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MATLAB在IIR滤波器设计中的应用

时间:2010-06-13


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文章编号 :1002 - 6886 ( 2006) 05 - 0060 - 03

现代机械   2006 年第 5 期

  

MATLAB 在 IIR 滤波器设计中的应用
杨大柱
( 中国人民解放军汽车管理学院 ,安徽   蚌埠   233011)

摘要 : 数字滤波技术是数字信号处理的一个重要组成部分 ,滤波器的设计是信号处理的核心问题之一 。本文根据 IIR 滤波 器的设计原理 ,提出了 MA TL AB 环境下基于双线性变换法的 IIR 滤波器设计方法 ,在该方法中只需要将数字滤波器的技 术性能指标按双线性变换法转换为模拟滤波器的性能指标 ,再根据指定的模拟滤波器设计出相应的数字滤波器 。文中给 出了设计实例 ,仿真结果表明设计的各项性能指标均达到了指定要求 ,设计过程简便易行 ,MA TL AB 环境为设计 IIR 滤波 器提供了一个可靠而有效的工作平台 。 关键词 : 双线性变换法  IIR 滤波器   MA TL AB   仿真 Application of MATLAB in the Design of IIR Filter
YANG Da2zhu

Abstract : Digital filtering is an impo rtant part of digital signal p rocessing ,t he design of digital filters is one of t he kernel p roblems in digital signal processing. The paper int roduces t he met hod of double linear t ransform to design IIR filter in MA T2 L AB environment . In t he met hod it ’ s necessary to t ransform t he digital filter ’ s parameter to analog filter ’ s parameter ac2 cording to do uble linear t ransform ,and t he digital filter is designed based o n t he indicated filter. Example are also given. in t he paper ,t he simulation result shows t hat t he designed filter can meet t he requirement s very well and t he design p rocedure is simple and p ractical. MA TL AB p rovides a reliable and efficient work statio n to design IIR filter. Key words :do uble linear t ransform ; IIR filter ; MA TL AB ; simulatio n
4] 1  引言 [ 1 、

2  IIR 滤波器的设计[ 3] 2. 1 IIR 滤波器设计思路
IIR 滤波器可以用常系数微分方程表示为 :
M N k

在数字信号处理中 ,数字滤波器占有极其重要的地位 , 数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装 置 ,其输入 、 输出均为数字信号 ,实质上是一个由有限精度 算法实现的线性时不变离散系统 。它的基本工作原理是利 用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换 ,改变输 入序列的频谱或信号波形 ,让有用频率的信号分量通过 ,抑 制无用的信号分量输出 。数字滤波器和模拟滤波器有着相 同的滤波概念 ,根据其频率响应特性可分为低通 、 高通 、 带 通、 带阻等类型 ,与模拟滤波器相比 , 数字滤波器除了具有 数字信号处理固有优点外 ,还有滤波精度高 ( 与系统字长有 关) 、 稳定性好 ( 仅有 0 与 1 两个电平状态 ) 、 灵活性强等优 点 。数字滤波器按其冲击响应的时域特性可分为无限长单 位脉冲响应滤波器 ( IIR) 和有限长单位脉冲响应滤波器 ( FIR) 。FIR 滤波器可以得到严格的线性相位 ,但它的传递 函数的极点固定在原点 ,只能通过改变零点位置来改变性 能 ,为了达到高的选择性 ,必须用较高的阶数 ,对于同样的 滤波器设计指标 , FIR 滤波器要求的阶数可能比 IIR 滤波 器高 5~10 倍 。IIR 滤波器的设计可以利用模拟滤波器许 多现成的设计公式 、 数据和表格 ,计算的工作量较小 。

y ( n) =

k =1

∑a x ( n -

k) -

k =1

b y (n∑
k

k)

( 1)

式中 : x ( n) 和 y ( n) 分别表示输入和输出信号序列 , ak 和 b k 是滤波器系数 。
IIR 数字滤波器的系统函数为 z - 1 的有理分式 :
N

H ( z) =

k =0 N

bz ∑
k

- 1

( 2)
k

1+

k =1

∑a z

- 1

对照模拟滤波器的传递函数 :
H ( s) = bm S m + bm - 1 S m - 1 + ……+ b0 an S n + an - 1 S n - 1 + ……+ a0 ( 3)

不难看出 , 数字滤波器与模拟滤波器的设计思路相仿 , 其设计实质也是寻找一组系数{ b, a} , 去逼近所要求的频率 响应 , 使其在性能上满足预定的技术要求 。由于模拟滤波 器的设计理论上已十分成熟 , 有很多简单而且现成的设计 公式 , 并且设计参数已经表格化了 , 因此数字滤波器设计的 关键是将 H ( s) 转换为对应的 H ( z ) , 即把 S 平面映射到 Z

) ,男 ,安徽怀远人 ,毕业于天津南开大学电子系 ,硕士学位 ,解放军汽车管理学院电工电子教研室讲师 ,从事   作者简介 : 杨大柱 (1973 —

电子学与计算机应用方面的教学与研究 。   收稿日期 :2006 - 3 - 9

   设计 ? 研究 ? 分析
平面 , S - Z 映射的方法有 : 冲激响应不变法 、 双线性变换 法等 , 冲激响应不变法会产生频谱混叠现象 , 下面讨论双线 性变换法 。
ws1 = wp0 - ( ws2 - wp0) ;

?61 ?

wc1 = (2/ T) 3 tan ( wp1/ 2) ; wc2 = (2/ T) 3 tan ( wp2/ 2) ; wr1 = ( 2/ T) 3 tan ( ws1/ 2 ) ; wr2 = ( 2/ T ) 3 tan ( ws2/ 2) ; w0 = ( 2/ T) 3 tan ( wp0/ 2) ; B = wc2 - wc1 ; %将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标 normwr1 = ( ( ( wr1^2) - ( w0^2) ) / (B 3 wr1) ) ; normwr2 = ( ( (wr2^2) - (w0^2) ) / (B 3 wr2) ) ; normwc1 = ( ( ( wc1^2) - ( w0^2) ) / (B 3 wc1) ) ; normwc2 = ( ( ( wc2^2) - ( w0^2) ) / (B 3 wc2) ) ; %设计归一化的模拟低通滤波器 if ( abs ( no rmwr1) - abs ( normwr2) ) > 0 normwr = abs (normwr2) ; else normwr = abs ( normwr1) ; end normwc = 1 ; ); N = butto rd ( normwc ,no rmwr ,Ap ,As ‘ , s’ [ bL P ,aL P ] = butter ( N ,normwc , ’s ’) ; [ bB P ,aB P ] = lp2bp ( bL P ,aL P ,w0 ,B) ; %用双线性变换法转换成数字滤波器 Fs = 1/ T ; [ b ,a ] = bilinear ( bB P ,aB P ,Fs) ; w = linspace (0 ,2 3 pi ,500) ; h = f reqz ( b ,a ,w) ; plot (w ,20 3 log10 (abs (h) ) ) ; axis ( [ 0 ,2 3 pi , - 120 ,20 ] ) ;grid ( 频率 ( rad) ’ ); xlabel ‘ ( 增益 (dB) ’ ); ylabel ‘ sys = tf ( b ,a , T)

2 . 2 双线性变换法
双线性变换法的基本思想是用表征数字滤波器 H ( z) 的差分方程作为模拟滤波器 H ( s) 所对应的微分方程的近 似解 。将模拟滤波器的传递函数表达式 ( 1) , 展开为部分分 式 , 设无相重极点 , 则 :
N

H ( s) =

k=1

∑ s +λ
Ak
k

( 4)

由于各项具有相同的形式 , 研究其中一项就足可以说 明整体的规律 , 每一项对应于一个一阶微分方程 : ( t) +λy ( t) = A x ( t) ( 5) y′ 其 中 x ( t ) , y ( t ) 分 别 为 模 拟 输 入 和 输 出 。用 y ( n) - y ( n - 1) 1 ( t) , 用 [ y ( n) + y ( n - 1 ) ] 来代替 代替 y′ T 2 1 y ( t) , 用 [ x ( n) + x ( n - 1 ) ] 代替 x ( t) , 便可写出 ( 5 ) 式对 2 应的差分方程 : λ y ( n) - y ( n - 1) λ + [ y( n) + y( n - 1) ] = [ x( n) + x ( n - 1) ] T 2 2 ( 6) 两边取 z 变换 , 整理得 :
H ( z) = Y ( z) A = X ( z) 2 1 - z- 1 +λ T 1 + z- 1 ( 7)

比较表达式 ( 4) 和 ( 7) 可得 : 2 +s 2 1 - z- 1 T s= 或z= T 1 + z- 1 2 - s
T

( 8)

式 ( 8) 就是 S 平面与 Z 平面的双线性变换关系 。 当采用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器 时 , S 平面与 Z 平面是一一对应关系 , 消除了多值变换性 , 也就消除了频谱混叠现象 , 模拟滤波器的稳定性在数字滤 波器中仍然保持 , 但模拟频率 Ω 与数字频率ω 的关系为非 线性的 , 满足 : ω Ω = 2 tan ( ) ( 9) T 2 这种非线性关系使得模拟滤波器与数字滤波器的响应 与对应的频率关系上发生了畸变 , 也造成了相位的非线性 变化 。为保证各边界频率点为预先指定的频率 , 例如低通 滤波器的截止频率 ωC 与阻带边频 ωS , 在确定模拟低通滤 波器系统函数之前必须进行预畸变校正 。
4] 3  MATLAB 环境下设计实例[ 2 、

仿真结果如图 1 所示 。

4  结束语
数字滤波器的应 用十分广泛, 利用
MA TL AB 语言 , 可以

很容 易 地 设 计 出 IIR 滤波 器 , 而 且 滤 波 器 参数 的 调 整 也 很 方 便 。IIR 滤波器的优点是可以用较少的阶数获得很高的选 择特性 。但 IIR 滤波器是递归结构 , 极点必须在 Z 平面的 单位圆内才能稳定 ,所以 IIR 滤波器适用于对相位要求不 太严格的场合 ,如语音通信等 ,在那些对相位要求很严格的
( 下转第 82 页)

[ 例 ] 设计一个 IIR 带通滤波器 , 通带中心频率 ωp0 = 0 .

π; 通带截止频率 ωp1 = 0 . 4 π,ωp2 = 0 . 6 π; 通带最大衰减 α 5 p π; = 3dB ; 阻带最小衰减α S = 15dB ; 阻带截止频率 ω S2 = 0 . 7 π× 取样间隔 T = 5 10 s 。程序主要部分如下 : wp0 = 0. 5 3 pi ;wp1 = 0. 4 3 pi ;wp2 = 0. 6 3 pi ;Ap = 3 ; ws2 = 0. 7 3 pi ;As = 15 ; T = 5 3 pi 3 10^( - 6) ; %频率预畸变
- 6

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现代机械   2006 年第 5 期

  

3 . 4 消声器第一腔容积的确定
在消声器总容积一定的条件下 , 适当增加第一腔的容 积分配可以改善消声器的消声性能 。此外还可以降低气流 的脉冲性 ,使气流参数有充分的平衡空间 ,从而减少气流流 动阻力损失 。

3 . 5 消声器尾管尺寸及末端出口形状的选择
消声器的尾管对消声量及功率损失都有一定的影响 。 一般讲 ,为获得好的消声效果 , 尾管应细而长 ,但过细会增 加尾管中的气流速度 。由式 ( 3) 得出气流速度 v 增加 ,消声 器的阻力损失将按二次方规律成正比增大 。通常应保证尾 管内气流的平均流速以不超过 45~50 m/ s 为宜 ,尾管的直 径比消声器前的排气管略小些 。 消声器尾管的末端出口形状主要有三种 ( 如图 4 所 示) 。在设计末端出口形状时 , 首先应考虑采用正切口形 式 。采用鱼尾管形式可进一步增大消声量 ,但鱼尾管压扁 的程度必须由发动机试验慎重地确定 , 过分地缩小管口会 因喷出气流速度增大而产生" 风呼啸" 类的再生噪声 。采用 斜切口形式的声场有方向性 ,在汽车上布置时应背对人行 道或切口朝下安装 。

的设计方法 。其优点是 : 借助电子计算机可以系统地分析 不同结构及不同尺寸参数消声器的消声性能 , 在很短的时 间内优选出最佳的消声器结构及相应的最佳尺寸参数 , 而 不必做大量的消声器加工及试验测试工作 。当然 , 对于最 后优选出的消声器应做实际测试 ,对消声性能的理论预测 结果进行检验 ,并对消声器的功率损失是否达到预定目标 进行现场测定 。 消声器最优化设计程序如下 : 1) 根据实际条件选定消声器的插入损失 、 功率损失和 消声器总容积等项目的设计指标 ,给出发动机频谱 。 2) 选定消声器系统主管道的直径及气流温度 、 声速和 主管道中的气流马赫数 。 3) 选择一系列消声器结构 。 4) 对一种消声器结构 ,选择一系列尺寸参数 。 5) 对一组给定尺寸参数 , 按式 (2) 计算消声量 , 按式 (3) 计算压力损失 。 6) 对另一组尺寸参数重复 5. 行内容 。 7) 对给定消声器结构优选出一组或若干组尺寸参数 , 使插入损失达到设计指标 ,并使压力损失尽可能小 。 8) 对另一种消声器结构重复 4. 至 7. 行内容 。 9) 优选出最佳的一种消声器结构及相应的最佳尺寸参 数。

5  结束语
排气噪声是汽车最重要的噪声源 ,用排气消声器控制 汽车的排气噪声是切实有效的降噪措施 ,其设计水平对汽 车的噪声质量指标有很大影响 。研究设计消声效果好 、 功 率损失低 、 结构工艺性合理的排气消声器是很有必要的 。 本文提出的消声器设计的基本原则及方法 , 对消声器的设 计具有指导作用 。 参考文献
1 黎志勤 ,黎苏 1 汽车排气系统噪声与消声器设计北京 : 中国环境

出版社 ,1991
2 赵松林 . 噪声的降低与隔离 . 上海 : 同济大学出版社 ,1989 3 杜功焕 1 声学基础 1 南京大学出版社 ,2001 4 方丹群 . 噪声控制与消声设计 . 北京 : 北京出版社 ,1985 5 上海内燃机研究所编 . 柴油机设计手册 . 北京 : 中国农机出版社 , 1984

4  消声器最优化设计
消声器最优化设计是近几年才发展起来的一种先进

( 上接第 61 页)

版社 ,2003
2 张葛祥 ,李娜 . MA TL AB 仿真技术与应用 [ M ] . 北京 : 清华大学出

场合如图像信号处理等 , 应尽量采用 FIR 滤波器 。MA T2 L AB6. 0 以上版本还专门增加了滤波器设计工具箱 ,MA T2 L AB 为数字滤波器的设计提供了一个简捷 、 高效的平台 。 参考文献
1 丁玉美 ,高西全 . 数字信号处理 [ M ] . 西安 : 西安电子科技大学出

版社 ,2003
3 邹鲲 ,袁俊泉 ,龚享铱 . MA TL AB6. x 信号处理 [ M ] . 清华大学出

版社 ,2002
4 陈怀琛 . 数字信号处理教程 - MA TL AB 释义与实现 [ M ] . 北京 :

电子工业出版社 ,2004


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