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高中物理竞赛必备辅导资料——角动量守恒

时间:2012-08-28


笫六章 角动量守恒 目 录

(一)角动量和力矩 (二)质点系角动量定理

(三)质心系的角动量定理
(四)对称性与守恒定律

1

第六章 角动量守恒

(一)角动量与力矩
一、质点的角动量
? 角动量:从给定参考点指向质点的位矢 r 与 ? 质点动量 mv 的矢积

O

? ? ? ? ? L ? r ? P ? r ? mv
方向:由右手定则确定 大小: L ? mrv sin ? ? 2mS ?OAB 单位: kgm / s
2

? r
A

? L

?

B ? mv

量纲: L2 MT ?1
2

第六章 角动量守恒

讨论:
⑴ 角动量是相对于给定的参考点定义的,且参考点在所选 的参考系中必须是固定点。一般把参考点取在坐标原点。 这样,才有 Z

? ? ? ? ? L ? r ? P ? r ? mv

O'
? L

⑵角动量是矢量,可用分量形式表示。 在直角坐标系中
? i ? j y ? k z

? r? ? r
? L?

O B ? mv

Y

?L ,L ,L ? ?
x y z

X

A

x

?

? ? 其中: ? mv p

p x p y pz

3

第六章 角动量守恒

二、力矩

给定参考点

作用力F,其作用点的位矢为r,它对O点的力矩被定义为

? ? ? M ? r ?F
方向:由右手定则确定 大小: M ? rF sin? 在直角坐标系中,其分量表示
? i ? j y
O

z d r F

P

?

? k z
4

?M ,M ,M ? ?
x y z

x

Fx F y Fz

第六章 角动量守恒

二、质点的角动量定理
角动量和力矩的物理意义体现在两者所遵从的物理规律上.

? ? ? ? ? d ( mv ) r ?F ? r ? ?F ? dt dt ? ? ? ? d ?mv ? dr ? d ? ?r ? mv ? ? r ? ? ? ?mv ? dt dt dt ? ? ? ? dr ? ? v, v ?v ? 0 dt ? ? ? d ( mv ) d ? ? ( r ? mv ) ? r ? dt dt
? d ( mv )

5

第六章 角动量守恒

dt 即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点 的力矩---质点的角动量定理
? ? Mdt ? dL

? ? d ? ? r ?F ? r?P dt

?

?

? M ?

? dL



?

t2

t1

? ? ? Mdt ? L2 ? L1

表明角动量的增量等于冲量矩(角冲量)的积分

讨论:
⑴ 各量均对同一参考点;

v

O r ? ? ⑵ 因 r ? v 在数值上等于r 和 v 为邻边的平行四边形面 积,也就是 r 在单位时间内所掠过的面积(掠面速度)的 两倍,故角动量与掠面速度成正比,为掠面速度的2m 倍; ⑶ 质点角动量定理系由牛顿定律导出,故它仅适用于惯性 系. 6

第六章 角动量守恒

三、质点的角动量守恒定理
? 当 M ? 0 时,

? ? ? L ? r ? mv ? const
守恒条件:
⑴ 孤立质点,F =0 ⑵ 力F 通过定点O,即有心力. ⑶ 当外力矩对定点的某一分量为零时,则 角动量的该分量守恒:
Mx ? 0 My ? 0 Mz ? 0 Lx ? const Ly ? const Lz ? const
7

第六章 角动量守恒

例6.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑. 求小球在B点时对环心的角动量和角速度.

解:力矩分析

M ? mgR cos ?
M ? dL dt

O

用角动量定理:

? ?

R

t =0 A
N



dL ? mgR cos ?dt (1) 2 2 d? (2) L ? mR ? ? mR
dt
2 3

B

mg

由(1)和(2)可得

LdL ? m gR cos ?d?
3

?

L

LdL ?

0

?

?

m gR cos?d?
2 3

L ? mR 2
2 g sin ? R

2 g sin ?
8

0

??

L mR
2

?

第六章 角动量守恒

例题6.2 摆长为l 的锥摆作匀速圆周运动,摆线与铅 垂线成 ? 角,求摆球速率. z
解:如图,在圆锥摆的运动过程 中,摆球相对支点O的角动量为 ? ? ? L ? r ? mv .L是一个可以绕z轴 旋转的矢量.将其分解两个分量 Lz , L? ,其大小分别为
Lz ? mvl sin? L? ? mvl cos ?
??

? ?? L

O ?

Lz

?

L?

l
v

显然,Lz 不变,而 L? 随时间改变.如图,有

mg
(1)
9

? L ? ? L? ? L? ?? ? mvl cos ???

第六章 角动量守恒
另一方面,作用于摆球的外力有张力和重力,张力对支点O 无力矩,而重力矩的方向与圆周半径垂直,其大小为
M ? mgl sin ?
(2)

在式①两边都除以 ?t ,并取 ?t ? 0 极限,利用角动量 定理及式②,得
dL dt ? mvl cos ? d? dt ? mgl sin?

d? dt

?

g sin? v cos ?
2

(3)
2



v ? l sin?

d? dt

(3)和(4) (4)

v ?

gl sin ? cos ?

由此解得
v ? sin? gl cos ?

??

g l cos ?
10

第六章 角动量守恒

(二)质点系角动量定理
一、质点系角动量定理
质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的角动量的矢 量和:
? L? ? ? li ?
i

? ? ? ri ? pi ?
i

? ? ? ri ? mi vi
i

对 t 求导,利用质点角动量定理,则得 ? ? ? ? ? dL dli ?? ? ? ri ? Fi ? f i dt dt i i

?

?
体系角动量定 理的微分形式
11

内力对体系的总力矩为零,上式变为 ? ? ? ? ? dL ? ? ri ? Fi ? ? M i ? M dt i i

第六章 角动量守恒
体系角动量定理的积分形式
? ? L ? L0 ?

?

t

? Mdt

0

体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩 质点系角动量定理指出,只有外力矩才对体系的角动量变化 有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献,但对角动量在体系内 的分配是有作用的.

二、质点系角动量守恒
当外力对定点的总外力矩为零时,则

? L ? const

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第六章 角动量守恒

讨论:
⑴关于总外力矩 M=0,有三种不同情况: (a)对于孤立系统,体系不受外力作用. (b)所有外力都通过定点. (c)每个外力的力矩不为零,但总外力矩M=0.
(2)角动量守恒定律是矢量式,它有三个分量,各分量可以 分别守恒. (a)若 M ? 0,则 x (b)若 M y ? 0, 则
Lx ? const Ly ? const Lz ? const

. .

(c)若 M ? 0,则 z

.

(3)角动量守恒定律是一个独立的规律,并不包含在动量 守恒定律或能量守恒定律中.

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第六章 角动量守恒

(三)质心系的角动量定理
在处理问题时常采用质心平动系去考察质点系的动力学性 质,那么,如果采用质心参考系,并取质心为参考点时,质 点系相对于质心的角动量随时间的变化规律将如何表述呢?

一、质心系中的角动量定理
质心系若为非惯性系,则加上惯性力的力矩,角动量定理 M? 仍适用.设 L? 为质心系中体系对质心的总角动量, 0 为外力对 ? 质心力矩之和,M c为惯性力对质心的力矩之和,则
? ? ? ? M0 ? Mc ? ? dL? dt

由于质心平动系中,作用在各质点的惯性力与质量成正比, 方向与质心加速度相反,故对质心的力矩为
14

第六章 角动量守恒
? ? Mc ?

? 其中 rc? 为质心系中质心位矢,它必为零,故
? ? M0 ? ? dL? dt

? ? ? ? ? ri?? Fc? ? ? ri?? ? ? mi ac ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? mi ri?? ac? ? ? ? mi ri?? ? ac ? ? MrC ? ac ? 0

质心系角动量微 分形式

即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质 心的外力矩总和. ? ? t ? 质心系角动量 ?dt ? L? ? L0 ? 积分形式 ? M0
0

注意:质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具 有完全相同的形式,但后者总被强调在惯性系中成立, 而质心即使有加速度,质心系为非惯性系,质心角动 量定理仍成立. 15

第六章 角动量守恒

二、质心系的角动量守恒
当外力相对质心的总力矩为零时,体系相对质心的角动量 为恒量

L? ? const

利用质心系的角动量守恒定理,可以清楚地解释运动员 的跳水过程.

三、体系角动量与质心角动量
在惯性系中,质点系相对于定点的角动量为

? L?
? ? ? 而 ri ? rc ? ri ?

? ? ? ri ? mi vi
i

? ? ? vi ? vc ? vi? ,代入上式得
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第六章 角动量守恒
? L? ? ? ? ? ? ?rc ? ri ?? ? mi ?vc ? vi??
i

? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? rc ? ? ? mi ? vc ? ? ri ?? mi vi? ? rc ? ? mi vi? ? ? ? mi ri ?? ? vc i i ? i ? ? i ?

根据质心的定义,上面后两项为零.于是

? ? ? ? ? ? ? ? L ? rc ? P ? ? ri ?? mi vi? ? rc ? p ? L?
i

质心角动量

体系相对 质心角动量

上式表示体系的角动量等于质心角动量与体系 相对于质心角动量之和.

17

第六章 角动量守恒

例题6.3 质量为 ?m1、m2 ? ? ? 的两个质点的位矢和速度分 别为 r1、v1 和 r2 、v2 ,试求⑴每个质点相对于两 质点质心的动量.⑵两质点相对于它们的质心的角动 量.
解:⑴ 对于由两个质点构成的质点系,引入相对速度u

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v12 ? v1 ? v2 ? v 1 ? v 2

考虑到质心系是零动量参考系,即 ? ? ? ? m1v1 ? m2v2 ? 0 可得
? ? v1 ? m2 m1 ? m2 ? u ? ? v2 ? ? m1 m1 ? m2 ? u
18

第六章 角动量守恒
由此可得,每个质点相对于质心的动量分别为 ? ? m1 m 2 ? ? ? ? p1 ? m1v1 ? u ? ?u m1 ? m 2 两质点的 ? ? ? 约化质量 ? p ? ? m 2 v 2 ? ? ?u 2
⑵ 利用质心表达式,每个质点相对于质心的位矢分别为
? ? ? r1? ? r1 ? rc ? ? ? ? r2? ? r2 ? rc ? ? ? m2 ?r1 ? r2 ? m1 ? m2 ? ? m1 ?r2 ? r1 ? m1 ? m2 ? ? m2 r12 m1 ? m2 ? m1r12 ?? m1 ? m2

故两个质点相对于它们的质心的角动量为
? ? ? ? ? ? Lc ? r1?? p1 ? r2? ? p? 2 ? ? ? ? ? ?r 12 ?u ? r12 ? ??u ?

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第六章 角动量守恒

(四) 对称性与守恒定律
物理学的规律是有层次的,层次越深,则规律越基本、越 简单,其适用性也越广泛,但也越不容易被揭示出来。

一、自然界中的对称性:对称是自然界固有的一种属性。 : 二、对称性的有关概念
1.系统:研究物体或对象 2.状态:系统的性质稳定不变时,称系统处于某种状态;不同的状态可以是“等价 的”,也可以是“不等价的”; 3.变换:使系统从一个状态变到另一个状态的过程, 或称为给了系统一个操作; 4.对称性:在一个操作下,系统从一个状态变化到另一个 与之等价的状态,称系统在这个操作下是对称的; 这个操作叫做该系统的一个对称操作。
?/2 或?

20

第六章 角动量守恒

三、对称性的种类
镜象对称:如果将中心线设想为一个垂直于图面的平 面镜与图面的交线,则中心线两边的每一 半都分别是另一半在平面镜内的像。 镜象对称又称为左右对称,镜象对称操作 称为空间反演操作。
转动对称:如果使一个系统绕某一固定轴转动一个角 度,它又和原来一模一样。 如果一个形体对通过某一定点的任意轴都 具有转动对称性,此系统就具有球对称性 ,这个定点是对称中心。具有球对称的系 统,从对称中心出发,具有各向同性。 平移对称:如果一个系统发生一平移后,它也和 原来一模一样,那么该系统具有空间 平移对称性。

21

第六章 角动量守恒

四、物理定律的对称性 时空操作:
空间操作:平移、转动、镜象反射、空间反演等; 时间操作:时间平移、时间反演等。 相应的对称性称为时空对称性。
物理定律的对称性与空间平移对称性、时间平移对称性、 空间转动对称性、镜象对称性等密切相关。 ?物理定律的空间平移不变性 在空间某处做一个物理实验,然后将该套实验仪器(连同 影响实险的一切外部因素)平移到另一处,给予同样的起始条 件,实验将会以完全相同的形式进行,这就是物理定律的空间 平移不变性,又叫空间的均匀性。
22

第六章 角动量守恒
?物理定律时间平移不变性 一个实验只要不改变原始的条件和所使用的仪器,不管是 今天去做还是明天去做。都会得到相同的结果。这事实称为物 理定律的时间平移不变性,又称为时间的均匀性。

? 物理定律的空间转动不变性 物理实验仪器不管在空间如何转向,只要实验条件相同, 那未物理实验会以完全相同的方式进行,其物理实体在空间所 有方向上都是相同的,这称为物理定律的空间转动不变性,又 叫空间的各向同性。

23

第六章 角动量守恒
?物理定律的镜像不变性 假定一只钟在滴答滴答的走着。现在从一面镜子中来看这只 钟,镜子中出现一只与原来钟左右对调过来的钟。若能实际制 造出同镜子中钟的像完全相同的钟,这样就制成了两只实际存 在的钟,而且一只钟是另一只钟的“像”。如果两只钟发条上 得一样紧,并在相同的条件下开始走动。那么事实会证明这两 只钟将永远以相同的速率走动,亦即它们遵从相同的力学定律. 物理定律的对称性有着深刻的含义。通常我们从运动方程出 发讨论守恒律,然后说明对称性。而在理论物理中,往往以对 称性为出发点。1905年人们理解了麦克斯韦方程中的对称性, 1909年爱因斯坦就设想:“为什么我们不能将这样的过程倒过 来,为什么我们不能从对称性出发建立符合对称性原则的基本 方程,并由此得到和方程符合的实验结果?”1954年杨—米尔 斯(Yang—Mills)提出的非阿贝耳规范对称理论是这方面的典范。
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第六章 角动量守恒

五、对称性与守恒定律
对应于每一种对称性,都存在一个守恒定律。下表列 出了物理学中常见的对称性和相应的守恒定律:

对称性(不变性) 空间平移 时间平移 转动 空间反演 时间反演 电荷规范变换 重子规范变换 轻子规范变换 电荷共轭

守恒律 动量 能量 角动量 宇称 —— 电荷 重子数 轻子数 电荷宇称

25

第六章 角动量守恒
?下面讨论时空对称性与动量守恒定律: 为简单起见,假设一个体系由两个相互作用着的粒子组 成,它们只限于在具有平移对称性的x轴上运动,如图所示。 设两粒子的坐标分别为 x1 , x 2 ,体系的势能为
V ? V ? x1 , x2 ?
x x
x1 ? ?x

当体系发生一平移 ?x 时,两 0 粒子的坐标分别为
? x1 ? x1 ? ?x x ? ? x 2 ? ?x 2

? ? x1 ?

x2

x 2 ? ?x

?x? ? 2

但两粒子间的距离未变,即
x ? ? x 2 ? x1 ? x
26

第六章 角动量守恒
空间的平移对称性意味着势能与之无关,即空间平移操作下 势能保持不变,即
? V ? V ? x ? ? V ? x2 ? x1 ? ? V ? x? ? x1 ? 2

在这样的条件下,坐标1和2所受的力分别为
F1 ? ? F2 ? ? ?V ?x1 ?V ?x2 ?? ?? ?V ?x ?x ?x1 ?V ?x ?x ?x2 ? ?V ?x ?V ?x

F1 ? F2 ? 0

??

按照力的定义式,则有
?p1 ?t ? ?p2 ?t ? ? ?t

? p1 ?

p2 ? ? 0

这就是动量守恒定律。因此,从空间平移对称性导出了 动量守恒定律

27

第六章 角动量守恒

本章基本要求
1.理解角动量和力矩的物理意义,特别是所涉及的矢量关系. 2.掌握质点和质点系角动量定理及守恒定律,并能处理一些 实际问题. 3.掌握质心系的角动量定理,理解质心系中处理问题的特点

及与实验室坐标系的互换关系.
4.了解对称性的意义,及与守恒定律的关系。

28


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