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高考数学易错题解题方法大全

时间:2013-03-20


高考数学易错题解题方法大全(3)
一.选择题 【范例 1】集合 A ? {3, lo g 2 a } , B ? { a , b} , 若 A ? B ? {2} , 则 A ? B ? ( A.{2,3,4} 答案:A 【错解分析】此题主要考查对集合的交集的理解。 【解题指导】? A ? B ? {2} ,? lo g 2 a ? 2, a ? 4 , b ? 2 . 【练习 1】已知集合 P ? ?x x ? 1 ? 2 ? , Q ? ?x x ? a ? ,则集合 P ? Q ? ? 的充要条件是 ( A.a≤-3 B.a≤1 C.a>-3 D.a>1 ) B.{2 ,4} C.{2,3} )

D.{1,2,3,4}

【范例 2】函数 y ? A. ?x x ? 2 ? 答案:C

( x ? 1)( x ? 2 ) ?

x ? 1 的定义域为(

) D. ?x x ? 2 或 x ? 1?

B. ?x x ? 1?

C. ? x x ? 2 ? ? ?1?

【错解分析】此题容易错选为 A,容易漏掉 x ? 1 的情况。 【解题指导】求具体函数的定义域时要是式子每个部分都有意义. 【练习 2】若函数 f ( x ) 的定义域为 [ a , b ] ,且 b ? ? a ? 0 , 则函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) 的定义域是( A. [ a , b ] C. [ ? b , b ] B. [ ? b , ? a ] D. [ a , ? a ] ) )

【范例 3】如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.1275 C.5050 B.2550 D.2500

答案:B. 【错解分析】此题容易错选为 C,应该认真分析流程图中的信息。 【解题指导】 S ? 2 ? 4 ? 6 ? ? 100 ? 2550 【练习 3】下面是一个算法的程序框图,当输 入的值 x 为 8 时,则其输出的结果是( A. 0 . 5 C.2 B. 1 D.4 )

【范例 4】已知集合 A ? { x | x ? 5} ,集合 B ? { x | x ? a } ,若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的 充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? 5 B. a ? 5 C. a ? 5 D. a ? 5 答案: A 【错解分析】此题容易错选为 B,请注意是充分不必要条件,而不是充要条件。 【解题指导】由题意,画数轴易知 A ? B . 【练习 4】已知下列三组条件: (1) A : ? ?
?
6

, B : s in ? ?

1 2

; (2) A : x ? 1 , B : x ? ( a ? 1) x ? a ? 0 ( a 为实常数);
2 2 2

(3) A : 定义域为 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) ? f ( 2 ) , B : 定义域为 R 的函数 f ( x ) 是单调减 函数.其中 A 是 B 的充分不必要条件的有 ( A.(1) B.(1)(2) C.(1)(3) 【范例 5】已知 i 为虚数单位,则复数 z ? A. 第一象限 答案:C 【错解分析】此题主要考查复数的四则运算,必须熟练掌握。 【解题指导】 z ?
( 2 ? 3 i )(1 ? i ) 2 ? 3i ? 1 ? 5i 1 5 ? ? ? ? ? i 1? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 2
2 1? i

) D.(1)(2)(3) )

2 ? 3i 对应的点位于 ( 1? i

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【练习 5】在复平面内,复数 A. 1 B.
2

对应的点与原点的距离是( C. 2 D. 2 2
x
2



?1 ? 【范例 6】设函数 f ( x ) ? ? ? ? 2?

2x

2

?5 x?b

?1 ? , g (x) ? ? ? ? 2?

? x?6

,若 f ( x ) ? g ( x ) 对于任

意实数 x 恒成立,则实数 b 的取值范围是( A. b ? 12 答案:D B. b ? 12

) C. b ? 15
1
x

D. b ? 15

【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有注意 y ? ( ) 是单调减函数。
2

?1? 【解题指导】由 f ( x ) ? g ( x ) 即 ? ? ?2?

2 x ?5 x?b

2

?1? ? ? ? ?2?

x ? x?6

2

可得 2 x 2 ? 5 x ? b ? x 2 ? x ? 6

即 x 2 ? 6 x ? b ? 6 ? 0 恒成立,由 ? ? 36 ? 4 ( b ? 6 ) ? 0 ,解得 b ? 15 .

【练习 6】已知 f ( x ) ? a ( a ? 1), g ( x ) ? b ( b ? 1) ,当 f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? 2 时,有 x 1 ? x 2 ,则
x x

a , b 的大小关系是(

) B. a ? b C. a ? b D. a ? b

A. a ? b 二.填空题

【范例 7】已知数列 ?a n ? 的通项公式是 a n ? ? n ? 12 n ? 32 ,其前 n 项和是 S n ,则对任意的
2

n ? m (其中 m , n ? N

? *

), S n ? S m 的最大值是

.

答案:10 【错解分析】此题容易错选认为求最大项。 【解题指导】由 a n ? ? n ? 12 n ? 32 ? ? ( n ? 4 )( n ? 8 ) ? 0 得 4 ? n ? 8 ,即在数列 ?a n ? 中,
2

前三项以及从第 9 项起后的各项均为负且 a 4 ? a 8 ? 0 ,因此 S n ? S m 的最大值是
a 5 ? a 6 ? a 7 ? 3 ? 4 ? 3 ? 10 .

【练习 7】已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和是 S n ,且 a 1 ? 2008 ,且存在自然数 p ? 10 , 使得
S P ? a p ,则当 n ? p 时, S n 与 a n 的大小关系是

. .

【范例 8】函数 y ? 2 cos x sin( x ?
3 2

?
3

) 的最小值是

答案:

?1

【错解分析】此题容易在化简上出错,对于三角变换的公式一定要熟练掌握,一定要化到三个一 的形式: y ? A sin ( ? x ? ? ) 。 【解题指导】∵ y ? 2 cos x sin( x ?
1 2 3 2 3 2

?
3

)

? 2 cos x (

sin x ?

cos x ) ?

1 2

sin 2 x ?

3 2

cos 2 x ?

3 2

? sin( 2 x ?

?
3

)?

,此函数的最小值为
1 3
2

3 2

?1

【练习 8】已知

1 ? cos 2 ? sin ? cos ?
2

? 1 , tan ( ? - ? ) = -

,则 tan ( ? ? 2 ? ) 等于

.
y ? m ≥0 恒成

【范例 9】已知圆 x ? ? y ? 1 ? ? 2 上任一点 P 立,则实数 m 的取值范围是 答案: ?1, ? ? ? .

? x , y ? ,其坐标均使得不等式 x ?

【错解分析】此题容易忘记数形结合思想的使用。 【解题指导】求出圆的斜率为-1 的两条切线,画图研究他们和 x ? y ? m =0 的关系.
? ?

?

?

?

【练习 9】 a , b 为不共线的向量,设条件 M : b ? ( a ? b ) ;条件 N : 对一切 x ? R ,不等式
a ? xb ≥ a ? b

恒成立.则 M 是 N 的

条件.

【范例 10】圆 x ? y
2

2

? 11 的过点 ( ? 2 , 7 ) 的切线方程为

.

答案: 2 x ?

7 y ? 11 ? 0

【错解分析】此题容易忘记判断点与圆的位置关系。 【解题指导】(一)易知点在圆上,故切线只有一条,且斜率为
2 7 7



(二)借助结论:过圆 x ? y ? r 上一点 ( x 0 , y 0 ) 的切线为 x 0 x ? y 0 y ? r 。
2 2 2

2

【练习 10】 过点 P(4,2)作圆 x ? y
2

2

? 4 的两条切线,切点分别为 A、 为坐标原点, ? OAB B,O 则

的外接圆方程为

.
x a
2 2

【范例 11】在平面直角坐标系中,椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的焦距为 2 c ,以 O 为圆心,a

? a2 ? , 0 ? ,所作圆 M 的两切线互相垂直,则该椭圆的离心率为 为半径的圆做圆 M ,若过点 P ? ? c ? ? ?

答 案: e ?
c a ? 2 2

【错解分析】此题容易错在对图中椭圆,及圆的性质提取不全。
? a2 ? ? 【解题指导】过点 ? ? c , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,如图,这说明四边形 O A P B 是一个正方形, ? ? ? a2 ? ? 即圆心 O 到点 P ? ? c , 0 ? 的距离等于圆的半径的 ? ?
a
2

2 倍,即

?

2 a ,故 e ?

c a

?

2 2

.

c

【练习 11】已知椭圆的中心在 O,右焦点为 F,右准线为 L,若在 L 上存在点 M,使线段 OM 的垂 直平分线经过点 F,则椭圆的离心率的取值范围是 . 【范例 12】如图,正三角形 P1P2P3,点 A、B、C 分别为边 P1P2,P2P3,P3P1 的中点,沿 AB、BC、CA折起,使 P1、P2、P3 三点重合后为点 P,则折起 后二面角 P—AB—C 的余弦值为 答案:
1 3

.

【错解分析】此题容易出现的错误有多种,主要原因是没有认真地画出折叠后的三棱锥。 【解题指导】取 AB 的中点 D,连接 CD,PD,则∠PDC 为二面角 P—AB—C 的平面角. 【练习 12】正方形 ABCD 与正方形 ABEF 构成 60 的二面角 C ? AB ? E ,则 AD 与 BF 的 夹角的余弦值是 . 三.解答题
0

【范例 13】已知 ( x ?
2

1 x

) 的展开式中前三项的系数成等差数列.

n

(1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项. 【错解分析】此题容易错在:审题不清楚,误用前三项的二项式系数成等差。 解:(1)由题设,得 C 0 ? n
1 4 ? Cn ? 2 ?
2

1 2

? Cn
1

, 即 n 2 ? 9 n ? 8 ? 0 ,解得 n=8,n=1(舍去).

(2)设第 r+1

1 ? 1 1 ? 1 r r ?1 ≥ , ? r C 8 ≥ r ?1 C 8 , ? 8 ? r 2 ( r ? 1) ? ?2 2 的系数最大,则 ? 即? 解得 ? 1 ≥ 1 . ? 1 C r ≥ 1 C r ?1 . 8 r ?1 ? 2r 8 ? 2r ? 2 9 ?1 ?
9

r=2 或 r=3.

所以系数最大的项为 T 3 ? 7 x 5 , T 4 ? 7 x 2 . 说明:掌握二项式定理,展开式的通项及其常见的应用. 【练习 13】函数 f ( x ) ? (
a x ?
3

x ) ( a 为实数且是常数)

9

(1)已知 f ( x ) 的展开式中 x 的系数为

9 4

,求 a 的值;

(2)是否存在 a 的值,使 x 在定义域中取任意值时 f ( x ) ? 27 恒成立?若存在,求出 a 的值, 若不存在,请说明理由。 【范例 14】已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? (1)求 F(x)的单调区间; (2)若以 y ? F ( x )( x ? ? 0 , 3 ?) 图象上任意一点 P ( x 0 , y 0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 成立,求实数 a 的最小值。 (3) 是否存在实数 m , 使得函数 y ? g (
) ? m ? 1 的图象与 y ? f (1 ? x ) 的图象恰 ?1 好有四个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说名理由。
2

a x

( a ? 0 ) ,设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 。

1 2



2a

x

2

【错解分析】(1)在 F(x)的定义域 (0, ? ? ) 内才能求单调区间。 (2)对恒成立问题的解决理解不清楚 解:(1) F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ?
a x (x ? 0 F '(x) ? 1 x ? a x
2

?

x?a x
2

( x ? 0)

? a ? 0 ,由 F ? ( x ) ? 0 ? x ? ( a , ?? ), ? F ( x ) 在( a , ?? )上单调递增。

由 F ? ( x ) ? 0 ? x ? ( 0 , a ), ? F ( x ) 在( 0 , a )上单调递减



? F ( x )的单调递减区间为(
x?a x
2

0 , a ),单调递增区间为(
x0 ? a x0
2

a , ?? )
1 2

(2) F ? ( x ) ?
1 2
?a ? 1 2

( 0 ? x ? 3 ), k ? F ? ( x 0 ) ?

?

( 0 ? x 0 ? 3 ) 恒成立

a ? (?

x 0 ? x 0 ) min
,? a nmn ? 2a x
2

2

当 x 0 ? 1时,?

1 2

x 0 ? x 0 取得最大值

2

1 2

1 2

????????????????4 分
1 2
2

(3)若 y ? g (

2

?1

) ? m ?1 ?

x

2

? m ?

1 2

的图象与

y ? f (1 ? x ) ? ln( x

? 1) 的图象恰有四个不同交点,
2



1 2

x

2

? m ?
2

1 2

? ln( x 1 2 x
2

? 1) 有四个不同的根,亦即 1 2

m ? ln( x

? 1) ?
2

? 1 2

有四个不同的根。
2

令 G ( x ) ? ln( x ? 1) ?
2x x
2

x

?

1 2


? x ( x ? 1)( x ? 1) x
2

则 G ?( x ) ?

?1

? x ?

2x ? x ? x
3

x

2

?1

?

?1



当 x 变化时 G ? ( x ). G ( x ) 的变化情况如下表:
x
G ? ( x ) 的符号
G ( x ) 的单调性

( ? ? , 1) ?

(-1,0) ↘

(0,1) + ↗

(1, ? -

?

)

+ ↗
1 2



由表格知: G ( x ) 最小值 ? G ( 0 ) ?

, G ( x ) 最大值 ? G (1) ? G ( ? 1) ? ln 2 ? 0 。 1 2 ? 1 2

画出草图和验证 G ( 2 ) ? G ( ? 2 ) ? ln 5 ? 2 ?
y ? G ( x ) 与 y ? m 恰有四个不同的交点,
?当m ? ( 1 2 , ln 2 )时, y ? g ( x
2 2

可知,当 m ? (

1 2

, ln 2 ) 时,

2a
2

?1

) ? m ?1 ?

1 2

x2 ? m ?

1 2

的图象与

y ? f (1 ? x ) ? ln( x

? 1)的图象恰有四个不同的

交点。

2 【练习 14】已知 f ( x ) ? x ln x , g ( x ) ? ? x ? a x ? 3 .

⑴ 求函数 f ( x ) 在 [ t , t ? 2 ]( t ? 0 ) 上的最小值;

⑵ 对一切 x ? (0 , ? ? ) , 2 f ( x ) ≥ g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; ⑶ 证明对一切 x ? (0 , ? ? ) ,都有 ln x ?
1 e
x

?

2 ex

成立.

【范例 15】某工厂在试验阶段大量生产一种零件。这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测, 设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 指标达标的概率为
11 12 5 12

,至少一项技术

.按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.

(1)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (2)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? 【错解分析】遇到“至多”,“至少”问题我们通常求其对立事件的概率。 解:(1)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2
5 ? ? P1 ? (1 ? P2 ) ? (1 ? P1 ) ? P2 ? 1 2 ? 由题意得: ? ?1 ? (1 ? P ) ? (1 ? P ) ? ? 1 1 1 2 ? ? 12

解得: P1

?

3 4

, P2 ?

2 3

或 P1

?

2 3

, P2 ?

3 4

,∴ P
1 2

? P1 P2 ?

1 2

.

即,一个零件经过检测为合格品的概率为

.

(2)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为
13 4 ? 1 ? 5 ? 1 ? 1 ? C5 ? ? ? C5 ? ? ? 16 ?2? ?2?
5 5

【练习 15】某工厂为了保障安全生产,每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过 每次测试的概率分别是
4 5 和 3 4

. 假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.

(1)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少 1 次未通过的概率; (2)求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率; (3)工厂规定:工人连续 2 次没通过测试,则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加 4 次测试 后被撤销上岗资格的概率.

练习题参考答案:

1.C

2.D

3.C

4.B

5.B

6.C
? 2 ? ,1 ? ? ? ? 2 ?

7. a n ? S n
2 4

8. ? 1

9.充要

10. ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

11.

12.

13. 解:(1) a ?

1 4
1

(2)依题意,得 x ? 0 ,而要 ( 对于 a ? 0 ,?
? a ?

a x

?

x ) ? 27 ,只要
9

a x

?

x ? 33

a x

?

x 2

?

x 2

? 3(

a 4

1

1

)3 ? 33

4 9

时满足题意。

14.解:⑴ f '( x ) ? ln x ? 1 , 当 x ? ( 0 , ) , f '( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减,当 x ? ( , ? ? ) , f '( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增.
e e 1 e 1 1

① 0?t?t?2? ② 0?t? ③
1 e 1 e

,t 无解;
1 e 1 e

? t ? 2 ,即 0 ? t ?

时, f ( x ) m in ? f ( ) ? ?
e

1

1 e



? t ? t ? 2 ,即 t ?

时, f ( x ) 在 [ t , t ? 2 ] 上单调递增, f ( x ) m in ? f ( t ) ? t ln t ;

所以 f ( x ) m in

1 ? 1 ?? e , 0 ? t ? e ? ? ? . ? t ln t, t ? 1 ? e ?

2 ⑵ 2 x ln x ? ? x ? a x ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ?

3 x

, ,

设 h ( x ) ? 2 ln x ? x ?

3 x

( x ? 0 ) ,则 h '( x ) ?

( x ? 3)( x ? 1) x
2

当 x ? (0 ,1) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递增, x ? (1, ? ? ) , h '( x ) ? 0 , h ( x ) 单调递减, 所以 h ( x ) m in ? h (1) ? 4 , 因为对一切 x ? (0 , ? ? ) , 2 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,所以 a ? h ( x ) m in ? 4 ; ⑶ 问题等价于证明 x ln x ?
x e
x

?

2 e

( x ? (0 , ? ? )) , 1 e

由⑴可知 f ( x ) ? x ln x ( x ? (0, ? ? )) 的最小值是 ? 设 m (x) ?
x e
x

,当且仅当 x ?

1 e

时取到,

?

2 e

( x ? (0 , ? ? )) ,则 m '( x ) ? 1 e

1? x e
x



易得 m ( x ) m a x ? m (1) ? ?

,当且仅当 x ? 1 时取到,

从而对一切 x ? (0 , ? ? ) ,都有 ln x ?

1 e
x

?

2 ex

成立.

15.解:(1)记“甲工人连续 3 个月参加技能测试,至少有 1 次未通过”为事件 A1,
4 3 61 P ( A1 ) ? 1 ? P ( A1 ) ? 1 ? ( ) ? . 5 125

(2)记“连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次”为事件 A2,“连续 3 个月参加 技能测试,乙工人恰好通过 1 次”为事件 B1,则
4 2 4 48 3 3 2 9 2 1 P ( A 2 ) ? C 3 ? ( ) ? (1 ? ) ? , P ( B 2 ) ? C 3 ? ( ) ? (1 ? ) ? , 5 5 125 4 4 64

P ( A2 B 2 ) ? P ( A2 ) P ( B 2 ) ?

48 125

?

9 64

?

27 500

. 27 500 .

两人各连续 3 月参加技能测试,甲工人恰好 2 次通过且乙工人恰好 1 次通过的概率为 (3)记“乙恰好测试 4 次后,被撤销上网资格”为事件 A3,
3 2 1 2 1 3 1 2 3 P ( A3 ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? . 4 4 4 4 4 64


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