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2012年数学一轮复习试题 数列求和

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第三十讲 数列求和 一、选择题:(本大题共 6 小题,每 小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后 的括号内.) 1. 数列{an}的通项公式为 an=(-1) A.200 B.-200
n-1

·(4n-3), 则它的前 100 项之和 S100 等于(

)

C.400 D.-400

解析:S100=1-5+9-13+…+(4×9 9-3)-(4×100-3)=50×(-4)=-200. 答案:B 1 1 1 2.数列 1, , ,…, 的前 n 项和为( 1+2 1+2+3 1+2+…+n A. 2n 2n B. n+1 2n+1 C. )

n+2 n D. n+1 2n+1
1 ? 2 ?1 ,分裂为两项差的形式为 an=2? - ?,令 n= n(n+1) ?n n+1?

解析:该数列的通项为 an=

1 1 ? 1 ? 2n ? 1 1 1 1 1 ? 1,2,3,…,则 Sn=2?1- + - + - +…+ - ?.∴Sn=2?1-n+1?=n+1. n n+1? ? 2 2 3 3 4 ? ? 答案:B 3.设 f(n)=2+2 +2 +2 +…+2
4 7 10 3n+10

(n∈N),则 f(n)等于(

)

2 n 2 n+1 2 n+3 2 n+4 A. (8 -1) B. (8 -1) C. (8 -1) D. (8 -1) 7 7 7 7 解析:f(n)为等比数列{2 2 n+4 = (8 -1). 7 答案:D 3 4. 若数列{ an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 Sn= an-3, 则数列{an}的前 n 项和 Sn 等于( 2 A.3
n+1
3n-2

2(1-8 ) }的前 n+4 项的和,首项为 2,公比为 8,故 f(n)= 1-8

n+4

)

-3 B.3 -3

n

C.3

n+1

+3 D.3 +3

n

3 3 3 解析:∵Sn= an-3,∴Sn+1= an+1-3,两式相减得:Sn+1-Sn= (an+1-a n). 2 2 2 3 an+1 3 3 即 an+1= (an+1-an),∴ =3.又∵S1= a1-3,即 a1= a1-3, 2 an 2 2 ∴a1=6.∴an=a1·q 答案:A 1 1 1 1 1 5.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…,(2n-1)+ n,…的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n +1-
2

n-1

=6×3

n-1

3 3 n n n+1 =2×3 .∴Sn= an-3= ×2×3 -3=3 -3,故应选 A. 2 2

)

1 1 1 1 2 2 2 B.2n -n+1- n C.n +1- n-1 D.n -n+1- n n 2 2 2 2
第 1 页 共 4 页

1 解析:该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ n, 2 1? 1 ?1 1 2 则 Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+? + 2+…+ n?=n +1- n.故选 A. 2 2 2? 2 ? 答案:A 6.数列 an= 1

n(n+1)

9 ,其前 n 项之和为 ,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y 10 )

+n=0 在 y 轴上的截距为( A.-10 B.-9

C.10 D.9

解析:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn=a1+a2+…+an,

n 1 1 1 1 1 1 1 又∵an= - ,∴Sn=1- + - +…+ - = , n n+1 2 2 3 n n+1 n+1
又∵

n 9 = ,∴n=9,∴原题变为求 10x+y+9=0 在 y 轴上的截距,令 x=0,得 y n+1 10

=-9,∴直线在 y 轴上的截距为-9.故选 B. 答案:B 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.已知函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(x)=1-f(1-x),则 f(-2)+f(-1)+f(0)+

f(1)+f(2)+f(3)=________.
解析:由条件可知:f(x)+f(1-x)=1. 而 x+(1-x)=1, ∴f(-2)+f(3)=1,f(-1)+f(2)=1,f(0)+f(1)=1, ∴f(-2)+f(-1)+…+f(2)+f(3)=3. 答案:3 1 2 3 4 n 8. + 2+ 3+ 4+…+ n-2 等于________. 2 2 2 2 2 1 2 3 n 1 1 2 n-1 n 解析:设 S= + 2+ 3+…+ n,则 S= 2+ 3+…+ n + n+1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 1? ?1-2n? ? n 1 1 1 1 n 2? 相减,得 S= + 2+…+ n- n+1= - n+1. 2 2 2 2 2 1 2 1- 2 1 n 1 n ∴S=2- n-1- n.∴原式=- n-1- n. 2 2 2 2 1 n 答案:- n-1- n 2 2 1 1 1 1 9.数列 2 , 2 , 2 , 2 …的前 n 项和等于________. 1 +2 2 +4 3 +6 4 +8

第 2 页 共 4 页

解析:a n=

1 ? 1 1? 1 = ? - ?, n +2n 2?n n+2?
2

1 1 ??1-1?+?1-1?+?3-5?+…+? 1 1 1 1 3 ? 3? ?2 4? ? ? ? ? ? ? ? 1?? ?= ?1+ - - ?= - 2n+3 . ∴S = ? ? 2??1 1 ? ? 2? 2 n+1 n+2? 4 2(n+1)(n+2) ??n-n+2? ? ? ?
n

3 2n+3 答案: - 4 2(n+1)(n+2)
?n ? 10. 函数 f(n)=? 2 ? ?-n
2

(n为奇数) (n为偶数)

, an=f(n)+f(n+1), a1+a2+…+a1000=_______. 且 则
2 2

解析:a2n=f(2n)+f(2n+1)=-4n +(2n+1) =4n+1,a2n-1=f(2n-1)+f(2n) =- (2n) +(2n-1) =-4n+1 所以数列的前 1000 项和可分为两部分: (a1+a3+a5+…+a999)+(a2+a4+a6+…+a1000)=1000. 答案:1000 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 1? ? 2 11.已知数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1
2 2

Sn

1? 1? ? ? 2 2 解:(1)∵Sn=an?Sn- ?,an=Sn-Sn-1(n≥2),∴Sn=(Sn-Sn-1)?Sn- ?, 2? 2? ? ? 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn① 由题意 Sn-1·Sn≠0,

1 1 故①式两边 同除以 Sn-1·Sn,得 - =2.

Sn Sn-1

1 1 1 ∴数列{ }是首项为 = =1,公差为 2 的等差数列,

Sn

S1 a1

1 1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . Sn 2n-1 1 ? Sn 1 1? 1 - (2)∵bn= = = ? ?, 2n+1 (2n-1)(2n+1) 2?2n-1 2n+1? 1?? 1? ?1 1? ? 1 - 1 ??=1?1- 1 ?= n . ∴Tn=b1+b2+…+bn= ??1- ?+? - ?+…+? ?? ? ? 2?? 3? ?3 5? ?2n-1 2n+1?? 2? 2n+1? 2n+1 12.等差数列{an}是递增数列,前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比数列,S5=a5. (1)求数列{an}的通项公式;
2

n2+n+1 bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 99 项的和. (2)若数列{ an·an+1
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解:(1)设数列{an}的公差为 d(d>0), ∵a1,a3,a9 成等比数列,∴a3=a1a9,∴(a1+2d) =a1(a1+8d),∴d =a1d, 5×4 2 2 ·d=(a1+4d) ② ∵d>0,∴a1=d,①∵S5=a5,∴5a1+ 2 3 3 3 3 3 * 由①②得 a1= ,d= ,∴an = +(n-1)× = n(n∈N ). 5 5 5 5 5
2 1 ? n2+n+1 25 n +n+1 25? 1 (2)bn= = · = ?1+ - , n n+1? 3 3 9 n(n+1) 9 ? ? n· (n+1) 5 5 2 2 2

∴b1+b2+b3+…+b99

?1+1-1+1+1-1+1+1-1+…? 25 2 2 3 3 4 25 ? ?= ×?99+1- 1 ? = × ? ? 100? 9 ? 1 1 ? 9 ? +1+ - ? 99 100 ?

=275+2.75=277.75. 13.(2011·沈阳市模拟)在数列{an}中,a1=1,

? 1?2 * 2an+1=?1+ ? ·an(n∈N ). ?
n?
(1)证明:数列{ 2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn=an+1- an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2

an n

an+1 an 1 an 解:(1)证明:由条件得 2= · 2,又 n=1 时, 2=1, (n+1) 2 n n an 1 an 1 n 故数列{ 2}构成首项为 1,公比为 的等比数列.从而 2= n-1,即 an= n-1. n 2 n 2 2
(n+1) n 2n+1 (2)由 bn= - n= n 得 n 2 2 2
2 2 2

Sn= + 2+…+

3 2

5 2

2n+1 1 3 5 2n-1 2n+1 ? Sn= 2+ 3+…+ n + n+1 , n 2 2 2 2 2 2

1 ? 2n+1 1 3 ?1 1 2n+5 两式相减得 Sn= +2? 2+ 3+…+ n?- n+1 ,所以 Sn=5- n . 2? 2 2 2 ?2 2 2

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