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高中数学点线对称问题

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对称问题专题

【知识要点】
1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点,因此中心对称的问题是线段中点 坐标公式的应用问题.
设 P(x0,y0),对称中心为 A(a,b),则 P 关于 A 的对称点为 P′(2a-x0,2b-y0). 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立 方程组,就可求出对顶点的坐标.一般情形如下: 设点 P(x0,y0)关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(x′,y′),则有

y? ? y0 ·k=-1, x? ? x0

可求出 x′、y′.

y? ? y0 =k· x? ? x0 +b,

2

2

特殊地,点 P(x0,y0)关于直线 x=a 的对称点为 P′(2a-x0,y0);点 P(x0,y0)关于直线 y=b 的 对称点为 P′(x0,2b-y0).
3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题,一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可

选特殊点,也可选任意点实施转化).一般结论如下:

(1)曲线 f(x,y)=0 关于已知点 A(a,b)的对称曲线的方程是 f(2a-x,2b-y)=0.

(2)曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线的求法:

设曲线 f(x,y)=0 上任意一点为 P(x0,y0),P 点关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(x,y),则由(2) 知,P 与 P′的坐标满足

y ? y0 ·k=-1,

x ? x0

从中解出 x0、y0,

y0 ? y =k· x0 ? x +b,

2

2

代入已知曲线 f(x,y)=0,应有 f(x0,y0)=0.利用坐标代换法就可求出曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线方程.

4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论:

(1)点(x,y)关于 x 轴的对称点为(x,-y);

(2)点(x,y)关于 y 轴的对称点为(-x,y);

(3)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y);

(4)点(x,y)关于直线 x-y=0 的对称点为(y,x);

(5)点(x,y)关于直线 x+y=0 的对称点为(-y,-x).

【典型例题】

【例 1】 求直线 a:2x+y-4=0 关于直线 l:3x+4y-1=0 对称的直线 b 的方程.

剖析:由平面几何知识可知若直线 a、b 关于直线 l 对称,它们具有下列几何性质:(1)若 a、b 相交,

则 l 是 a、b 交角的平分线;(2)若点 A 在直线 a 上,那么 A 关于直线 l 的对称点 B 一定在直线 b 上,这时

AB⊥l,并且 AB 的中点 D 在 l 上;(3)a 以 l 为轴旋转 180°,一定与 b 重合.使用这些性质,可以找出直

线 b 的方程.解此题的方法很多,总的来说有两类:一类是找出确定直线方程的两个条件,选择适当的直线

方程的形式,求出直线方程;另一类是直接由轨迹求方程.

解:由

2x+y-4=0, 解得 3x+4y-1=0,

a



l

的交点

E(3,-2),E

点也在

b



方法一:在直线 a:2x+y-4=0 上找一点 A(2,0),设点 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐标为(x0,y0),

3× 2 ? x0 +4× 0 ? y0 -1=0,

2

2

由 y0 ? 0 = 4 ,解得 B( 4 ,- 8 ).由两点式得直线 b 的方程为 y ? (?2) = x ? 3 ,

x0 ? 2 3

55

? 2 ? (? 8) 3 ? 4

5

5

即 2x+11y+16=0.

方法二:设直线 b 上的动点 P(x,y)关于 l:3x+4y-1=0 的对称点 Q(x0,y0),则有

3× x ? x0 +4× y ? y0 -1=0,

2

2

y ? y0

4 =.

x ? x0 3

解得

x0=

7

x

?

24 25

y

?

6

,y0=

?

24

x

?7 25

y

?

8

.

Q(x0,y0)在直线 a:2x+y-4=0 上,

则 2× 7x ? 24 y ? 6 + ? 24x ? 7 y ? 8 -4=0,

25

25

化简得 2x+11y+16=0 是所求直线 b 的方程.

方法三:设直线 b 上的动点 P(x,y),直线 a 上的点 Q(x0,4-2x0),且 P、Q 两点关于直线 l:3x+4y -1=0 对称,则有

| 3x ? 4y ?1| = | 3x0 ? 4(4 ? 2x0 ) ?1| ,

5

5

y ? (4 ? 2x0 ) = 4 .

x ? x0

3

消去 x0,得 2x+11y+16=0 或 2x+y-4=0(舍). 评述:本题体现了求直线方程的两种不同的途径,方法一与,除了点 E 外,分别找出确定直线位置的

另一个条件:斜率或另一个点,然后用点斜式或两点式求出方程,方法二与方法三是利用直线上动点的几

何性质,直接由轨迹求方程,在使用这种方法时,要注意区分动点坐标及参数,本题综合性较强,只有对

坐标法有较深刻的理解,同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.

【例 2】 光线从点 A(-3,4)发出,经过 x 轴反射,再经过 y 轴反射,光线经过点

B(-

2,6),求射入 y 轴后的反射线的方程.

剖析:由物理中光学知识知,入射线和反射线关于法线对称.

解:∵A(-3,4)关于 x 轴的对称点 A1(-3,-4)在经 x 轴反射的光线上, 同样 A1(-3,-4)关于 y 轴的对称点 A2(3,-4)在经过射入 y 轴的反射线上,

∴k

A2 B

=

6?4 ?2?3

=-2.

故所求直线方程为 y-6=-2(x+2),

即 2x+y-2=0.

评述:注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.

【例 3】 已知点 M(3,5),在直线 l:x-2y+2=0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q,使△MPQ 的周长最小.

剖析:如下图,作点 M 关于直线 l 的对称点 M1,再作点 M 关于 y 轴的对称点 M2,连结 MM1、MM2, 连线 MM1、MM2 与 l 及 y 轴交于 P 与 Q 两点,由轴对称及平面几何知识,可知这样得到的△MPQ 的周长 最小.

y

M2

M

Q

l

P M1

O

x

解:由点 M(3,5)及直线 l,可求得点 M 关于 l 的对称点 M1(5,1).同样容易求得点 M 关于 y 轴

的对称点 M2(-3,5). 据 M1 及 M2 两点可得到直线 M1M2 的方程为 x+2y-7=0.

令 x=0,得到 M1M2 与 y 轴的交点 Q(0, 7 ). 2

解方程组

x+2y-7=0, x-2y+2=0,

得交点

P(

5 2



9 4

).

故点 P( 5 , 9 )、Q(0, 7 )即为所求.

24

2

评述:恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.

深化拓展

恰当地利用平面几何的知识解题. 不妨再试试这个小题:已知点 A(1,3)、B(5,2),在 x 轴上找一点 P,使得|PA|+|PB|最小,则最小 值为____________,P 点的坐标为____________.

答案: 41 ( 17 ,0) 5

【巩固练习】

1.已知点 M(a,b)与 N 关于 x 轴对称,点 P 与点 N 关于 y 轴对称,点 Q 与点 P 关于直线 x+y=0 对

称,则点 Q 的坐标为

A.(a,b)

B.(b,a)C.(-a,-b)

D.(-b,-a)

解析:N(a,-b),P(-a,-b),则 Q(b,a).

答案:B

2.曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是

A.y2=8-4x

B.y2=4x-8

C.y2=16-4x

D.y2=4x-16

解析:设曲线 y2=4x 关于直线 x=2 对称的曲线为 C,在曲线 C 上任取一点 P(x,y),则 P(x,y)关

于直线 x=2 的对称点为 Q(4-x,y).因为 Q(4-x,y)在曲线 y2=4x 上,

所以 y2=4(4-x),即 y2=16-4x.

答案:C

3.已知直线 l1:x+my+5=0 和直线 l2:x+ny+p=0,则 l1、l2 关于 y 轴对称的充要条件是

A. 5 = p mn

B.p=-5 C.m=-n 且 p=-5

D. 1 =- 1 且 p=-5 mn

解析:直线 l1 关于 y 轴对称的直线方程为(-x)+my+5=0,即 x-my-5=0,与 l2 比较, ∴m=-n 且 p=-5.反之亦验证成立.

答案:C

4.点 A(4,5)关于直线 l 的对称点为 B(-2,7),则 l 的方程为____________.

解析:对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.

答案:3x-y+3=0

5.设直线 x+4y-5=0 的倾斜角为θ ,则它关于直线 y-3=0 对称的直线的倾斜角是____________.

解析:数形结合.

答案:π -θ

6.已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为

A.(x+1)2+y2=1

B.x2+y2=1

C.x2+(y+1)2=1

D.x2+(y-1)2=1

解析:由 M(x,y)关于 y=-x 的对称点为(-y,-x),

即得 x2+(y+1)2=1.

答案:C

7.与直线 x+2y-1=0 关于点(1,-1)对称的直线方程为

A.2x-y-5=0

B.x+2y-3=0

C.x+2y+3=0

D.2x-y-1=0

解析:将 x+2y-1=0 中的 x、y 分别代以 2-x,-2-y,得(2-x)+2(-2-y)-1=0,即 x+2y+3=0.

故选 C.

答案:C

8.两直线 y= 3 x 和 x=1 关于直线 l 对称,直线 l 的方程是____________. 3

解析:l 上的点为到两直线 y= 3 x 与 x=1 距离相等的点的集合,即 | x ? 3y | =|x-1|,化简得 x+ 3 y

3

1? ( 3)2

-2=0 或 3x- 3 y-2=0.

答案:x+ 3 y-2=0 或 3x- 3 y-2=0

9.直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大,则 P 点的坐标 是____________.
解析:易知 A(4,-1)、B(3,4)在直线 l:2x-y-4=0 的两侧.作 A 关于直线 l 的对称点 A1(0,1), 当 A1、B、P 共线时距离之差最大.
答案:(5,6) 10.已知△ABC 的一个顶点 A(-1,-4),∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为 l1:y+1=0,l2: x+y+1=0,求边 BC 所在直线的方程. 解:设点 A(-1,-4)关于直线 y+1=0 的对称点为 A′(x1,y1),则 x1=-1,y1=2×(-1)-(- 4)=2,即 A′(-1,2). 在直线 BC 上,再设点 A(-1,-4)关于 l2:x+y+1=0 的对称点为 A″(x2,y2),则有

y2 ? 4 ×(-1)=-1, x2 ?1

x2

?1 +

y2

?

4

+1=0.

2

2

x2=3, 解得 y2=0,

即 A″(3,0)也在直线 BC 上,由直线方程的两点式得 y ? 2 = x ? 1 ,即 x+2y-3=0 为边 BC 所在直 0 ? 2 3?1

线的方程.

【能力提高】

11.求函数 y= x 2 ? 9 + x 2 ? 8x ? 41 的最小值.

解:因为 y= (x ? 0)2 ? (0 ? 3)2 + (x ? 4)2 ? (0 ? 5)2 ,

所以函数 y 是 x 轴上的点 P(x,0)与两定点 A(0,3)、B(4,3)距离之和. y 的最小值就是|PA|+|PB|的最小值. 由平面几何知识可知,若 A 关于 x 轴的对称点为 A ′(0,-3), 则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|,
即 (4 ? 0)2 ? (5 ? 3)2 =4 5 .

所以 ymin=4 5 .
12.直线 y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线,若 A、B 坐标分别为 A(-4,2)、B(3,1),求点 C 的坐标,并判断△ABC 的形状.
解:由题意,点 A 关于直线 y=2x 的对称点 A′在 BC 所在直线上,设 A′点坐标为(x1,y1),则 x1、y1 满足

y1 x1

? ?

2 4

=-

1 2

,即

x1=-2y1.



y1 ? 2

2

=2·

x1

? 2

4

,即

2x1-y1-10=0.



解①②两式组成的方程组,得

x1=4, y1=-2.

∴BC 所在直线方程为 y ?1 = x ? 3 , ? 2?1 4?3

即 3x+y-10=0.

解方程组

3x+y-10=0,

y=2x,



x=2, y=4.

∴所求 C 点坐标为(2,4).

由题意|AB|2=50,|AC|2=40,|BC|2=10,

∴△ABC 为直角三角形.

13. 已知两点 A(2,3)、B(4,1),直线 l:x+2y-2=0,在直线 l 上求一点 P.

(1)使|PA|+|PB|最小;

(2)使|PA|-|PB|最大.

解:(1)可判断 A、B 在直线 l 的同侧,设 A 点关于 l 的对称点 A1 的坐标为(x1,y1).

则有

x1 ? 2 +2· y1 ? 3 -2=0,

2

2

y1 ? 3 ·(- 1 )=-1.

x1 ? 2

2

解得

x1=-

2 5



y1=-

9 5

.

由两点式求得直线

A1B

的方程为

y=

7 11

(x-4)+1,直线

A1B



l

的交点可求得为

P(

56 25

,-

3 25

).

由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小.

(2)由两点式求得直线 AB 的方程为 y-1=-(x-4),即 x+y-5=0.

直线 AB 与 l 的交点可求得为 P(8,-3),它使|PA|-|PB|最大.

14. 直线 l 经过点(1,1),若抛物线 y2=x 上存在两点关于直线 l 对称,求直线 l 斜率的取值范围. 解法一:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-1),弦的两个端点分别是 A(x1,y1)、B(x2,y2),代入抛物 线方程并作差得(y1+y2)(y1-y2)=x1-x2.

∵kAB=

y1 x1

? ?

y2 x2

=-

1 k



∴y1+y2=-k.注意到

AB

的中点在直线

l:y-1=k(x-1)上,∴x1+x2=1-

2 k

.

∴y12+y22=x1+x2=1- 2 . k



y12+y22>

( y1

? y2 )2 2

,得 1- 2 > k 2 k2

?

(k ? 2)(k 2 ? 2k ? 2) <0 ? -2<k<0. 2k

解法二:设抛物线上关于直线 l:y-1=k(x-1)对称的两点为(y12,y1)、(y22,y2),

y1 ? y2 =- 1

y12 ? y2 2

k



y1 ? y2 -1=k( y12 ? y2 2 -1)

2

2

y1+y2=-k,

?

k2 y1y2= 2

+1 k

-1, 2

∴y1、y2

是方程

y2+ky+

k2 2

+1 k

- 1 =0 的两根. 2

由Δ =k2-4( k 2 + 1 - 1 )>0 ? (k ? 2)(k 2 ? 2k ? 2) <0

2k 2

k

? -2<k<0.

15.(2013?湖南)在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点,光线从点 P 出发,经 BC,

CA 反射后又回到点 P(如图 1),若光线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于( )

A.2

C.

D.

B.1

8

4

3

3


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