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数列在日常经济生活中的应用

时间:2012-03-01


北师大版数学(必修5)

抚州一中 李振

1000 ……1000英磅赠给波士顿的居民,如果他 们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托 付给由选举出来的公民组成的基金会,基 5% 金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些 年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年 131000 增加到131000英磅.我希望,那时候用 100000 100000英磅来建立一所公共建筑物,剩下 31000 的31000英磅拿去继续生息100年.在第二个 4061000 100年末了,这笔款增加到4061000英磅, 1061000 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支 3000000 配,而其余的3000000英磅让马萨诸州组成 同样的基金会来管理.过此之后,我可不敢 多作主张了!”

富兰克林 (1706—1790)

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
最新农业银行存款利率表(更新日期:2011-2-9) 三个月 整存整取 零存整取 整存零取 存本取息 其他 半年 一年 二年 三年
年利率(%)

五年

2.60

2.80

3.00
2.60 2.60 2.60

3.90

4.50
2.80 2.80 2.80

5.00
3.00 3.00 3.00

利率
活期 0.4

一天通知 0.85

七天通知 1.39

利率

你知道银行存款的利息是怎么计算吗?

§4 数列在日常经济生活中的应用(一) 银行存款计息方式:
?

单利: 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生 的利息不再计算利息.
利息=本金×利率×存期 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利 息和(以下简称本利和),则有

S=P(1+n?r)

§4 数列在日常经济生活中的应用(一) 问题
如果你有1000元钱存入银行 一个月后有多少钱? 二个月后呢?

这与存款的方式有关

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
最新农业银行存款利率表(更新日期:2011-2-9) 三个月 整存整取 零存整取 半年 一年 二年 三年
年利率(%)

五年

2.60

2.80

3.00 2.60

3.90

4.50 2.80

5.00 3.00

整存零取
存本取息

2.60
2.60

2.80
2.80

3.00
3.00

其他

活期
0.4

一天通知
0.85

七天通知
1.39

利率

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
问题2
规定: “零存整取”是怎么回事? 每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存; 到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取. 某人选择存期为1年的“零存整取”需到银行存款几次 12次 ( ) 某人选择存期为3年的“零存整取”需到银行存款几次 36次 ( )

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
某人选择存期为1年的“零存整取”,若每月存入金额为100 元,月利率0.3%保持不变,到期能取出多少钱? (暂不考虑利 息税) 第一月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 12=3.6 第二月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 11=3.3 第三月存入的100元到期有多少利息? …… 到期为: 100× 0.3%× 10=3.0

最后一月存入的100元到期有多少利息? 到期为: 100× 0.3%× 1=0.3

你发现了什么?

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)

你发现了什么?
各月存款所得利息构成一个等差数列 本金共有多少 100 × 12=1200 到期了,你这个人连本带利能取回钱是 100 × 12+(3.6+3.3+3.0+ … +0.3)=1223.4元 若每月存入金额为x元,月利率r保持不变, 存期为n个月,你能推导出到期整取是本利和 的公式吗?

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月, 试 推导出到期整取是本利和的公式: 第一个月存入的x元,到期利息为: x?r?n 元 第二个月存入的x元,到期利息为: 第三个月存入的x元,到期利息为: …… x?r?(n-1)元 x?r?(n-2)元 ……

第n个月存入的x元,到期利息为: 本金为 n?x 元

x?r?1 元.

S ? n ? x ? x ? r?n ? (n ? 1) ? ? ? 1? n(n ? 1) ? n? x ? x?r ? 2

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
试解决下列“零存整取”问题(只列式,不计 算) 1.若每月初存入500元,月利率为0.3%,到第36个月 末整取时的本利和是多少?

36(36 ? 1) S ? 36 ? 500 ? 500 ? 0.3% ? 2
2.若每月初存入一定金额,月利率为0.3%,希望到 第12个月末整取时取得本利和2000元.那么每月初应 存入的金额是多少?

12(12 ? 1) 2000 ? 12 x ? 0.3% ? x ? 2

结论:“零存整取”问题就是等差数列的实际应用

最新农业银行存款利率表(更新日期:2011-2-9) 三个月 整存整取 零存整取 整存零取 存本取息 其他 半年 一年 二年 三年 五年

3.00 2.60 2.60 2.60 活期 0.4

3.90

4.50 2.80 2.80 2.80

5.00 3.00 3.00 3.00

一天通知 0.85

七天通知 1.39

利率
问题3

“整存整取”是怎么回事?

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
存期 1年 年利率% 3.00 2年 3.90 3年 4.50 5年 5.00

1. 现有10万元,如果存一年,有多少钱? 100000 ×(1+3.00%)=103000 2. 10万元钱,如果存两年,又有多少钱? 存期的选择 3. 如果选择存一年期,但到期忘了取出,5年后 才去取,你猜银行会如何处理? 自动转存

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
定期自动转存模型: 客户存款到期后,客户如不前往银行办理转存手 续,银行可自动将到期的存款本息按相同存期一并 转存 . 复利: 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计 算时每一期本金的数额是不同的.

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
如果储户存入定期为1年的10万元存款,定期年利 率为3%,连存5年后,试求出储户5年后所得本利和 (暂不考虑利息税) 问: 1年后储户的本利和为多少? 2年后储户的本利和为多少?

S1 ? 100000 (1 ? 3%)

1

S 2 ? 100000 (1 ? 3%)(1 ? 3%) ? 100000 (1 ? 3%)
3年后储户的本利和为多少?
2

S3 ? 100000 (1 ? 3%)

3

5年后储户的本利和为多少?

S5 ? 100000 (1 ? 3%)

5

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 连存n年后,你能求出储户n年后所得本利和的公式吗? 1 1年后储户的本利和为多少? S ? P(1 ? r )
1

2年后储户的本利和为多少? 3年后储户的本利和为多少? …… n年后储户的本利和为多少? 你们看出了什么?

S 2 ? P(1 ? r )
S3 ? P(1 ? r )
……

2
3

S n ? P(1 ? r )

n

自动转存是等比数列的应用

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代 表本金和利息和,复利的计算公式是

S ? P(1 ? r )

n

……1000英磅赠给波士顿的居民,如果他 们接受了这一千英磅,那么这笔钱应该托 付给由选举出来的公民组成的基金会,基 金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些 年轻的手工业者去生息.这笔钱过了100年 增加到131000英磅.我希望,那时候用 100000英磅来建立一所公共建筑物,剩下 的31000英磅拿去继续生息100年.在第二个 100年末了,这笔款增加到4061000英磅, 富兰克林 其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支 (1706—1790) 配,而其余的3000000英磅让马萨诸州组成 同样的基金会来管理.过此之后,我可不敢 多作主张了!” 5% 1061000 31000 4061000 3000000 1000 131000 100000

§4 数列在日常经济生活中的应用(一)
存期 1年 年利率% 3.00 2年 3.90 3年 4.50 5年 5.00

根据以上表格中提供的数据,给你10万元,给 你5年时间,请你设计一种最佳的存款方案 (暂不考虑利息税)

为什么银行存款是存期越长,年利率越高?

课堂小结:
存款问题 (实际问题)

数列问题
(数学模型)

解释相关 实际问题

数学问题的

解决

作业布置:

(必做题) 课本34 页 练习 第1,2题 (选做题) 课本36页 习题1-4 第2题


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