π? ? ,且 sin α = , 5 ? 2?

3 24 . …… 5 分 ∴ sin 2α = 2 sin α cos α = , …… 7 分 5 25 . … 9 分 ∴ f (α ) = 2sin ? 2α ? π ? … 10 ? ?
? 3?



π π? ? = 2 ? sin 2α cos ? cos 2α sin ? …… 11 分 3 3? ?

=

24 + 7 3 .… 12 分 25

17. (12 分)(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识, 考查 或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解: 从 6 条网线中随机任取三条网线共有 C6 = 20 种情况.
3

……… 1 分

∵ 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 6 , ∴ P (ξ = 6 ) =

1 1 1 + C 2 C2 1 = .…… 2 分 3 C6 4

1 1 ∵ 1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 3 = 7 ∴ P (ξ = 7 ) = C2 C2 + 1 = 1 .…… 3 分∵ 1 + 3 + 4 = 2 + 2 + 4 = 8 , 3

C6

4

-5-

∴ P (ξ = 8 ) =

1 1 C2 + 1 3 .…… 4 分∵ 2 + 3 + 4 = 9 , ∴ P (ξ = 9 ) = C2 = 1 .……… 5 分 = 3 3 20 C6 C6 10

∴ P ( ξ ≥ 6 ) = P ( ξ = 6 ) + P (ξ = 7 ) + P (ξ = 8 ) + P ( ξ = 9 ) 答: 线路信息畅通的概率为

=

1 1 3 1 3 + + + = . 4 4 20 10 4

3 .…… 6 分 4
1 ∵ 1 + 1 + 2 = 4 , ∴ P (ξ = 4 ) = C2 = 1 .… 8 分 3

(2)解: ξ 的取值为 4,5, 6, 7,8,9 .…… 7 分 解

C6

10

∵ 1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2 = 5 ,∴ P (ξ = 5 ) = 1 + C = 3 . 3
1 2

…… 9 分

C6

20

∴ ξ 的的分布列为:

ξ
P
…… 10 分

4 1 10

5 3 20

6 1 4

7 1 4

8 3 20

9 1 10


Eξ = 4 ×

1 3 1 1 3 1 + 5× + 6× + 7 × + 8× + 9× 10 20 4 4 20 10

… 11 分 = 6.5 .…… 12 分

18.(14 分)(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识, ( 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力) ( 垂足为 O , 连接 AO , ∠MAO 是直线 AM 与平面 ABCD 则 解法 1:1) MO ⊥ 平面 ABCD , : 作 所成的角. …… 1 分 由于平面 ABCD / / 平面 A1 B1C1 D1 ,

故 ∠MAO 是直线 AM 与平面 A1 B1C1 D1 所成的角.… 2 分作 MP ⊥ AB , 垂足为 P , 连接 PO , ∵ AB ? 平面 ABCD ,∴ MO ⊥ AB . ∵ MO I MP = M , MO ? 平面 MOP , MP ? 平面

MOP ,∴ AB ⊥ 平面 MOP . …… 3 分
由题意知 MO = PO = AP = 1, AD = 2, AA1 = 4 ,在 Rt△ POM 中, PM = PO 2 + MO 2 = 2 , 在 Rt△ APM 中, AM = AP 2 + PM 2 = 3 ,在 Rt△ AOM 中,sin ∠MAO = MO = 1 = 3 , AM 3 3 ∴直线 AM 与平面 A1 B1C1 D1 所成角的正弦值为 3 .…… 5 分
3

M D A O P P1 Q

N Q1 B C

(2)延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ, 由(1)知 AB ⊥ 平面 MOP ∵ MQ ? 平面 MOP , ∴ AB ⊥ MQ .∵ MN / / AB ,

-6-

D1 A1 B1

C1

∴ MN ⊥ MP, MN ⊥ MQ . …………… 6 分 ∴ ∠PMQ 是二面角 A ? MN ? C 的平面角. 在△ PMQ 中, MQ = MP =
°

…… 7 分

2, PQ = 2 ,∵ MP 2 + MQ 2 = 4 = PQ 2 ,

∴ ∠PMQ = 90 . ……… 8 分∴二面角 A ? MN ? C 的余弦值为 0 . … 9 分 (3)作 NP / / MP 交 AB 于点 P ,作 NQ1 / / MQ 交 CD 于点 Q1 , 1 1 由题意知多面体 MN ? ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M ? APQD 和

N ? P BCQ1 和一个直三棱柱 MPQ ? NPQ1 . 1 1

1 1 2 AP AD MO = × 1× 2 × 1 = , ………… 10 分 3 3 3 1 1 直三棱柱 MPQ ? NPQ1 的体积为 V2 = MP MQ MN = × 2 × 2 × 2 = 2 ,…11 分 1 2 2 2 10 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V = 2V1 + V2 = 2 × + 2 = . …………… 12 分 3 3
四棱锥 M ? APQD 的体积为 V1 = 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积为 V3 = AB BC AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 . ……… 13 分 ∴建筑物的体积为 V + V3 =

106 . 3

…………… 14 分

解法 2:(1)以点 D 为原点, DA 所在直线为 x 轴, DC 所在直线为 y 轴, D1 D 所在直线为

z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz (如图),作 MO ⊥ 平面 ABCD ,垂足为 O ,
作 OP ⊥ AB ,垂足为 P ,依题意知 MO = OP = AP = 1 , AD = 2, AA1 = 4 , 则 D ( 0, 0, 0 ) , A ( 2, 0, 0 ) , M (1,1,1) , N (1,3,1) , A1 ( 2,0, ?4 ) . …………… 1 分

z

uuuu r ∴ AM = ( ?1,1,1) .

… 2 分∵ AA1 ⊥ 平面 A1 B1C1 D1 ,

Q D A x

M

N

Q1 C y B

∴平面 A1 B1C1 D1 的一个法向量为 AA1 = ( 0, 0, ?4 ) .……… 3 分 设直线 AM 与平面 A1 B1C1 D1 所成角为 θ ,

uuur

O P

uuuu r AM 则 sin θ = uuuu r AM

uuur AA1 uuur = AA1

4 3. = 3 3×4

…… 4 分

D1
∴直线 AM 与平面 A1 B1C1 D1 所成角的正弦值为

C1 B1

3 .………… 5 分 A1 3

-7-

(2)由(1)知 MN = ( 0, 2, 0 ) , DM = (1,1,1) ,设平面 ABNM 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,

uuuu r

uuuu r

uuuu r uuuu r ?? x + y + z = 0, 由 n1 MN = 0 , n1 AM = 0 ,得 ? 2 y = 0. ?
∴平面 ABNM 的一个法向量为 n1 = (1, 0,1) . …… 6 分

令 x = 1 ,则 z = 1, y = 0 .

设平面 CDMN 的法向量为 n2 = ( x, y, z ) , n2 DM = 0 , 2 MN = 0 , ? 由 n 得

uuuu r

uuuu r

? x + y + z = 0, ? 2 y = 0.

令 x = 1 ,则 z = ?1, y = 0 . ∴平面 CDMN 的一个法向量为 n2 = (1, 0, ?1) .… 7 分 ∵ n1

n2 = 1× 1 + 0 + 1× ( ?1) = 0 ,∴平面 ABNM ⊥ 平面 CDMN .…… 8 分
……… 9 分

∴二面角 A ? MN ? C 的余弦值为 0 .

(3)如图将多面体 MN ? ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ ? BCQ1 , 依题意知 AQ = DQ = BQ1 = CQ1 =

2, MQ = NQ1 = 1 , AD = 2 , AA1 = 4 ,

多面体 MN ? ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积减去两个等体积的三 棱锥 M ? ADQ 和 N ? BCQ1 的体积.∵ AQ 2 + DQ 2 = 4 = AD 2 ,∴ ∠AQD = 90° . ∴直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积为 V1 = 1 AQ DQ AB = 1 × 2 × 2 × 4 = 4 ,……… 10 2 2 分 三棱锥 M ? ADQ 的体积为 V2 =

1 1 1 1 1 AQ DQ MQ = × × 2 × 2 × 1 = .…… 11 分 3 2 3 2 3
2 10 = . 3 3
…… 12 分

∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V = V1 ? 2V2 = 4 ?

长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积为 V3 = AB CD AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 . … 13 分 ∴建筑物的体积为 V + V = 106 . 3
3

…… 14 分

19. (14 分)(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函 数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1:由 ? 解

? y = 2 x + m, 2 消去 y ,得 x ? 8 x ? 4m = 0 . 2 ? x = 4y
2

…… 1 分

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共 ∴ ? = 8 + 4 × 4m = 0 ,解得 m = ?4 . ∴直线 l 的方程为 y = 2 x ? 4 .…… 4 分

…… 3 分

-8-

解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) , 由 y = ∴直线 l 的斜率 k = y '

1 2 1 x ,得 y ' = x , 4 2

x = x0

=

1 1 x0 . …… 1 分 依题意得 x0 = 2 ,解得 x0 = 4 .… 2 分 2 2
∵点 ( x0 , y0 ) 在直线 l 上, …… 4

把 x0 = 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 = 4 . ∴ 4 = 2 × 4 + m ,解得 m = ?4 . 分 (2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 ( 0,1) , 解法

…… 3 分 ∴直线 l 的方程为 y = 2 x ? 4 .

依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ( 0,1) , F2 ( 0, ?1) . 设点 F1 ( 0,1) 关于直线 l 的对称点为 F ( x0 , y0 ) ,
' 1

…… 5 分
y

? y0 ? 1 × 2 = ?1, ? x = 4, x0 则? …… 7 分解得 ? 0 ? ? ? y0 = ?1. ? y0 + 1 = 2 × x0 ? 4. ? 2 ? 2
∴点 F1 ( 4, ?1) .
'

F1 O F2 P0

P x F'1

……… 8 分

' ∴直线 l 与直线 F1 F2 : y = ?1 的交点为 P0 ? 3 , ?1? . ? ? ?2 ? 由椭圆的定义及平面几何知识得:

……… 9 分

椭圆 C1 的长轴长 2a = PF1 + PF2 = PF1' + PF2 ≥ F1' F2 = 4 ,…… 11 分 其中当点 P 与点 P0 重合时,上面不等式取等号. ∴ a ≥ 2 . ∴ e =
2 2

1 1 ≤ . a 2
?2 ?

故当 a = 2 时, emax = 1 … 12 分此时椭圆 C1 的方程为 y + x = 1 ,点 P 的坐标为 ? 3 , ?1? .… 14 ? ?
2

4

3

分解法 2: 解法 ∵抛物线 C2 的焦点为 F1 ( 0,1) , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ( 0,1) , F2 ( 0, ?1)

5 分设椭圆 C1 的方程为

y2 x2 + 2 = 1( a > 1) , a2 a ? 1

… 6分

? y = 2 x ? 4, 由 ? y2 消去 y ,得 ( 5a 2 ? 4 ) x 2 ? 16 ( a 2 ? 1) x + ( a 2 ? 1)(16 ? a 2 ) = 0 .(*) … 7 分 ? x2 =1 ? 2 + 2 a ?1 ?a

由 ? = ?16 a 2 ? 1 ? ? 4 5a 2 ? 4 a 2 ? 1 16 ? a 2 ≥ 0 , ? ? 得 5a ? 20a ≥ 0 .
4 2

(

)

2

(

)(

)(

)

…… 8 分

……… 9 分

解得 a ≥ 4 .
2

-9-

∴a ≥ 2. ∴e =

…………… 10 分 …………… 11 分

1 1 ≤ . a 2 1 y 2 x2 ,此时椭圆 C1 的方程为 + = 1. 2 4 3

当 a = 2 时, emax =

…………… 12 分

把 a = 2 代入方程(*) ,解得 x =

3 , y = ?1 . 2

…………… 13 分

∴点 P 的坐标为 ?

?3 ? , ?1 ? . ?2 ?

…………… 14 分

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化 归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0, +∞ ) . 解 …………… 1 分

f ′( x) =

1 ax 2 ? x ? 1 . ? ax + 1 = ? x x
1+ x ' ,∵ x > 0, ∴ f ( x ) > 0 x

…………… 2 分

① 当 a = 0 时, f ′ ( x ) =

∴ 函数 f ( x ) 单调递增区间为 ( 0, +∞ ) . ② 当 a ≠ 0 时,令 f ′ ( x ) = 0 得 ? ∵ x > 0, ∴ ax 2 ? x ? 1 = 0 . (ⅰ)当 ? ≤ 0 ,即 a ≤ ?

…………… 3 分

ax 2 ? x ? 1 = 0, x

∴ ? = 1 + 4a .

1 时,得 ax 2 ? x ? 1 ≤ 0 ,故 f ′ ( x ) ≥ 0 , 4
…………… 4 分

∴ 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0, +∞ ) . (ⅱ)当 ? > 0 ,即 a > ?

1 时,方程 ax 2 ? x ? 1 = 0 的两个实根分别为 4

x1 =
若?

1 ? 1 + 4a 1 + 1 + 4a , x2 = . 2a 2a

…………… 5 分

1 < a < 0 ,则 x1 < 0, x2 < 0 ,此时,当 x ∈ ( 0, +∞ ) 时, f ′ ( x ) > 0 . 4
…………… 6 分

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0, +∞ ) ,

- 10 -

若 a > 0 ,则 x1 < 0, x2 > 0 , 此时,当 x ∈ ( 0, x2 ) 时, f ′ ( x ) > 0 ,当 x ∈ ( x2 , +∞ ) 时, f ′ ( x ) < 0, ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? ? ?

? 1 + 1 + 4a ? 1 + 1 + 4a ? , +∞ ? . ? ,单调递减区间为 ? ? ? ? 2a 2a ? ? ?
…………… 7 分

综上所述,当 a > 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 + 1 + 4a ? ? ,单调递减区间 ? ? 2a ? ?

为?

? 1 + 1 + 4a ? , +∞ ? ; ? ? 2a ? ?

当 a ≤ 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ( 0, +∞ ) ,无单调递减区间. ………… 8 分 (2)解:由(1)得当 a ≤ 0 时,函数 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上单调递增,故函数 f ( x ) 无极值; 解 …………… 9 分 当 a > 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 + 1 + 4a ? ? ,单调递减区间为 ? ? 2a ? ?

? 1 + 1 + 4a ? , +∞ ? ; ? ? ? 2a ? ?
则 f ( x ) 有极大值,其值为 f ( x2 ) = ln x2 ?
2 2 而 ax2 ? x2 ? 1 = 0 ,即 ax2 = x2 + 1 ,

1 2 1 + 1 + 4a . … 10 分 ax2 + x2 ,其中 x2 = 2 2a

x2 ? 1 . 2 x ?1 1 1 设函数 h( x ) = ln x + ( x > 0) ,则 h ' ( x ) = + > 0 , 2 x 2 x ?1 则 h( x ) = ln x + 在 ( 0, +∞ ) 上为增函数. 2
∴ f ( x2 ) = ln x2 + 又 h(1) = 0 ,则 h( x ) > 0 等价于 x > 1 . ∴ f ( x2 ) = ln x2 +

…………… 11 分

…………… 12 分

x2 ? 1 > 0 等价于 x2 > 1 . 2
2

…………… 13 分

即在 a > 0 时,方程 ax ? x ? 1 = 0 的大根大于 1, 设 ? ( x ) = ax 2 ? x ? 1 ,由于 ? ( x ) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点 (0, ?1) ,对称

- 11 -

轴x=

1 > 0 ,则只需 ? (1) < 0 ,即 a ? 1 ? 1 < 0 ,解得 a < 2 ,而 a > 0 , 2a
……………… 14 分

故实数 a 的取值范围为 ( 0, 2 ) . 说明:若采用下面的方法求出实数 说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分.

1.由于

1 + 1 + 4a 1 1 1 + 4a 1 1 1 4 = + = + + 在 ( 0, +∞ ) 是减函数, 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a



1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a = 1 时, a = 2 ,故 > 1 的解集为 ( 0, 2 ) , 2a 2a

从而实数 a 的取值范围为 ( 0, 2 ) .

2.直接解不等式

1 + 1 + 4a > 1 ,而 a > 0 ,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为 2a

( 0, 2 ) .
21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:由于对任意 x, y ∈ ( ?1,1) ,都有 f ( x ) ? f ( y ) = f ? 解 令 x = y = 0 ,得 f ( 0 ) ? f ( 0 ) = f ? 解得 f ( 0 ) = 0 . 令 x = 0 ,得 f ( 0 ) ? f ( y ) = f ? ∵ f ( 0) = 0 , ∴ 0 ? f ( y ) = f ( ? y ) ,即 f ( ? y ) = ? f ( y ) . ∴函数 f ( x ) 是奇函数. (2)解:先用数学归纳法证明 0 < an < 1 . 解 ① 当 n = 1 时, a1 = …………… 2 分

? x? y ? ?, ? 1 ? xy ?

? 0?0 ? ? = f ( 0) , ? 1? 0× 0 ?
…………… 1 分

? 0? y ? ? = f (? y) , ?1? 0× y ?

…………… 3 分

1 ,得 0 < a1 < 1 , 结论成立. 2

- 12 -

② 假设 n = k 时, 结论成立, 即 0 < ak < 1 , 当 n = k + 1 时, 由于 0 < ak < 1 , ak +1 =

2ak > 0, 1 + ak2

又 ak +1 =

2ak 2 ak 2a < = k = 1. 2 1 + ak 2 1 × ak2 2ak

∴ 0 < ak +1 < 1 . 即 n = k + 1 时, 结论也成立. 由①②知对任意 n ∈ N * , 0 < an < 1 . 的通项公式提供下面两种方法 提供下面两种方法. 求数列 f ( an ) 的通项公式提供下面两种方法 法 1: f ( an +1 ) = f ? …………… 4 分

{

}

? an ? ( ? an ) ? ? 2an ? = f ( an ) ? f ( ? an ) .…………… 5 分 ?= f ? 2 ? 1 ? a ( ?a ) ? ? n n ? ? 1 + an ? ?

∵函数 f ( x ) 是奇函数, ∴ f ( ? an ) = ? f ( an ) . ∴ f ( an +1 ) = 2 f ( an ) . ∴数列 f ( an ) 是首项为 f ( a1 ) = f ? …………… 6 分

{ {

} }

?1? ? = 1 ,公比为 2 的等比数列. ?2?
n ?1

∴数列 f ( an ) 的通项公式为 f ( an ) = 2 法 2: ∵ f ( an +1 ) ? f ( an ) = f ?

.

…………… 7 分

? an +1 ? an ? ? ? 1 ? an +1an ?

…………… 5 分

? 2an ? an ? 2 ? 1 + an = f 2 ? 2 an 1? 2 ? 1 + an ?
∴ f ( an +1 ) = 2 f ( an ) . ∴数列 f ( an ) 是首项为 f ( a1 ) = f ?

? ? 3 ? ? ? = f ? an ? an ? = f ( an ) , 2 ? ? 1 ? an ? ? ?
…………… 6 分

{ {

} }

?1? ? = 1 ,公比为 2 的等比数列. ?2?
n ?1

∴数列 f ( an ) 的通项公式为 f ( an ) = 2

.

…………… 7 分

- 13 -

(3)证法 1:由(2)知 0 < an < 1 , 证法
2 an (1 ? an ) 2 an ∵ an +1 ? an = ? an = > 0, 2 2 1 + an 1 + an

∴ an +1 > an . ∴ a1 =

…………… 8 分

1 1 , < an < 1(n ∈ N * ,且 n ≥ 2) 2 2 1 ∴ 0 < an ? am < (n, m ∈ N * ,且 n > m) . 2

…………… 9 分

当 k ≥ 2 且 k ∈ N * 时,

ak ? Ak = ak ? = <

a1 + a2 + L + ak k
…………… 10 分

( ak ? a1 ) + ( ak ? a2 ) + L + ( ak ? ak ?1 )
k
…………… 11 分

k ?1 2k 1 1 = ? 2 2k 1 < . 2
∴ 0 < ak ? Ak < ∵ a1 ? A1 = 0 , ∴当 n ≥ 2 时, 0 <
n

1 . 2

…………… 12 分

∑ ai ? ∑ Ai <
i =1 i =1 n

n

n

n ?1 . 2

…………… 13 分

∴当 n ≥ 2 时,

∑ ai ? ∑ Ai <
i =1 i =1

n ?1 . 2

…………… 14 分

证法 2:由(2)知 0 < an < 1 ,
2 an (1 ? an ) 2 an ∵ an +1 ? an = ? an = > 0, 2 2 1 + an 1 + an

∴ an +1 > an . ∴ a1 =

…………… 8 分

1 1 , < an < 1(n ∈ N * ,且 n ≥ 2) 2 2

- 14 -

∴ an ? am <

1 ( n, m ∈ N * ) . 2

…………… 9 分
n

下面用数学归纳法证明不等式

∑ ai ? ∑ Ai <
i =1 i =1

n

n ?1 成立. 2

①当 n = 2 时,左边 = a1 + a2 ? ? a1 + ∴ n = 2 时,不等式成立.

? ?

a1 + a2 ? 1 1 1 1 ? = a2 ? a1 < × < = 右边. 2 ? 2 2 2 2
…………… 10 分

②假设 n = k ( k ≥ 2, k ∈ N ) 时,不等式成立,即
*

∑ ai ? ∑ Ai <
i =1 i =1

k

k

k ?1 , 2

则 n = k + 1 时, 左边 =

∑a ? ∑ A
i =1 i i =1

k +1

k +1

i

=

∑a + a
i =1 i

k

k +1 ? ∑ Ai ? i =1

k

a1 + a2 + L + ak +1 k +1

…………… 11 分

k ? k ? ( k + 1) ak +1 ? ( a1 + a2 + L + ak ) = ? ∑ ai ? ∑ Ai ? + k +1 i =1 ? i =1 ? k k

≤ <

∑ ai ? ∑ Ai +
i =1 i =1

1 ( ak +1 ? a1 ) + ( ak +1 ? a2 ) + L + ( ak +1 ? ak ) ………… 12 分 k +1

k ?1 1 + ( ak +1 ? a1 + ak +1 ? a2 + L + ak +1 ? ak 2 k +1

)

< =

k ?1 1 ?1 1 1? + ? + +L + ? 2 2? k +1 ? 2 2 k ?1 1 k + × 2 k +1 2

=
< =

k ?1 1 1 + ? 2 2 2 ( k + 1)
k ?1 1 + 2 2

( k + 1) ? 1 = 右边.
2 n ?1 成立. 2

…………… 13 分

∴ n = k + 1 时,不等式也成立. 由①②知,当 n ≥ 2 时,

∑ ai ? ∑ Ai <
i =1 i =1

n

n

…………… 14 分

证法 3:由(2)知 0 < ak < 1( k = 1, 2,3,L , n ) ,故对 1 ≤ k ≤ n ? 1 ,有 :

- 15 -

0 < ∑ ai < k , 0 <
i =1

k

i = k +1

∑a

n

i

< n?k .

…………… 8 分

由于对任意 x > 0, y > 0 ,有 x ? y < max { x, y} ,其中 max { x, y} 表示 x 与 y 的较大值. 于是对 1 ≤ k ≤ n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak = ? ? ? ∑ ai ? ∑ ai n i = k +1 ? n k ? i =1 = 1 n ?1 1? k ai ? ? ? ? ∑ ai ∑ ? k n ? i =1 n i = k +1

…………… 9 分

?1 n ?1 1? k ? < max ? ∑ ai , ? ? ? ∑ ai ? ? n i = k +1 ? k n ? i =1 ? ?1 ?1 1? ? ≤ max ? ( n ? k ) , ? ? ? k ? ?k n? ? ?n
k = 1 ? (k = 1, 2,3,L , n ? 1) . n
n n n

…………… 10 分

…………… 11 分



∑ ai ? ∑ Ai = nAn ? ∑ Ai = ( An ? A1 ) + ( An ? A2 ) + L + ( An ? An?1 )
i =1 i =1 i =1

…… 12 分

≤ An ? A1 + An ? A2 + L + An ? An ?1
? 1? ? 2? ? n ?1 ? < ?1 ? ? + ? 1 ? ? + L + ?1 ? ? n ? ? n? ? n? ?
= ( n ? 1) ?

…………… 13 分

1 + 2 + 3 + L + ( n ? 1)
n

n ( n ? 1) n ?1 2 = ( n ? 1) ? = . n 2

…………… 14 分

- 16 -


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