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高中物理竞赛必备辅导资料——刚体角动量

时间:2012-08-28


§4-6 刚体角动量和角动量守恒定律

1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理: M z ?
d dt

?J? ?

由几个物体组成的系统,如果它们对同一给 定轴的角动量分别为 J1?1、 J ? 、…,
2 2

则该系统对该轴的角动量为:

Lz ? ? J i? i
i

i ? 1,2,?

对于该系统还有 M

Z

d ? ? ? ? ? ? J i? i ? ? dt dt ? i d LZ

定轴转动刚体的角动量定理

在外力矩作用下,从 t 0 ? t , 角动量 L z 0 ? ? J ? ? 0 变为 L Z ? J ? , 则由
Mz ? d dt

?J? ?



角动量定理的微分形式:

? ?
t t0

t

t0

M d t ? J? ? J? 0

M d t 为?t ? t ? t0 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。

2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律:若一个系统一段时间 内所受合外力矩M 恒为零,则此系统的总角 动量L 为一恒量。
当M
z

? 0 时,

L ? J? ? 恒量

讨论: a.对于绕固定转轴转动的刚体,因J 保持不变, 当合外力矩为零时,其角速度恒定。
当M
z

? 0 时,

J =恒量

? =恒量

定轴转动刚体的角动量守恒定律

b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大→ ? 小,J 小→ ? 大。
当M ? 0 时, L z ? J 1? 1 ? J 2 ? 2 ? 恒量

z

c.若系统内既有平动也有转动现象 发生,若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。

定轴转动刚体的角动量守恒定律

应用事例:

常平架上的回转仪
A

精确制导

直升飞机

L

B

C C

B

A

定轴转动刚体的角动量守恒定律

直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v? dx dt

刚体的定轴转动
d x dt
2 2

a?

dv dt

?

??

d? dt

??

d? dt

?

d ?
2

dt

2

P ? mv

EK ?

1 2

mv

2

L ? J?

EK ?

1 2

J?

2

F
dA? Fdx F ? ma

m
F dt

M
d A ? M d?
M ? J?

J
M dt

? F dt ? P ? P
?Fdx?
1 2
2

0

? M dt ? L ? L
1 2 mv0
2

0

mv ?

? M d? ?

1 2

J? ?
2

1 2

J? 0

2

定轴转动刚体的角动量守恒定律

例题4-11 一匀质细棒长为l ,质量为m,可绕通过其端 点O的水平轴转动,如图所示。当棒从水平位置自由释 放后,它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物 体的质量也为m ,它与地面的摩擦系数为 ?。相撞后物 体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地 面的最大高度h,并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆 的条件。

解: 这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外, 其余内力与外力都不作功,所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能

O

C

定轴转动刚体的角动量守恒定律

零点,用?表示棒这时的角速度,则
1?1 mg ? J ? = ? ml 2 2 2?3 l 1
2 2

? ?? ?

2

(1)

第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短,自由 的冲力极大,物体虽然受到地面的摩擦力,但可以 忽略。这样,棒与物体相撞时,它们组成的系统所 受的对转轴O的外力矩为零,所以,这个系统的对O 轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度, 则 ? 1 ? 1 2 ? 2 ? ml ? ? ? mvl ? ? ml ? ? ? (2) ?
? 3 ? ? 3 ?

式中 ?棒在碰撞后的角速度,它可正可负。 ?’ 取 正值,表示碰后棒向左摆;反之,表示向右摆。

定轴转动刚体的角动量守恒定律

第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减 速直线运动,加速度由牛顿第二定律求得为
? ? mg ? ma

(3)

由匀减速直线运动的公式得
0 ? v
2

? 2 as
(4)

亦即

v

2

? 2 ? gs

由式(1)、(2)与(4)联合求解,即得 3 gl ? 3 2 ? gs ??? (5) l

定轴转动刚体的角动量守恒定律

当?‘取正值,则棒向左摆,其条件为
3 gl ? 3 2 ? gs ? 0

亦即l>6?s;当?’ 取负值,则棒向右摆,其条件 为
3 gl ? 3 2 ? gs ? 0

亦即l <6?s

棒的质心C上升的最大高度,与第一阶段情 况相似,也可由机械能守恒定律求得:
mgh 1 ? 1 ? ml ? 2 ? 3
2

? ? ?2 ? ?

(6)

把式(5)代入上式,所求结果为
h ? l 2 ? 3?s ? 6 ? sl

定轴转动刚体的角动量守恒定律

例题4-12 工程上,两飞轮常用摩擦啮合器使它们 以相同的转速一起转动。如图所示,A和B两飞轮的 轴杆在同一中心线上,A轮的转动惯量为 JA=10kg?m2,B的转动惯量为JB=20kg?m2 。开始时A 轮的转速为600r/min,B轮静止。C为摩擦啮合器。 求两轮啮合后的转速;在啮合过程中,两轮的机械 能有何变化?
A C B A C B

?A

?

?

定轴转动刚体的角动量守恒定律

解 以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑,在 啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力,前者对转轴的力矩为零,后者对转轴 有力矩,但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩,所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得 J A ? A ? J B ? B= ? J A ? J B ??

?为两轮啮合后共同转动的角速度,于是

? ?

J A? J

A A

? J B? ? JB

B

以各量的数值代入得

? ? 20 . 9 rad / s

定轴转动刚体的角动量守恒定律

或共同转速为
n ? 200 r / min

在啮合过程中,摩擦力矩作功,所以机 械能不守恒,部分机械能将转化为热量,损 失的机械能为
?E ? 1 2 J A?
2
A

?
4

1 2

J B?

2
B

?

1 2

? J A ? J B ??

2

? 1 . 32 ? 10 J

定轴转动刚体的角动量守恒定律

例题4-13 恒星晚期在一定条件下,会发生超新星 爆发,这时星体中有大量物质喷入星际空间,同时 星的内核却向内坍缩,成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体,一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量!设某恒星绕自转轴每45天转一周, 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2?107m , 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6?103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。 解 在星际空间中,恒星不会受到显著的外力矩,因 此恒星的角动量应该守恒,则它的内核在坍缩前后的 角动量J0?0和J?应相等。因 2 2 2 2 J 0= mR 0 ,= mR J 5 5

定轴转动刚体的角动量守恒定律

代入J0?0=J?中,整理后得
? R0 ? ?= ? 0? ? ? R ? 1 ? 2 ? 10 = ? 45 ? 6 ? 10 ? 3r / s
2

7 3

1 ? ? ? ? ? ?r / s ? ? 24 ? 60 ? 60 ?

2

由于中子星的致密性和极快的自转角速度,在 星体周围形成极强的磁场,并沿着磁轴的方向发出 很强的无线电波、光或X射线。当这个辐射束扫过地 球时,就能检测到脉冲信号,由此,中子星又叫脉 冲星。目前已探测到的脉冲星超过300个。

定轴转动刚体的角动量守恒定律

例题4-14 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为 J= 2?103kg?m2 ,它以?=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋 转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。 每个喷管的位置与轴线距离都是r=1.5m。两喷管的喷 气流量恒定,共是 ?=2kg/s 。废气的喷射速率(相对 于飞船周边)u=50m/s,并且恒定。问喷管应喷射多 长时间才能使飞船停止旋转。
dm/2

解 把飞船和排出的 废气看作一个系统, 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量,

?u
Lg u dm/2

r

L0

?

定轴转动刚体的角动量守恒定律

所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量,即
L 0= J ?

在喷气过程中,以dm表示dt时间内喷出 的气体,这些气体对中心轴的角动量为dm ? r(u+v) , 方 向 与 飞 船 的 角 动 量 相 同 。 因 u=50m/s远大于飞船的速率v(= ?r) ,所以此 角动量近似地等于dm ? ru。在整个喷气过程 中喷出废气的总的角动量Lg应为
L g = ?0 dm ? ru ? mru
m

定轴转动刚体的角动量守恒定律

当宇宙飞船停止旋转时,其角动量为零。系统这时 的总角动量L1 就是全部排出的废气的总角动量,即 为 L 1 ? L g = mru
在整个喷射过程中,系统所受的对于飞船中心轴的 外力矩为零,所以系统对于此轴的角动量守恒,即 L0=L1 ,由此得
J ? = mru



m ?

J? ru

定轴转动刚体的角动量守恒定律

于是所需的时间为
t ? m ? J? ? 2 ? 10 ? 0 . 2
3

?

? ru

2 ? 1 . 5 ? 50

s ? 2 . 67 s

定轴转动刚体的角动量守恒定律

例1 一长为l 、质量为m 的匀质细杆,可绕光滑轴O 在 铅直面内摆动。当杆静止时,一颗质量为m0 的子弹水 平射入与轴相距为a 处的杆内,并留在杆中,使杆能偏 转到?=300,求子弹的初速v0。
解:分两个阶段进行考虑 (1)子弹射入细杆,使细杆获得初 速度。因这一过程进行得很快,细 杆发生偏转极小,可认为杆仍处于 竖直状态。子弹和细杆组成待分 析的系统,无外力矩,满足角动量 守恒条件。子弹射入细杆前、后 的一瞬间,系统角动量分别为
L0 ? m0 v0 a

a

m0
1

L ? J?

其中 J ? m0 a ? ml
2

2

3

定轴转动刚体的角动量守恒定律

由角动量守恒,得:J? ? m0 v0 a (2)子弹随杆一起绕轴O 转 动。以子弹、细杆及地球构 成一系统,只有保守内力作 功,机械能守恒。选取细杆 处于竖直位置时子弹的位置 为重力势能零点,系统在始 末状态的机械能为:
E0 ? 1 2 J? ? mg (a ?
2

(1)

a

?
m0

l 2

)
l 2 cos ? )

E ? m0 ga (1 ? cos ? ) ? mg (a ?

势能零点

定轴转动刚体的角动量守恒定律

由机械能守恒,E=E0, 代入?=300,得:
1 2 J? ? mg (a ?
2

l 2

) ? m0 ga(1 ?

1 2

) ? mg (a ?

l 1 22

)

将上式与 J? ? m0 v0 a 联立,并代入J 值,得
1 m0 a 2? 6 3

v0 ?

(ml ? 2m0 a)( ml ? 3m0 a ) g
2 2

定轴转动刚体的角动量守恒定律

例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动,角速度分别 为:?A=50rad.s-1, ?B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径 RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量 mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度? . 解:以两圆盘为系统,尽管在衔接 ?A ?B 过程中有重力、轴对圆盘支持力及 轴向正压力,但他们均不产生力矩 ;圆盘间切向摩擦力属于内力。因 此系统角动量守恒,得到 B A
? J A? A ? J B? B ? ( J A ? J B )? ? 2 2 J A ? mA RA 2 , J B ? mB RB 2 ? 2 2 m A RA? A ? mB RB? B ?1 ?? ? 100 rad? s 2 2 m A RA ? mB RB

?

定轴转动刚体的角动量守恒定律

例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动,角速度分别 为:?A=50rad.s-1, ?B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径 RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量 mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度? . 解:以两圆盘为系统,尽管在衔接 ?A ?B 过程中有重力、轴对圆盘支持力及 轴向正压力,但他们均不产生力矩 ;圆盘间切向摩擦力属于内力。因 此系统角动量守恒,得到 B A
? J A? A ? J B? B ? ( J A ? J B )? ? 2 2 J A ? mA RA 2 , J B ? mB RB 2 ? 2 2 m A RA? A ? mB RB? B ?1 ?? ? 100 rad? s 2 2 m A RA ? mB RB

?


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