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求数列通项公式的方法(教案例题习题)

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学习必备 欢迎下载 求数列的通项公式的方法 1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 例 1 .等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, 2 .求数列 ?an ? 的通项公式. S 5 ? a5 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0) 2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 , 即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d ∵d ? 0, 2 ∵ S 5 ? a5 ∴ a1 ? d ………………………………① ∴ 5a1 ? 5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② 2 3 3 ,d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 由①②得: a1 ? 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比) 后再写出通项。 练一练:已知数列 3 1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32 2.公式法: 已知 Sn (即 a1 ? a2 ? 例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通 项公式。 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) , n S ,(n ? 1) an ? 1 求 an , 用作差法: 。 ? an ? f (n) ) Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2) ? ?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1, an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2. ?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ? ? 2 ? (?1)n?1 ? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3 2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3 经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 点评:利用公式 an ? ? 2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3 ?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若 ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 能合写时一定要合并. 练一练:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ; 学习必备 欢迎下载 ②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ? 5 an ?1 ,求 an ; 3 f (1),(n ? 1) ? ? f (n) 3.作商法:已知 a1 a2 。 an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? ,(n ? 2) ? f ( n ? 1) ? 2 如数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n ,则 a3 ? a5 ? ______ ; 4.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 1 1 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n 解:由条件知: a n ?1 ? a n ? 1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1 2 分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加之 , 即 (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n 如已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? 1 n ?1 ? n (n ? 2) ,则 an =________ ; an?1 a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? an an ?1 an ? 2 2 n a n ,求 an 。 例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1 5.累乘法:已知 解:由条件知 ? a2 ? a1 (n ? 2) 。 a1 an?1 n ? ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 an n ?1 (n ? 1) 个等式累乘之,即 a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? n ? ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? n a1 n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 学习必备 欢迎下载 又? a1 ? 2 2 ,? a n ? 3n 3 如已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ?

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