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西安高新一中2017届高一第一次月考数学试题

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2017 届高一第一次月考数学试题
一、选择题(每题 4 分,共 40 分) 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7} ,集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {3,5} ,则 A. U ? A ? B C. U ? A ? (CU B) B. U ? (CU A) ? B D. U ? (CU A) ? (CU B) ) ( )

2.函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??,4] 内是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ?3 D.以上都不对
1 ,则 f (?1) ? ( x D.-2

3.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? A.2 4.函数 y ? B.1 C.0



2? x ? x 2 ? x ? 2 的定义域是 1? x A. [?2,?1] B. [?2,1] C. [2,??)





D. (??,1) ? (1,??) ( D. y ? 1 ? x )

5.下列函数中在 (??,0) 上单调递减的是 x A. y ? B. y ? 1 ? x ? x2 C. y ? x 2 ? x x ?1 6.函数 f ( x) ? ?( x ? 3) x 的递增区间是 A.(0,+∞) B.(0,
3 ) 2

( C.(0,3) D.(3,+∞)



7.若函数 f ( x) 的定义域为 (?2,10] ,则函数 f ( x 2 ? 3x) 的定义域为 A. (?2,10]

(

)

?9 ? B. ? ,70 ? ?4 ?

C. [?2,1) ? (2,5]

D. (??,1] ? [5, ??)

?n ? 3(n ? 10), 8. 已知函数 f (n) ? ? 其中 n ? N ,则 f (8) 等于 ? f [ f (n ? 5)](n ? 10),
A.2 B.4 C.6 D.7

9. 已知函数 f ( x) ? mx2 ? mx ? 1 的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是 A.0<m≤4 B.0≤m≤1 C. m≥4 D.0≤m≤4

10.设常数 a ? R ,集合 A ? ?x | ? x ?1?? x ? a? ? 0? , B ? ?x | x ? a ?1? .若 A B ? R ,则 a 的取值范 围为( A. ? ??,2? ) B. ? ??, 2? C. ? 2, ??? D. ? 2, ???

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 11.满足条件 ?1,2? A ? ?1,2,3? 的所有集合 A 的个数是 12.已知函数 f(x)、g(x)分别由下表给出: 个.

x f(x)

1 1

2 3

3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1

则满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值是________.
1 ,? ? ) 时f 13.设偶函数 g(x)=f (x-1) 的定义域为 R, 当 x ?[ (x) 是增函数, 则 f (?1), f (? ), f (?3)

的大小关系是



?x+1? ?的所有 x 之和为 14.设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=f? ?x+4? ________. 三、解答题(共 64 分) 15. (12 分) 已知全集为实数集 R,集合 A ? { y | y ? 3x ? 1, x ?[1, 2]} ,B ? {x | x2 ? (a ?1) x ? a ? 0} , (1)当 a ? 3 时,求 A ? ?R B ;(2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 16.(12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 1 及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x , (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 在区间 ??1,1? 上的最大值和最小值。 17.(12 分)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图 所示. 已知旧墙的维修费用为 45 元/m, 新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位: m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元)

(1)将 y 表示为 x 的函数;
2

(2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 18.(14 分)函数 f(x)的定义域为 D={x∈R|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)= f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. x2+2x+a 19.(14 分)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a=2时,求函数 f(x)的最小值; (2)当 a ? 4 时,证明函数 f(x)在区间[2,+∞]上是增函数; (3)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

2017 届高一第一次月考数学答题卷
一、选择题(每题 4 分,共 40 分) 题 答 号 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 11. 13. 三、解答题(共 64 分) 15. (12 分) 已知全集为实数集 R,集合 A ? { y | y ? 3x ? 1, x ?[1, 2]} ,B ? {x | x2 ? (a ?1) x ? a ? 0} ,
3

; ;

12. 14.

; .

(1)当 a ? 3 时,求 A ? ?R B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。

16.(12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 1 及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x , (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 在区间 ??1,1? 上的最大值和最小值。

4

17.(12 分)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图 所示. 已知旧墙的维修费用为 45 元/m, 新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位: m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元)

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最 小总费用.

18.(14 分)函数 f(x)的定义域为 D={x∈R|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)= f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.

5

x2+2x+a 19.(14 分)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a=2时,求函数 f(x)的最小值; (2)当 a ? 4 时,证明函数 f(x)在区间[2,+∞]上是增函数; (3)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

6

2017 届高一第一次月考数学答案
二、选择题(每题 4 分,共 40 分) 题 答 号 案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 D 10 B

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 11. 13. 4
f (?3) ? f (? ) ? f (?1)

; ;

12. 14.

2 -8

; .

三、解答题(共 64 分) 15. (12 分) 已知全集为实数集 R,集合 A ? { y | y ? 3x ? 1, x ?[1, 2]} ,B ? {x | x2 ? (a ?1) x ? a ? 0} ,
7

(1)当 a ? 3 时,求 A ? ?R B ; (2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。

16.(12 分)已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 1 及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x , (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求 f ( x) 在区间 ??1,1? 上的最大值和最小值。

17.(12 分)围建一个面积为 360 m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图 所示. 已知旧墙的维修费用为 45 元/m, 新墙的造价为 180 元/m.设利用的旧墙长度为 x(单位: m),修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位:元)

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最 小总费用. 解析 (1)如图,设矩形的另一边长为 a m,

则 y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360, 由已知 xa=360,得 a= 360

x

.

8

所以 y=225x+

3602

x

-360(x>0).

(2)∵x>0,∴225x+ ∴y=225x+ 3602

3602

x

≥2

225×3602=10 800.

x

-360≥10 440. 3602 时,等号成立.

当且仅当 225x=

x

即当 x=24 m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10 440 元.

18.(14 分)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1) +f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解 (1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0.[2 分] (2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)=2f(1)=0.[4 分] 令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.[6 分] (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3,[7 分] ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即 f((3x+1)(2x-6))≤f(64)[8 分] ∵f(x)为偶函数, ∴f(|(3x+1)(2x-6|)≤f(64).[10 分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)的定义域为 D. ∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64.[11 分] 7 1 1 解上式,得 3<x≤5 或-3≤x<-3或-3<x<3. 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|-3≤x<-3或-3<x<3 或 3<x≤5}.[12 分]

19.(14 分)已知函数 f(x)=

x2+2x+a ,x∈[1,+∞). x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)当 a ? 4 时,证明函数 f(x)在区间(0,2]上是减函数;
9

(3)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 1 1 解 (1)当 a=2时,f(x)=x+2x+2, 设 x1,x2∈[1,+∞)且 x1<x2, 1 1 f(x1)-f(x2)=x1+2x -x2-2x 1 2 1 =(x1-x2)(1-2x x ) 1 2 ∵x1<x2,∴x1-x2<0,又∵1<x1<x2, 1 ∴1-2x x >0, 1 2 ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2) ∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数, 7 ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f(1)=2. x2+2x+a (2)方法一 在区间[1,+∞)上,f(x)= >0 恒成立,等价于 x2+2x+a>0 恒成立. x 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a, 于是当且仅当 ymin=3+a>0 时,函数 f(x)恒成立, 故 a>-3. a 方法二 f(x)=x+ x +2,x∈[1,+∞), 当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正,满足题意,当 a<0 时,函数 f(x)递增; 当 x=1 时,f(x)min=3+a,于是当且仅当 f(x)min=3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成立, 故 a>-3. x2+2x+a 方法三 在区间[1,+∞)上 f(x)= >0 恒成立等价于 x2+2x+a>0 恒成立. x 即 a>-x2-2x 恒成立. 又∵x∈[1,+∞),a>-x2-2x 恒成立, ∴a 应大于函数 u=-x2-2x,x∈[1,+∞)的最大值. ∴a>-x2-2x=-(x+1)2+1. 当 x=1 时,u 取得最大值-3,∴a>-3. 变式迁移 2 解 设 1<x1<x2. ∵函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数, a a a a ∴f(x1)-f(x2)=x1-x +2-(x2-x +2) 1 2 a =(x1-x2)(1+x x )<0. 1 2 a 又∵x1-x2<0,∴1+x x >0,即 a>-x1x2 恒成立. 1 2 ∵1<x1<x2,x1x2>1,-x1x2<-1. ∴a≥-1,∴a 的取值范围是[-1,+∞).

10


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