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高中数学必修5(人教B版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习题及答案

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高中数学必修5(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 不等式 3.2 均值不等式

一、学习任务 1. 了解均值不等式的证明过程,理解均值不等式成立的条件. 2. 会用均值不等式解决简单的问题. a+b ? 3. 掌握运用均值不等式 ? √? ab (a > 0, b > 0) 求最值的常用方法及需要注意的问题. 2 二、知识清单
均值不等式的含义 均值不等式的应用 均值不等式的实际应用

三、知识讲解
1.均值不等式的含义 描述: 均值定理

a+b ?.当且仅当 a = b 时,等号成立.对任意两个正实数 ? √? ab 2 a+b ? 叫做 a ,b 的几何平均值. 叫做 a ,b 的算术平均值,数 √? a ,b ,数 ab 2
如果 a ,b ∈ R+ ,那么

均值不等式可以表达为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.均值不等式也称 为基本不等式 .两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积 有最大值. 例题: 设 a > 0,b > 0 ,下列不等式中不成立的是( )

b a + ?2 a b a+b 2 C.ab ? ( ) 2
A. 解:D

B.a2 + b 2 ? 2ab D.a ? b +

1 ?2 a?b

? ? ? ? ? ? b a b a + ? 2√ ? = 2 ,故 A 中不等式成立;(a ? b)2 ? 0,所以a2 + b 2 ? 2ab ,所以 B 中 a b a b a+b a+b 2 ? 不等式成立;a > 0,b > 0 , ,所以不等式两边同时平方可得 ? √? ab ( ) ? ab, 2 2 故 C 中不等式成立.因为 a ? b 的符号不确定,当a ? b时,不等式不成立.
已知 x ,y ∈ R+ ,且 x + 4y = 1,求 xy 的最大值.

? ? 解:由均值不等式可得 x + 4y ? 2√? x ?? 4? y ,当且仅当 x = 4y 时等号成立,所以 xy ? 1 1 1

1 ,当 16

1 1 1 且仅当 x = ,y = 时等号成立,所以 xy 的最大值为 . 2 8 16

16

2.均值不等式的应用 描述: 基本不等式的应用非常广泛,如求函数最值,证明不等式,比较大小,求取值范围,解决实际问 题等.其中,求最值是其最重要的应用 .利用均值不等式求最值时应注意“一正,二定,三相 等”,三者缺一不可. 例题: 求函数 y =

1 + x (x>3)\) 的最小值. x?3 解:因为 x > 3,所以 x ? 3 > 0 ,所以 y=
当且仅当 x ? 3 =

1 1 +x = + (x ? 3) + 3 ? 5, x?3 x?3

1 ,即 x = 4 时,取 “=” 号,所以 y min = 5 . x?3

12 + 3x(x > 0) 的最小值; x 12 (2)求函数 f (x) = + 3x(x < 0) 的最大值. x 12 解:(1)当x > 0,所以 > 0 ,3x > 0,所以 x
(1)求函数 f (x) =

f (x) =
当且仅当

? ? ? ? ? ? 12 12 + 3x ? 2√ ? 3x = 12, x x

12 = 3x ,即 x = 2 时,f (x) 取得最小值 12. x 12 (2)当x < 0,所以 ? > 0 ,?3x > 0 ,所以 x f (x) = 12 + 3x x 12 = ? [(? ) + (?3x)] x ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 12 ? ?2√(? ) ? (?3x) x = ?12,
当且仅当 ?

12 = ?3x,即 x = ?2 时,f (x) 取得最大值 ?12 . x 1 ) 的最大值. 3

求函数 f (x) = x(1 ? 3x) (0 < x < 解:因为 0 < x <

1 ,所以 0 < 1 ? 3x < 1,所以 3

f (x) = x(1 ? 3x) 1 = × 3x(1 ? 3x) 3 1 3x + 1 ? 3x 2 ? ( ) 3 2 1 = , 12
当且仅当 3x = 1 ? 3x ,即 x =

1 1 时,f (x) 取得最大值 . 6 12

设 a, b, c ∈ R,求证:a2 + b 2 + c 2 ? ab + bc + ca . 证明:因为 a2 + b 2 ? 2ab ,b 2 + c 2 ? 2bc,c 2 + a2 ? 2ca ,所以

(a2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a2 ) ? 2ab + 2bc + 2ca,
当且仅当 a = b = c 时,等号成立,所以 a2 + b 2 + c 2 ? ab + bc + ca .

3.均值不等式的实际应用 描述: 利用基本不等式解决实际问题的一般步骤: ①正确理解题意,设出变量,一般可以把要求最大(小)值的变量定为函数; ②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; ③在定义域内,求出函数的最大值或最小值; ④正确写出答案. 例题: 建造一个容积为 8 m 3 ,深为 2 m 的长方形无盖水池,如果池底的造价是每平方米 120 元, 池壁的造价是每平方米 80 元,求这个水池的最低造价. 解:设水池的造价为 y 元,池底的长为 x m ,则宽为

4 m .所以 x

y = 4 × 120 + 2(2x + = 480 + 320(x +

4 ) x ? ? ? ? ? 4 ? 480 + 320 × 2√x ? x = 1760,
当且仅当 x =

8 ) × 80 x

4 ,即 x = 2 时,等号成立.所以当 x = 2 时,y min = 1760 . x 答:水池的最低造价为1760元.
某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、汽油费约为 0.9 万元,年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元.问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少? 解:设使用 x 年时,年平均费用 y 最少. 由于“年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元”,可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项,0.2 万元为公差的等差数列. 因此汽车使用 x 年的总维修费用为

x(0.2 + 0.2x) 万元,所以 2

y= = = ? =
当且仅当

x(0.2 + 0.2x) 2 x 10 + x + 0.1x2 x 10 x 1+ + x 10 ? ? ? ? ? ? ? 10 x 1 + 2√ ? x 10 3 10 + 0.9x +

10 x ,即 x = 10 时,y 取得最小值. = x 10 答:汽车使用 10 年时年平均费用最少.

四、课后作业

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1. 下列命题中正确的是 ( A.y = x +

1 的最小值是 2 x x2 + 3 B.y = ? ? ? ? ? 的最小值是 2 √x 2 + 2 5 x2 + 5 C.y = 的最小值是 ? ? ? ? ? 2 √x2 + 4 4 D.y = 2 ? 3x ? 的最大值是 2 ? 4√3 x
答案: C

)

2. 若 x, y 是正数,则 (x + A.3
答案: C 解析:

1 2 1 2 + ) (y + ) 的最小值是 ( 2y 2x 7 B. C.4 2

)
D.

9 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 2 1 2 1 1 √y ? ) (y + ) ≥ 8√x ? = 4 ,当且仅当 (x + ) + (y + ) ? 2 (x + 2y 2x 2y 2x 2y 2x ? ? x+ ? ? ? ? ?x = ? ? ? ? ?y = ? 1 1 =y+ 2y 2x 1 2y 1 2x

得x=y=

√2 时等号成立. 2 )

3. 小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 b (a < b),其全程的平均时速为 v ,则 (

? A.a < v < √? ab
答案: A 解析:

? B.v = √? ab

?<v< C.√? ab

a+b 2

D.v =

a+b 2

设甲地到乙地的路程为 s ,则 v = 小.

2s 2ab ,然后利用均值不等式及作差法可比较大 = s s a + b + a b z 取得最小值时, x + 2y ? z 的最大值为 xy
D.

4. 设正实数 x, y, z 满足 x 2 ? 3xy + 4y 2 ? z = 0 .则当

(
A.0

)
B.

9 8

C.2

9 4

答案: C 解析: 含三个参数

x, y, z ,消元,利用基本不等式及配方法求最值. z = x2 ? 3xy + 4y 2 (x, y, z ∈ R+ ) ,



x2 ? 3xy + 4y 2 z = xy xy 4y x = + ?3 y x ? ? ? ? ? ? x 4y ? 2√ ? ?3 y x = 1. 4y x ,即 x = 2y 时" = "成立,此时 = y x z = x2 ? 3xy + 4y 2 = 4y 2 ? 6y 2 + 4y 2 = 2y 2 ,


当且仅当

x + 2y ? z = 2y + 2y ? 2y 2 = ?2y 2 + 4y = ?2(y ? 1)2 + 2.
∴当 y = 1 时, x + 2y ? z 取最大值 2 .

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