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数列练习题(含答案)用

时间:2011-03-29


数列复习题 数列复习题 复习
一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A)为常数数列 2.、在等差数列 (A) a n (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 ( (D) a n ) ( )

{a n }中, a1 = 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列,则 {a n }的通项公式为
(B) a n

= 3n + 1

= n+3

(C) a n

= 3n + 1 或 a n = 4

= n + 3 或 an = 4
( )

3、已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a c + 的值为 x y

(A)

1 2

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定

4、互不相等的三个正数 a , b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 5、已知数列

y 是 b,c 的等比中项,那么 x 2 , b 2 , y 2 三个数(



(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 ( (D) a n )

{a n }的前 n 项和为 S n , S 2 n+1 = 4n 2 + 2n ,则此数列的通项公式为
= 2n ? 2
(B) a n

(A) a n 6、已知 ( z

= 8n ? 2

(C) a n

= 2 n ?1

= n2 ? n
( )

? x) 2 = 4( x ? y )( y ? z ) ,则
(B) x, y , z 成等比数列 (C)

(A) x, y , z 成等差数列

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、数列

{a n }的前 n 项和 S n

= a n ? 1 ,则关于数列 {a n } 的下列说法中,正确的个数有
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (D)1

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 (A)4 8、数列 1 (B)3

③可能是等比数列,也可能是等差数列

(C)2

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 , … ,前 n 项和为 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (A) n ? n + 1 (B) n ? n +1 + 2 2 2

( (C) n
2



?n?

1 +1 2n

(D) n

2

?n?

1 2
n +1

+

1 2
( )

9、若两个等差数列

{a n }、 {bn }的前 n 项和分别为 An
(B)

、 Bn ,且满足

An 4n + 2 a5 + a13 = ,则 Bn 5n ? 5 b5 + b13
7 8

的值为

(A)

7 9

8 7

(C)

19 20

(D)

10、已知数列

{a n }的前 n 项和为 S n
(B)58

= n 2 ? 5n + 2 ,则数列 {a n } 的前 10 项和为
(C)62 (D)60





(A)56 11、已知数列

{a n }的通项公式 a n

= n + 5 为,



{a n }中依次取出第 3,9,27,…3 , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列
n

1

的前 n 项和为


n



(A)

n(3 n + 13) 2

(B) 3

+5

(C)

3 n + 10n ? 3 2

(D)

3 n +1 + 10n ? 3 2
( )

12、下列命题中是真命题的是 A.数列

{a n }是等差数列的充要条件是 a n {a n }的前 n 项和为 S n

= pn + q ( p ≠ 0 )

B.已知一个数列

= an 2 + bn + a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列 = ab n?1

C.数列

{a n }是等比数列的充要条件 a n {a n }的前 n 项和 S n

D.如果一个数列 二、填空题

= ab n + c (a ≠ 0, b ≠ 0, b ≠ 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a + c = 0

13、各项都是正数的等比数列

{a n },公比 q ≠ 1 a5 , a 7 , a8 ,成等差数列,则公比 q =
a1 + a5 + a17 a 2 + a6 + a18
=

14、已知等差数列

{a n },公差 d ≠ 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则
= 1+ 1 a n ,则 a n = 4

15、已知数列

{a n }满足 S n

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列

{a n }是公差 d 不为零的等差数列,数列 {ab }是公比为 q 的等比数列, b1 = 1, b2
n

= 10, b3 = 46

,求公比 q 及 bn 。

18、已知等差数列

{a n }的公差与等比数列 {bn }的公比相等,且都等于 d

(d > 0, d ≠ 1) , a1 = b1

,a 3

= 3b3 , a 5 = 5b5 ,求 a n , bn 。

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。

20、已知

{a n }为等比数列, a3 = 2, a2 + a4 = 20 ,求 {an } 的通项式。
3

21、数列

{an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 = 1, an+1 = 2Sn + 1( n ≥ 1) {an } 的通项公式; {bn } 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 = 15 ,又 a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 成等比数列,求 Tn

(Ⅰ)求

(Ⅱ)等差数列

22、已知数列

{an } 满足 a1 = 1, an+1 = 2an + 1(n ∈ N * ). {an } 的通项公式;
2

(I)求数列

(II)若数列

{bn } 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 = ( an + 1)b ( n ∈ N ? ) ,证明: {bn } 是等差数列;
1 2 n n

第九单元
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A 7 C

数列综合题
8 A 9 D 10 D 11 D 12 D

1+ 5 2

14.

26 29

15.

4 1 n (? ) 3 3

16. ± 6 3

三、解答题 17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1

∴bn=3·4n-1-2 18.∴ a3=3b3 , ∴ a1+2d=3a1d2 , ∴ a1(1-3d2)=-2d Q a5=5b5, ∴ a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d

① ② bn=a1dn-1=- 5 ·(

② 1 ? 5d 4 1 5 5 ,得 =2,∴ d2=1 或 d2= ,由题意,d= ,a1=- 5 。∴an=a1+(n-1)d= (n-6) 2 ① 5 5 5 1 ? 3d 19.设这四个数为

5 n-1 ) 5

a , a, aq,2aq ? a q

由①,得 a3=216,a=6 ③

?a ? · a ? aq = 216 则 ?q ?a + aq + (3aq ? a ) = 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


∴这四个数为 3,6,12,18

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18×( )n 1= n-1 = 2×33 n. 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= ×3n-1=2×3n 3. 9 9

21.解:(I)由 an +1 = 2 S n + 1 可得 an = 2Sn ?1 + 1( n ≥ 2 ) ,两式相减得

an+1 ? an = 2an , an +1 = 3an ( n ≥ 2 )
又 a2 = 2 S1 + 1 = 3 ∴ a2 = 3a1
3

故 {an } 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an = 3n ?1 (Ⅱ)设 {bn } 的公差为 d 由 T3 = 15 得,可得 b1 + b2 + b3 = 15 ,可得 b2 = 5 故可设 b1 = 5 ? d , b3 = 5 + d 又 a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9 由题意可得 ( 5 ? d + 1)( 5 + d + 9 ) = ( 5 + 3 ) 解得 d1 = 2, d 2 = 10 ∵等差数列 {bn } 的各项为正,∴ d > 0 ∴d = 2 ∴ Tn = 3n +
2

n ( n ? 1) 2

× 2 = n 2 + 2n

22(I) Q an +1 = 2an + 1( n ∈ N * ), :

∴ an +1 + 1 = 2(an + 1),

∴{an + 1} 是以 a1 + 1 = 2 为首项,2 为公比的等比数列。
∴ an + 1 = 2 n.


an = 22 ? 1( n ∈ N * ).
bn ?1

(II)证法一:Q 4b1 ?14b2 ?1...4

= ( an + 1)bn .

∴ 4( b1 +b2 +...+bn ) ? n = 2nbn .

∴ 2[(b1 + b2 + ... + bn ) ? n] = nbn , 2[(b1 + b2 + ... + bn + bn +1 ) ? (n + 1)] = (n + 1)bn +1.
②-①,得 2(bn +1 ? 1) = ( n + 1)bn +1 ? nbn , 即 ( n ? 1)bn +1 ? nbn + 2 = 0, ③ ④

① ②

nbn + 2 ? (n + 1)bn +1 + 2 = 0.

4

④-③,得 即

nbn + 2 ? 2nbn +1 + nbn = 0,

bn + 2 ? 2bn +1 + bn = 0,

∴ bn + 2 ? bn +1 = bn +1 ? bn ( n ∈ N * ),

∴{bn } 是等差数列。

5


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