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2012年广州市普通高中毕业班二模数学试题(文科)及答案

时间:2013-04-30


2012 年广州市普通高中毕业班二模数学试题(文科)及答案
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 l20 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔将 自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂 改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分.满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A 满足 A {1,2},则集合 A 的个数为 A.4 A.2 A. 4 B.3 B.-2 B. C. C.2 C.2 或-2 D.-4 D.1 D.±2 或 0 2.已知 为虚数单位,复数 , ,且 ,则实数 的值为 3.已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 的值是 4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 l00 分)的茎叶图如图 l,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83.则 的 值为 A.7 A. A.3 B.8 B. B.2 C.9 C. C.1 D.10 D. D.0 5.已知向量 =(3,-4), =(6,-3), =(m,m+1),若 ∥ ,则实数 m 的值为 6 已知函数 (e 是自然对数的底数),若 ,则 的值为 7.已知两条不同直线 、 ,两个不同平面 、 ,在下列条件中,可得出 的是

市高三英语—1(共 12 页)

A. , ∥ , ∥ C. ∥ , , 8.下列说法正确的是

B. , =l, D. ∥ , ,

A.函数 在其定义域上是减函数 B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ”的否定是“ ” D.给定命题 p、q,若 p q 是真命题,则 P 是假命题 9.阅读图 2 的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为 A.9 A.1 B.10 B.2 C. C.11 D.3 D.12 10.已知实数 , 满足 ,函数 的最大值记为 ,则 的最小值为 二、填空题:本大题共 5 小题。考生作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分。 (一) 必做题(11~l3 题) 11.不等式 的解集是 。 . 12.如图 3,A,B 两点之间有 4 条网线连接,每条网线能通过的最大信息量分别为 1,2,3, 4.从中任取两条网线,则这两条网线通过的最大信息量之和为 5 的概率是 则 cos OPM 的取值范围是 . 13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点,|OP|= (点 O 为坐标原点),点 M(-1,0), (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC(顶点 A,B,C 按顺时针方 向排列)的顶点 A,B 的极坐标分别为(2, ),(2, ),则顶点 C 的极坐标为 圆 O 的切线,切点为 D,连接 AD,BD,则 的值为 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 . (1)求函数 的最小正周期; (2)若 , ,且 , ,求 的值. 17.(本小题满分 l2 分) 甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示 食物类型 甲 乙 丙 维生素 C(单位/kg) 300 500 300 维生素 D(单位/kg) 700 100 300 成本(元/kg) 5 4 3 某工厂欲将这三种食物混合成 100kg 的混合食物, 设所用食物甲、 丙的重量分别为 x kg、 乙、 . . 15.(几何证明选讲选做题)如图 4,AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C,使 BC=2OB,CD 是 三、解答题:本大题共 6 小题。满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

市高三英语—2(共 12 页)

y kg、z kg. (1)试以 x、y 表示混合食物的成本 P; (2)若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D,问 x、y、z 取什么 值时,混合食物的成本最少? 18.(本小题满分 14 分) 某建筑物的上半部分是多面体 MN-ABCD,下半部分是长方体 ABCD-A1B1C1D1(如图 5). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 6, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成, 侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. (1)求线段 AM 的长; (2)证明:平面 ABNM 平面 CDMN; (3)求该建筑物的体积. 19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2: 有一个相同的焦点 F1,直线 : 与抛 物线 C2 只有一个公共点. (1)求直线 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 上的点 P,当椭圆 C1 的长轴长取得最小值时,求椭圆 C1 的方程及 点 P 的坐标. 20.(本小题满分 14 分) 已知数列{ }的前 n 项和为 ,对任意 ,都有 且 ,令 。 (1)求数列{ }的通项公式; (2)使乘积 为整数的 叫“龙数”,求区间[1,2012]内的所有“龙数”之和; (3)判断 与 的大小关系,并说明理由. 21.(本小题满分 l4 分) 已知函数 (1)求函数 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使得函数 的极值大于 0?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,说明 理由. 参考答案 说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能 力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超 过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 市高三英语—3(共 12 页)

3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B A D C D C B 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分,其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.(-3,1) 12. 13. 14. 15. 说明:第 14 题答案可以是 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正 弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1)解: ……………2 分 . ∴函数 f(x)的最小正周期为 . (2)解:由(1)得 . . 。 , . ……………10 分 …………11 分 ……………12 分 17.(本小题满分 12 分) (本小题主要考查线性规划等知识,考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意得 由 ,得 ,代入 , 得 . 把 代入方程组得 ……9 分 如图可行域(阴影部分)的一个顶点为 A(37.5,25).…10 分 让目标函数 在可行域上移动, 由此可知 在 A(37.5,25)处取得最小值. ……3 分 (1)解:依题意知 x、y、z 要满足的条件为 ………6 分 ……………2 分 ………8 分 ……4 分 ……………6 分

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………11 分 ∴当 时,混合食物的成本最少. ………12 分 18.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识,考查数形结合、 化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:作 平面 ABCD,垂足为 O,连接 AO, 由于 平面 ABCD,故 . 作 ,垂足为 P,连接 PO, 又 ,且 平面 MPO, 平面 MPO, 平面 MPO. 由题意知 MO=PO=AP=1, ,AD=2, 在 Rt△POM 中, , 在 Rt△APM 中, , ∴线段 AM 的长为 . (2)解:延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ, 由(1)知 AB⊥平面 MPO. 平面 MPO, . , . , . 平面 ABNM. 平面 CDMN, ∴平面 ABNM⊥平面 CDMN. ……………9 分 (3)解法 1:作 交 AB 于点 P1,作 交 CD 于点 Q1, 由题意知多面体 MN-ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M-APQD 和 N-P1BCQ1 和一个直三棱柱 MPQ-NP1Q1. 四棱锥 M-APQD 的体积为 , ∴多面体 MN-ABCD 的体积为 . 长方体 的体积为 . ………13 分 …………10 分 ……………12 分 直三棱柱 MPQ-NP1Q1 的体积为 ,…11 分 ……………7 分 ……………8 分 , 平面 ABNM, 平面 ABNM, ……6 分 在△PMQ 中, ,PQ=2, ………3 分 ………4 分 ……5 分 ……1 分 ………… 2 分

市高三英语—5(共 12 页)

∴建筑物的体积为 . 依题意知 , ,AD=2.

………14 分

解法 2:如图将多面体 MN-ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ-BCQ1, 多面体 MN-ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积 减去两个等体积的三棱锥 M-ADQ 和 N-BCQ1 的体积. , . 直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积为 , …10 分 三棱锥 M-ADQ 的体积为 .…11 分 ∴多面体 MN-ABCD 的体积为 . 长方体 的体积为 . ………13 分 ∴建筑物的体积为 . 19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程 的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1:由 消去 y,得 . ∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点, ,解得 m=-4. ∴直线 l 的方程为 y=2x-4. 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 . 由 ,得 , ∴直线 l 的斜率 . 依题意得 ,解得 . 把 代入抛物线 C2 的方程,得 . ∵点 在直线 l 上, ,解得 m=-4. ∴直线 l 的方程为 y=2x-4. (2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 . 设点 关于直线 l 的对称点为 , 则 解得 ∴点 . ……8 分 ……9 分 ∴直线 l 与直线 的交点为 . 由椭圆的定义及平面几何知识得: 市高三英语—6(共 12 页) ……7 分 ……5 分 ……3 分 …………4 分 ……1 分 ……2 分 ……3 分 ……4 分 ……1 分 ………………14 分 ……12 分

椭圆 C1 的长轴长 ,

……11 分

其中当点 P 与点 P0 重合时,上面不等式取等号. ∴当 a=2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4. 此时椭圆 C1 的方程为 ,点 P 的坐标为 . 解法 2:∵抛物线 C2 的焦点为 , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 . 设椭圆 C1 的方程为 , 由 消去 y, 得 由 , 得 . 解得 . . 此时椭圆 C1 的方程为 . 把 a=2 代入(*)方程,得 , ∴点 P 的坐标为 . 20.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:由于 , …14 分 ……………11 分 ………12 分 ……………13 分 ∴当 a=2 时,椭圆 C1 的长轴长取得最小值,其值为 4. ……7 分 ……………8 分 ……9 分 ……5 分 ……………6 分 …14 分 ………12 分

当 n=1 时, . 整理得 , 解得 a1=2 或 a1=-1. , . 当 n≥2 时, , 化简得 , . , .

……………1 分

……………2 分 ……3 分

……4 分

∴数列 是首项为 2,公差为 1 的等差数列.

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. (2)解: ,

……………5 分

. 由 ,得 , .

……6 分 ……………7 分

令 ,则 (m 为整数),

∴在区间[1,2012]内的 k 值为 , 其和为 ………9 分 =2026 (3)解法 1: , ……………11 分 ……………12 分 ……………13 分 =1. . 解法 2: , = ……………11 分 …………12 分 …………13 分 =0. . 解法 3:设 , 则 . , . . …………11 分

……8 分

………10 分

……………14 分

…………14 分

…………12 分

市高三英语—8(共 12 页)

∴函数 f(x)在 上单调递减. , . . . . 21.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识,考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:函数 f(x)的定义域为 . . ……2 分 ……3 分 ……1 分 ………13 分 ………14 分

①当 a=0 时, , ∴函数 f(x)单调递增区间为 . ②当 时,令 f'(x)=0 得 , . . ……4 分 (i)当 ,即 时,得 ,故 , ∴函数 f(x)的单调递增区间为 . (ii)当 ,即 时,方程 的两个实根分别为 . ……5 分 ……………6 分 若 ,则 ,此时,当 时, . ∴函数 f(x)的单调递增区间为 , 若 a>0,则 , 此时,当 时, ,当 时, , ∴函数 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . ………7 分 综上所述,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间 为 : 当 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ,无单调递减区间. ……………8 分 (2)解:由(1)得当 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,故函数 f(x)无极值; ………9 分 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ; 则 f(x)有极大值,其值为 ,其中 . …10 分 而 ,即 , 市高三英语—9(共 12 页)

. 设函数 ,则 , 则 在 上为增函数.

……11 分 …………12 分

又 h(1)=0,则 h(x)>0 等价于 x>1. 等价于 . ………13 分 即在 a>0 时,方程 的大根大于 1, 设 ,由于 的图象是开口向上的抛物线,且经过点(0,-1),对称 轴 ,则只需 ,即 a-1-1<0 解得 a<2,而 a>0, 故实数 a 的取值范围为(0,2). 1.由于 在 是减函数, …………14 分 说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分. 而 时,a=2,故 的解集为(0,2), 从而实数 a 的取值范围为(0,2). 2.解不等式 ,而 a>0,通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为(0,2).

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