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双曲线及其标准方程(公开课)

时间:2012-11-02


沈阳市第七十六中学

问题1:椭圆的定义是什么?
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做椭圆。 问题2:椭圆的标准方程是怎样的? a b c 关系如何? , ,
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 或

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

a ?b ?c
2 2

2

问题3:如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化?

一、双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|,且不等于0)的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫 做双曲线的焦距。

通常情况下,我们把|F1F2|记为2c(c>0); 常数记为2a(a>0).
问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数? 问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)? 如果不对常数加以限制 ,动点的轨迹会是什么?

分3种情况来看: ①若2a=2c,则轨迹是什么?

此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1 F2 ②若2a>2c,则轨迹是什么? 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线

F1

F2

二、双曲线标准方程的推导
① 建系
y 使 x 轴经过两焦点 F1 , F 2 , 轴为线段 F1 , F 2 的垂直平分线。
F1

y

M

O

F2 x

② 设点
设 M ( x , y )是双曲线上任一点, 焦距为2 c ( c ? 0 ) ,那么 焦点 F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 又设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 2 a 。

③ 列式


MF 1 ? MF 2 ? 2 a

( x ? c) ? y
2

2

?

(x ? c) ? y
2

2

? ?2a

④化简

?x ? c ?

2

? y ?
2

?x ? c ?
?x ? c ?
2

2

? y
2

2

? 2a

将上述方程化为:

? y ?
2

?x ? c ?

2

? y

2

? ?2a

移项两边平方后整理得:cx ? a ? ? a 两边再平方后整理得:?c 两边同时除以 a ?c
2 2

? x ? c ?2 ?
2 2

y
2

2

2

?a

2

?x
2 2

2

?a y
y
2 2 2

? a

2

?c

?a

2

?

?a

2

? 得:

x a

?

c ?a

?1
2 2

2 由双曲线定义知: c ? 2 a 即: c ? a

?c ?a ? 0

设c 2

?a

2

?b

2

?b
2 2

? 0?

代入上式整理得:

x

2 2

?

y

? 1( a ? 0, b ? 0)

a b 这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在x轴上,焦点是 F1(-c,0),F2(c,0). 其中c2=a2+b2.

类比椭圆的标准方程,请思考焦点在y轴上的 y 双曲线的标准方程是什么?
F2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)

O

x
F1

这个方程叫做双曲线的标准方程 ,它所表示的双曲线的焦 点在y轴上,焦点是 F1(0,-c),F2(0,c). 其中c2=a2+b2.

三.双曲线两种标准方程的比较
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0)

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0)

y

M

M x

y

F2
O

F1 O F2

x

F1

① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 a , b , a ? 0 , b ? 0 但 a , b 大小不定。
2 2



c ? a ?b
2 2

2


2

2 ④如果 x 的系数是正的,则焦点在 x 轴上;如果 y 的系数是正的,则 焦点在 y轴上。

四、双曲线与椭圆之间的区别与联系

定义


2 2 2 2

双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x a ? ? y b x b
2 2 2 2

|MF1|+|MF2|=2a
x a y a
2 2 2 2

方程

? ?

y b x b

2 2 2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ? 1( a ? b ? 0 )

? 1( a ? 0, b ? 0 ) ? 1( a ? 0, b ? 0 )

y a

焦点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出

a , b , c 及焦点坐标。
2

?1 ? ?3 ?
答案:

x

2

?
2

y

2

?1
2

?2 ? ?4 ?
6

x

2

?

y

?1

4 x ?

2 y ? ?1
2,c ?

2 x
2

2 ?
(?

y

2

? 1( m ? 0 , n ? 0 )

4

2

m

n
6 , 0 ).( 6 ,0 )

题后反思:

?1 ?a
? 2 ?a

? 2, b ?
? 2,b ?

2,c ? 2

( ? 2 , 0 ).( 2 , 0 )

? 3 ?a

?

2 , b ? 2, c ?

6

(0,

6 ).( 0 , ?

6)

先把非标准方程 化成标准方程, 再判断焦点所在 的坐标轴。
m ? n ,0 )

? 4 ?a

?

m ,b ?

n,c ?

m?n

( m ? n , 0 ).( ?

例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点P到焦 点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程。
解:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

根据已知条件,|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8,
所以2c=10,2a=8。即a=4,c=5
2 2 那么b2=c2-a2=25-16=9 x y ? ? 1. 因此,双曲线的标准方程为 16 9

变式训练
1.若|PF1|-|PF2|=8呢?
x
2

题后反思: 求标准方程要做到 先定型,后定量。

?

y

2

? 1 .( x ? 0 )

16

9

2.若||PF1|-|PF2||=10呢?

轨迹不存在

3.若||PF1|-|PF2||=12呢? 两条射线

求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在轴

②焦点在在轴
答案: ①
x
2

x上, a ? 4 , b ? x 上,经过点 ( ? 2 , ?
?1
x a
2 2 2 2

3;
3 ), ( 15 3 , 2).

?

y

2

16

9

② 设双曲线的标准方程为 代入点 ( ? 2 , ? 3 ), (
3 ? 2 ? 2 ?1 ? a2 b ? 5 2 ? ? 2 ?1 2 b ? 3a

?

y b

? ? 1 (a ? 0, b ? 0)

15 3

,

2)
1 a
2


,n ? 1 b
2

令 m ?

? 2 m ? 3n ? 1 ? 则 ?5 m ? 2n ? 1 ?3 ?

?m ? 1 ? 1 解得 ? n ? ? 3 ?

故所求双曲线的标准方程为 x 2 ?

y

2

? 1.

3

例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地

晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

如图所示,建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上,并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 即 2a=680,a=340 ? AB
? 800
2

A
x

o
y
2

B

x

? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c 2 ? a 2 ? 44400 ? 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0

因此炮弹爆炸点的轨迹方程为

?

? 1( x ? 0)

115600

44400

双曲线的定义

双曲线的标准方程

应用

51页练习A组1、2;

56页习题2.3 A组1、2题。

几点说明:
通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a.

(1) 定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。
(2)定义中为什么 0〈2a〈|F1F2|? ①当 2a=| | MF1|-|MF2| |=0时, 轨迹是线段F1F2的垂直平分线. ②当2a=|F1F2|时
P
F1
O

F2

M

F1

F2

Q

| | MF1|-|MF2| | =|F1F2 | 时,M点一定在上图中的 射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。

(1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。 (2)
x
2

?

y

2

? 1( mn ? 0 ) 是否表示双曲线?

m

n

?m ? 0 ? ? n ? 0 ?m ? 0 ? ? n ? 0
x
2

表示焦点在 x轴上的双曲线;

表示焦点在 y轴上的双曲线。
y
2

2? m

?

m ?1

? 1 表示双曲线,求

m 的范围。

答案:m ? ? 1或 m ? ? 2 。


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