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2012年高考真题汇编——理科数学(解析版):三角函数

时间:2015-12-28

2012 高考真题分类汇编:三角函数
一、选择题
1. 【2012 高考真题重庆理 5】 设 tan ? , tan ? 是方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两个根, 则 tan(? ? ? ) 的 值为 (A)-3 【答案】A (B)-1 (C)1 (D)3

【 解 析 】 因 为 tan? , tan ? 是 方 程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的 两 个 根 , 所 以 tan? ? tan ? ? 3 ,

tan? tan? ? 2 ,所以 tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 3 ? ? ?3 ,选 A. 1 ? tan? tan ? 1 ? 2

2. 【2012 高考真题浙江理 4】 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵 坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【答案】A 【解析】 根据题设条件得到变化后的函数为 y ? cos(x ? 1) , 结合函数图象可知选项A符合要求。 故选A. 3.【2012 高考真题新课标理 9】已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 则 ? 的取值范围是( )

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减. 4 2
( D) (0, 2]

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4
【答案】A

1 3 (B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

【 解 析 】 函 数 f ( x ) ? sin(?x ?

?
4

) 的 导 数 为 f ' ( x) ? ? c o s ?(x ?

?
4

) ,要使函数

-1-

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则有 f ' ( x) ? ? cos( ?x ? ) ? 0 恒成立, 4 2 4 ? ? 3? ? 5? ? 2k? ? ?x ? ? ? 2k? , 即 ? 2k? ? ?x ? ? 2k? , 所 以 则 2 4 2 4 4 ? 2k? ? 2k? ? 5? ? ? ?x? ? ,k ? Z ,当 k ? 0 时, ?x? ,又 ? x ? ? ,所以有 4? ? 4? ? 4? 4? 2 ? ? 5? 1 5 1 5 ? , ? ? ,解得 ? ? , ? ? ,即 ? ? ? ,选 A. 4? 2 4? 2 4 2 4 4.【2012 高考真题四川理 4】如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 , f ( x) ? sin(?x ?

?

?

?

连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? (



A、

3 10 10

B、

10 10

C、

5 10

D、

5 15

【答案】B 【解析】 EB ? EA ? AB ? 2 ,

EC ? EB2 ? BC 2 ? 4 ?1 ? 5 ,
?EDC ? ?EDA ? ?ADC ?
由正弦定理得

?
4

?

?
2

?

3? , 4

sin ?CED DC 1 5 ? ? ? , sin ?EDC CE 5 5
5 5 3? 10 gsin ?EDC ? gsin ? . 5 5 4 10
2 2

所以 sin ?CED ?

b 5. 【2012 高考真题陕西理 9】 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c , 若a ?
则 cos C 的最小值为( A. ) C.

?c 22 ,

3 2

B.

2 2

1 2

D. ?

1 2

【答案】C.

a 2 ? b2 ? c2 【解析】由余弦定理知 cosC ? ? 2ab
故选C.

1 a 2 ? b 2 ? (a 2 ? b 2 ) a 2 ? b 2 2ab 1 2 ? ? ? , 2ab 4ab 4ab 2

-2-

6.【2012 高考真题山东理 7】若 ? ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2? (A)

?? ? ?

3 7

,则 sin ? ?

3 5

(B)

4 5

(C)

7 4

(D)

3 4

【答案】D 【 解 析 】 因 为 ? ?[

, ] , 所 以 2? ? [ , ? ] , cos 2? ? 0 , 所 以 4 2 2 1 1 9 3 2 c o2? s ? ? 1 ? s i2 2 n ? ?? , c s 2? ? 1 ? 2n i s 2? ? ? , sin ? ? , 又o 所以 sin ? ? , 8 8 16 4

? ?

?

选 D. 7.【2012 高考真题辽宁理 7】已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π),则 tan ? = (A) ? 1 【答案】A 【解析一】? sin ? ? cos ? ? (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

?? ? (0,? ),?? ?

3? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 4

2,? 2 sin(? ? ) ? 2,? sin(? ? ) ? 1 4 4

?

?

【解析二】?sin ? ? cos ? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1,

?? ? (0, ? ),? 2? ? (0, 2? ),? 2? ?

3? 3? ,?? ? ,? tan ? ? ?1 ,故选 A 2 4

【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和 运算求解能力,难度适中。 8.【2012 高考真题江西理 4】若 tan ? + A.

1 =4,则 sin2 ? = tan ?

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

【答案】D 【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。 【解析】由 tan ? ?

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? 1 1 ? 4 得, ? ? ? 4 ,即 ? 4, 1 tan ? cos? sin ? sin ? cos? sin 2? 2

所以 sin 2? ?

1 ,选 D. 2

9.【2012 高考真题湖南理 6】函数 f(x)=sinx-cos(x+

? )的值域为 6

-3-

A. [ -2 ,2] 【答案】B

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

3 , 2

3 ] 2

【解析】f(x)=sinx-cos(x+

? 3 1 ? ) ? sin x ? cos x ? sin x ? 3 sin( x ? ) , 6 2 2 6

? sin( x ? ) ? ? ?1,1? ,? f ( x) 值域为[- 3 , 3 ]. 6
【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin(? x ? ? ) ???1,1? , 求得 f ( x ) 的值域. 10.【2012 高考真题上海理 16】在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】C
2 2 2

?

【解析】根据正弦定理可知由 sin A ? sin B ? sin C , 可知 a ? b ? c ,在三角形中
2 2 2 2 2 2

a2 ? b2 ? c2 cosC ? ? 0 ,所以 C 为钝角,三角形为钝角三角形,选 C. 2ab
11.【2012 高考真题天津理 2】设 ? ? R, 则“ ? ? 0 ”是“ f ( x) ? cos(x ? ? )(x ? R) 为偶函 数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分与不必要条件

【 解 析 】 函 数 f ( x) ? c o s( x ? ? ) 若 为 偶 函 数 , 则 有 ? ? k? , k ? Z , 所 以 “ ? ? 0 ” 是 “ f ( x) ? cos(x ? ? ) 为偶函数”的充分不必要条件,选 A. 12. 【2012 高考真题天津理 6】 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 已知 8b=5c, C=2B,则 cosC= (A)

7 25 7 25

(B) ?

(C) ? 【答案】A

7 25 24 (D) 25

【解析】因为 C ? 2 B ,所以 sin C ? sin(2B) ? 2 sin B cos B ,根据正弦定理有

c b ? , sin C sin B

-4-

c sin C 8 sin C 1 8 4 ? ? , ? ? ? 。 所以 cos B ? 又c o s C ?c o s ( 2B) ? 2 c o s b sin B 5 2 sin B 2 5 5 16 7 2 ?1 ? 所以 cos C ? 2 cos B ? 1 ? 2 ? ,选 A. 25 25
所以 13.【2012 高考真题全国卷理 7】已知α 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

2

B ?1,

3 ,则 cos2α = 3

(A) -

5 3

(B) -

5 9

(C)

5 9

(D)

5 3

【答案】A 【 解 析 】 因 为 sin ? ? cos? ?

1 3 所 以 两 边 平 方 得 1 ? 2 sin ? cos ? ? , 所 以 3 3

2s i ? n co? s ??

2 ? 0 , 因 为 已 知 α 为 第 二 象 限 角 , 所 以 sin ? ? 0, cos? ? 0 , 3

sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ?

2 5 15 ? ? 3 3 3







c 2? ? c o

2

? ? sos 2 ? ? (i s ? ? s c n? )

i? o? s ( ?n )= s ?ic

15 3 5 , ? no ?? s选 A.er 3 3 3

二、填空题
14.【2012 高考真题湖南理 15】函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如 图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 ) ,则 ? ? 2

;

( 2 )若在曲线段 ? ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ ABC 内的概率 为 .

-5-

【答案】 (1)3; (2)

? 4

【解析】 (1) y ? f ?( x) ? ? cos(? x ? ? ) ,当 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 )时 2

? cos

?
6

?

3 3 ,?? ? 3 ; 2

2? 1 ? T ? (2)由图知 AC ? ? ? ? , S? ABC ? AC ? ? ? ,设 A, B 的横坐标分别为 a , b . 2 2 2 2 ?
设 曲 线 段

? ABC
b a



x

轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为

S



S?

?

b

a

f ?( x)dx ? f ( x)

? sin(? a ? ? ) ? sin(?b ? ? ) ? 2 ,由几何概型知该点在△ABC 内

的概率为 P ?

【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等, (1)利用点 P 在图像上求 ? , (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. 15.【2012 高考真题湖北理 11】设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若
(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ?

S? ABC 2 ? ? ? . S 2 4

?



【答案】 【解析】

2? 3

由(a +b-c)(a+b-c)=ab,得到a 2 ? b2 ? c 2 =-ab a 2 ? b2 ? c 2 -ab 1 2 根据余弦定理 cos C ? = ? ? , 故?C ? ? 2ab 2ab 2 3
16.【2012 高考真题北京理 11】在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ? 【答案】4 【 解 析 】 在 △ ABC 中 , 利 用 余 弦 定 理 cos B ?

1 ,则 b=_______。 4

a 2 ? c 2 ? b2 1 4 ? (c ? b)(c ? b) ?? ? 2ac 4 4c

?c ? 3 4 ? 7 (c ? b ) ? ? ,化简得: 8c ? 7b ? 4 ? 0 ,与题目条件 b ? c ? 7 联立,可解得 ?b ? 4 . 4c ?a ? 2 ?
17.【2012 高考真题安徽理 15】设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ;则下列命题正确 的是 _____

-6-

①若 ab ? c 2 ;则 C ?

?
3

②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

③若 a3 ? b3 ? c3 ;则 C ?

?
2

④若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ?

?
2

⑤若 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 ;则 C ?

?
3

【答案】①②③ 【命题立意】本题解三角形的知识,主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。 【解析】正确的是 _____

a 2 ? b2 ? c 2 2ab ? ab 1 ? ? ? ?C ? ① ab ? c ? cos C ? 2ab 2ab 2 3
2

② a ? b ? 2c ? cos C ? ③当 C ?

a 2 ? b2 ? c 2 4(a 2 ? b2 ) ? (a ? b)2 1 ? ? ? ?C ? 2ab 8ab 2 3

?
2

2 2 2 3 2 2 3 3 3 3 3 时, c ? a ? b ? c ? a c ? b c ? a ? b 与 a ? b ? c 矛盾

④取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a ? b)c ? 2ab 得: C ?

?
2

⑤取 a ? b ? 2, c ? 1满足 (a2 ? b2 )c2 ? 2a2b2 得: C ?

?
3

18.【2012 高考真题福建理 13】已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的 余弦值为_________. 【答案】 ?

2 . 4

【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识,难度适中. 【解析】设最小边长为 a ,则另两边为 2a,2a . 所以最大角余弦 cos? ?

a 2 ? 2a 2 ? 4a 2 2 ?? 4 2a ? 2a
3 , 5

19.【2012 高考真题重庆理 13】设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

cos B ?

5 ,b ? 3则c ? 13

【答案】

14 5 3 5 12 4 n? , cos B ? , 所 以 s iA , sin B ? , 5 13 13 5

【 解 析 】 因 为 cos A ?

-7-

sin C ? sin( A ? B) ?

3 c b c 4 5 12 3 56 ? ? ? ? ? ? , 根据正弦定理 得 , 解得 sin B sin C 12 56 5 13 13 5 65 13 65

c?

14 . 5

20.【2012 高考真题上海理 4】若 n ? (?2,1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小 为 (结果用反三角函数值表示) 。 【答案】 arctan 2 【解析】设倾斜角为 ? ,由题意可知,直线的一个方向向量为(1,2) ,则 tan ? ? 2 , ∴ ? = arctan 2 。 21. 【 2012 高 考 真 题 全 国 卷 理 14 】 当 函 数 x=___________. 【答案】 x ? 取得最大值时,

5? 6

【解析】 函数为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

3 ? ? 5? 5? 由三角函数图象可知,当 x ? ? ,即 x ? 时取得最大值,所以 x ? . 3 2 6 6

) ,当 0 ? x ? 2? 时,?

?

? x?

?
3

?

5? , 3

? ?? 4 ? 22. 【2012 高考江苏 11】 (5 分) 设 ? 为锐角, 若 cos ? ? ? ? ? , 则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?

2? 。 6 3 =

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。∴ 6? 5 6? 5 ? ? ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2。 25 2 25 2 50

-8-

三、解答题
23.【2012 高考真题新课标理 17】 (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

【答案】 (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
24.【2012 高考真题湖北理 17】 (本小题满分 12 分)

?sx ? 已 知 向 量 a?( c o

s? i xn

,?s x i, n b? ) (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) , 设 函 数

1 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

3π π (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 5 4
【答案】 (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?

π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1 , 6 π π k 1 所以 2? π ? ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ? Z) . 6 2 2 3 5 1 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 6 2 6π 所以 f ( x) 的最小正周期是 . 5 π π (Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , 4 4 5 π π π 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 . 6 2 6 4 5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 , 3 6

-9-

3π π 5 π 5π ,有 ? ? x ? ? , 5 6 3 6 6 1 5 π 5 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 ,得 ?1 ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ?2 ? 2 , 2 3 6 3 6 3π 故函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围为 [?1 ? 2, 2 ? 2] . 5 25.【2012 高考真题安徽理 16】 )(本小题满分 12 分)
由0? x ? 设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 。 2 4

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x?

?

)? g ( x, ) 且 当 x ? [0, ] 时 , 2 2

?

g ( x) ?

1 ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式。 2

【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段 函数解析式等基础知识,考查分类讨论思想和运算求解能力。 【解析】 f ( x) ?

2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

?

1 1 ? sin 2 x , 2 2
(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (2)当 x ? [0, 当 x ? [?

?
2

2? ?? 2

] 时, g ( x) ?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
?

1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2

? ? 1 ? sin 2 x( ? ? x ? 0) ? ? 2 2 得函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? 。 ? 1 sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? ? 2 2
26.【2012 高考真题四川理 18】(本小题满分 12 分)
2 函数 f ( x) ? 6 cos

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象

的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形。 (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值。 3 3 5

【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角

- 10 -

公式等基础知识,考查基本运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想.

27.【2012 高考真题陕西理 16】 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 的距离为

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0, 【答案】

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2

?

- 11 -

28.【2012 高考真题广东理 16】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 cos( ?x ? (1)求ω 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
6

), (其中ω >0,x∈R)的最小正周期为 10π .

?

5 6 5 16 ] , f (5? ? ? ) ? ? , f (5? ? ? ) ? ,求 cos(α +β )的值. 2 3 5 6 17

【答案】本题考查三角函数求值,三角恒等变换,利用诱导公式化简三角函数式与两角和的 余弦公式求值,难度较低。 【解析】

29.【2012 高考真题山东理 17】 (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, 6. (Ⅰ)求 A ;

??

?

?? ? A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 3

? 个单位, 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 1 5? ] 上的值域. 的 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 2 24
(Ⅱ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 【答案】

- 12 -

30.【2012 高考真题北京理 15】 (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递减区间。 【答案】

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

- 13 -

31.【2012 高考真题重庆理 18】 (本小题满分 13 分(Ⅰ)小问 8 分(Ⅱ)小问 5 分) 设 f ( x) ? 4 cos( ?x ?

?
6

) sin ?x ? cos( 2?x ? x) ,其中 ? ? 0.

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的值域 (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在区间 ?? 【答案】

? 3x ? ? 上为增函数,求 ? 的最大值. , ? 2 2? ?

- 14 -

32.【2012 高考真题浙江理 18】(本小题满分 14 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别
2 为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= 5 cosC. 3

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= 2 ,求 ? ABC 的面积. 【答案】本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。
2 5 (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA= 1 ? cos2 A ? , 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
2 5 cosC+ sinC. 3 3

整理得:tanC= 5 . (Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 c ? 3 . (1) 对角 A 运用余弦定理:cosA= 解(1) (2)得: b ? 3 or b= ∴ ? ABC 的面积为:S=
b2 ? c 2 ? a 2 2 ? . (2) 2bc 3
5 . 6

a c , ? sin A sin C

3 (舍去). 3

5 . 2

33.【2012 高考真题辽宁理 17】(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。 【答案】

- 15 -

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列 的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的 关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。 34.【2012 高考真题江西理 18】 (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 。 a , b , c 。 已 知 ,

(1)求证: (2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积。 【答案】

- 16 -

【点评】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的 应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边 长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式, 辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来 年需要注意第二种题型的考查. 35.【2012 高考真题全国卷理 17】 (本小题满分 10 分) (注意:在试卷上作答无效 ) ........... 三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求 c. 【答案】

36.【2012 高考真题天津理 15】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? sin( 2 x ?

?
3

) ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;

- 17 -

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [ ? 【答案】

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

37.【2012 高考江苏 15】 (14 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ;

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,求 A 的值. 5 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【 答 案 】 解 :( 1 ) ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , ∴ AB ?AC ?cos A=3BA?BC ?cos B , 即
(2)若 cos C ?
AC ?c o s A = 3 B ? C c。 oB s

由正弦定理,得

AC BC cos B 。 ,∴ sin B?cos A=3sin A? = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3? cos B cos A
? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? ? 5 5 ? 5 ?
2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

?
4



【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式 证明。 (2)由 cos C ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ? ?? ? ? A ? B?? ? ,从而 5
- 18 -

根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值。

- 19 -


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