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[推荐学习]高三人教A版数学一轮复习练习:第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节(1)

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第四章

第2节

[基础训练组] 一、选择题 → → 1.(导学号 14577385)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点, → → → 若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于( A.(-2,7) C.(2,-7) ) B.(-6,21) D.(6,-21)

→ → → → → → 解析:B [BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).] 1 ? 2.(导学号 14577386)已知向量 a=? ?8,2x?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+b), 则 x 的值为( A.4 C.0 解析:A ) B.8 D.2 1 8-2x, x-2?,2a+b=(16+x,x+1),由已知(a-2b)∥(2a+b), [a-2b=? 2 ? ?

1 8-2x, x-2?=λ(16+x,x+1),λ∈R, 显然 2a+b≠0,故有? 2 ? ? 8-2x=λ?16+x?, ? ? ∴?1 ?x=4(x>0).] x-2=λ?x+1? ? ?2 3. (导学号 14577387)设向量 a=(1, -3), b=(-2,4), c=(-1, -2), 若表示向量 4a,4b -2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d=( A.(2,6) C.(2,-6) B.(-2,6) D.(-2,-6) )

解析:D [设 d=(x,y),由题意知 4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4, -2),又 4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0), 解得 x=-2,y=-6,所以 d=(-2,-6).] → → → → 4.(导学号 14577388)已知向量AC,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示,若AC= → → λAB+μAD,则 λμ=( )

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A.-3 C.-4 解析: A

B.3 D.4 → → → [建立如图所示的平面直角坐标系 xAy, 则AC=(2, -2), AB=(1,2), AD=(1,0),

? ? ?2=λ+μ, ?λ=-1, 由题意可知(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即? 解得? 所以 λμ=-3.故选 A.] ?-2=2λ, ?μ=3, ? ?

5.(导学号 14577389)(2017· 高考全国Ⅲ卷)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P → → → 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则 λ+μ 的最大值为( A.3 C. 5 解析:A [如图,建立平面直角坐标系 B.2 2 D.2 )

设 A(0,1),B(0,0),D(2,1),P(x,y) 根据等面积公式可得圆的半径是 2 4 ,即圆的方程是(x-2)2+y2= 5 5

→ → → → → → AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0),若满足AP=λAB+μAD
? ?x=2μ x x x x 即? ,μ= ,λ=1-y,所以 λ+μ= -y+1,设 z= -y+1,即 -y+1-z 2 2 2 2 ?y-1=-λ ?

|2-z| 4 2 =0,点 P(x,y)在圆(x-2)2+y2= 上,所以圆心到直线的距离 d≤r,即 ≤ ,解得 5 1 5 +1 4

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1≤z≤3,所以 z 的最大值是 3,即 λ+μ 的最大值是 3,故选 A.] 6.(导学号 14577390)(2016· 高考新课标全国卷Ⅱ)已知向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则 m= _______ . 解析:因为向量 a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,所以 12=-2m,解得 m=-6. 答案:-6 1 → → 7.(导学号 14577391)已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2CB, 2 则实数 a= ________ .

→ → 解析:设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y) .
?x-7=2?1-x? ?x=3 ? ? → → ∵AC=2CB,∴? ,解得? . ?y-1=2?4-y? ?y=3 ? ?

1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y= ax 上, 2 1 ∴3= a· 3,∴a=2. 2 答案:2

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8.(导学号 14577392)△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 p=(a+c, b),q=(b-a,c-a),且 p∥q,则角 C= ________ . 解析:因为 p∥q,则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, a2+b2-c2 1 所以 a2+b2-c2=ab, = , 2ab 2 1 结合余弦定理知,cos C= ,又 0° <C<180° ,∴C=60° . 2 答案:60° 9.(导学号 14577393)如图,已知△OCB 中,点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点,D 是 → → → 将OB分为 2∶1 的一个内分点,DC 和 OA 交于点 E,设OA=a,OB=b.

→ → (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC; → → (2)若OE=λOA,求实数 λ 的值. → 2→ 解:(1)由题意知,A 是 BC 的中点,且OD= OB. 3 → → → 由平行四边形法则,得OB+OC=2OA. → → → ∴OC=2OA-OB=2a-b, 2 5 → → → DC=OC-OD=(2a-b)- b=2a- b. 3 3 → → (2)如题图,EC∥DC. → → → 又∵EC=OC-OE=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b, 5 → DC=2a- b, 3 ∴ 2-λ -1 4 = ,∴λ= . 2 5 5 - 3

10.(导学号 14577394)(2018· 郴州市一模)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、 B、C 的对边,m=(2b-c,ccos C),n=(a,cos A),且 m∥n. (1)求角 A 的大小; π ? (2)求函数 y=2sin2B+cos? ?3-2B?的值域. 解:(1)由 m∥n,得(2b-c)cos A-acos C=0,

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∴(2sin B-sin C)cos A-sin Acos C=0,2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C=sin (A+C) =sin (π-B)=sin B. 在锐角三角形 ABC 中,sin B>0, 1 π ∴cos A= ,故有 A= . 2 3 π π π (2)在锐角三角形 ABC 中,∠A= ,故 <B< , 3 6 2 π 1 3 3 1 ? ∴y=2sin2B+cos? ?3-2B?=1-cos 2B+2cos 2B+ 2 sin 2B=1+ 2 sin 2B-2 cos 2B π? =1+sin ? ?2B-6?. π π π π 5π ∵ <B< ,∴ <2B- < , 6 2 6 6 6 π? 1 3 ∴ <sin ? ?2B-6?≤1,2<y≤2, 2 π ? ?3 ? ∴函数 y=2sin2B+cos? ?3-2B?的值域为?2,2?. [能力提升组] → → 11.(导学号 14577395)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且BC=3CD,点 O → → → 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则 x 的取值范围是( 1? A.? ?0,2? 1 ? C.? ?-2,0? 解析: D 1? B.? ?0,3? 1 ? D.? ?-3,0? )

4 → → → → → → → → → [依题意, 设BO=λBC, 其中 1<λ< , 则有AO=AB+BO=AB+λBC=AB+λ(AC 3

→ → → -AB)=(1-λ)AB+λAC. 1 ? → → → → → 又AO=xAB+(1-x)AC,且AB,AC不共线,于是有 x=1-λ∈? ?-3,0?,即 x 的取值范 1 ? 围是? ?-3,0?.] 12.(导学号 14577396)(理科)(2018· 湘潭市三模)在直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,DC ∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F 分别为 AB,BC 的中点,以 A 为圆心,AD 为半径的 → → → 圆弧 DE 中点为 P (如图所示).若AP=λED+μAF,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ 的值是( )

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A.

2 2

3 2 B. 4 3 D. 4 [建立如图所示的直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),E(1,0),

C. 2 解析:B 3 1? F? ?2,2?,

3 1? → 3 1 ? → → → → ? 所以ED=(-1,1),AF=? ?2,2?,AP=λED+μAF=?-λ+2μ,λ+2μ?. 又因为以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 DE 中点为 P, 所以, 点 P 的坐标为 P? 2 2 → AP=? , ?, 2? ?2 3 2 1 2 2 2 所以-λ+ μ= ,λ+ μ= ,所以 λ= ,μ= , 2 2 2 2 4 2 3 2 所以 λ+μ= .故选 B.] 4 12.(导学号 14577397)(文科)(2018· 广安市、遂宁市、内江市、眉山市一诊)如图,四边 → → → 形 ABCD 是正方形, 延长 CD 至 E, 使得 DE=CD, 若点 P 为 CD 的中点, 且AP=λAB+μAE, 则 λ+μ=( ) 2 2? , ?2,2?

A.3 C.2

5 B. 2 D.1

解析: B [由题意, 设正方形的边长为 1, 建立平面直角坐标系, 如图, 则 A(0,0), B(1,0), → → E(-1,1),∴AB=(1,0),AE=(-1,1). 1 ? → → → → ∵AP=λAB+μAE=(λ-μ,μ),又∵点 P 为 CD 的中点,∴AP=? ?2,1?, 1 3 ? ? ?λ-μ=2, ?λ=2, 5 ∴? ,∴? ∴λ+μ= .故选 B.] 2 ? ? ?μ=1, ?μ=1,

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13.(导学号 14577398)(2018· 郑州市一模)已知向量 α,β 是平面内两个互相垂直的单位 向量,若(5α-2γ)· (12β-2γ)=0,则|γ|的最大值是 ____ . 解析:设 α=(1,0),β=(0,1),γ=(x,y), ∴5α-2γ=5(1,0)-2(x,y)=(5-2x,-2y), 12β-2γ=12(0,1)-2(x,y)=(-2x,12-2y). ∵(5α-2γ)· (12β-2γ)=0, ∴-2x(5-2x)-2y(12-2y)=0, 5?2 5 13 2 ?13?2 ?5 ? ∴x2- x+y2-6y=0,即? ?x-4? +(y-3) =? 4 ? ,∴γ 在以?4,3?为圆心, 4 为半径的 2 圆上,所以|γ|的最大值是 13 答案: 2 → → → 14.(导学号 14577399)已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA → → =c,且CM=3c,CN=-2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M,N 的坐标及向量MN的坐标. 解:由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
?-6m+n=5, ?m=-1, ? ? ∴? 解得? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. ? ?

?5?2+32+13=13. ? 4? 4 2

→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20). → → → 又∵CN=ON-OC=-2b, 最新 K12

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→ → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2),∴MN=(9,-18).

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