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高中数学 直线与方程

时间:2018-11-12

第三章 直线与方程 §3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
【课时目标】 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2. 掌握求直线斜率的两种方法. 3. 了 解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.

1.倾斜角与斜率的概念 定义 倾 斜 角 斜 率 当直线 l 与 x 轴________时,我们取________作为基准,x 轴________与直线 l________________之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴平行或 重合时,我们规定它的倾斜角为 0° 直线 l 的倾斜角 α(α≠90° )的____________ 2.倾斜角与斜率的对应关系 图示 倾斜角 (范围) 斜率 (范围) α=0° 0 0° <α<90° 大于 0 α=____ 斜率不 存在 90° <α<180° 小于 0 表示 或记 法 α k= tan α

一、选择题 1.对于下列命题 ①若 α 是直线 l 的倾斜角,则 0° ≤α<180° ; ②若 k 是直线的斜率,则 k∈R; ③任一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率; ④任一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.斜率为 2 的直线经过点 A(3,5)、B(a,7)、C(-1,b)三点,则 a、b 的值为( ) A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3 3.设直线 l 过坐标原点,它的倾斜角为 α,如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45° , 得到直线 l1,那么 l1 的倾斜角为( ) A.α+45° B.α-135° C.135° -α D.当 0° ≤α<135° 时,倾斜角为 α+45° ;当 135° ≤α<180° 时,倾斜角为 α-135° 4.直线 l 过原点(0,0),且不过第三象限,那么 l 的倾斜角 α 的取值范围是( ) A.[0° ,90° ] B.[90° ,180° ) C.[90° ,180° )或 α=0° D.[90° ,135° ]

5.若图中直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则(

)

A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 6.直线 mx+ny-1=0 同时过第一、三、四象限的条件是( A.mn>0 B.mn<0 C.m>0,n<0 D.m<0,n<0

)

二、填空题 7.若直线 AB 与 y 轴的夹角为 60° ,则直线 AB 的倾斜角为____________,斜率为 ____________. 8.如图,已知△ABC 为等腰三角形,且底边 BC 与 x 轴平行,则△ABC 三边所在直线 的斜率之和为________.

9.已知直线 l 的倾斜角为 α-20° ,则 α 的取值范围是________________________. 三、解答题 10.如图所示,菱形 ABCD 中,∠BAD=60° ,求菱形 ABCD 各边和两条对角线所在直 线的倾斜角和斜率.

11.一条光线从点 A(-1,3)射向 x 轴,经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1),求 P 点 的坐标.

能力提升 y 12.已知实数 x,y 满足 y=-2x+8,当 2≤x≤3 时,求 的最大值和最小值. x

13 . 已 知 函 数 f(x) = log2(x + 1) , a>b>c>0 , 则 ________________.

f?a? f?b? f?c? , , 的大小关系是 a b c

1.利用直线上两点确定直线的斜率,应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论,斜 率不存在的情况在解题中容易忽视,应引起注意. 2.三点共线问题:(1)已知三点 A,B,C,若直线 AB,AC 的斜率相同,则三点共线; (2)三点共线问题也可利用线段相等来求,若|AB|+|BC|=|AC|,也可断定 A,B,C 三点共线. 3.斜率公式的几何意义:在解题过程中,要注意开发“数形”的转化功能,直线的倾 斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征, 利用这种特征来处理问题更直观形象, 会起到意 想不到的效果.

第三章 直线与方程 § 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 答案
知识梳理 1.相交 x 轴 正向 向上方向 正切值 2.90° 作业设计 1.C [①②③正确.] -1-3 ? ?kAC=2, [由题意,得? 即 ?kAB=2, 7-5 ? b-5 =2, ? ? ? ?a-3=2. ?

2.C

解得 a=4,b=-3.] 3.D [因为 0° ≤α<180°,显然 A,B,C 未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画 图(如图所示)可知:

当 0° ≤α<135°时,倾斜角为 α+45° ;

当 135° ≤α<180°时,倾斜角为 45° +α-180° =α-135° .] 4.C [倾斜角的取值范围为 0° ≤α<180°,直线过原点且不过第三象限,切勿忽略 x 轴 和 y 轴.] 5.D [由图可知,k1<0,k2>0,k3>0, 且 l2 比 l3 的倾斜角大.∴k1<k3<k2.] m 1 m 6. C [由题意知, 直线与 x 轴不垂直, 故 n≠0. 直线方程化为 y=- x+ , 则- >0, n n n 1 且 <0,即 m>0,n<0.] n 3 3 7.30° 或 150° 或- 8.0 3 3 9.20° ≤α<200° 解析 因为直线的倾斜角的范围是[0° ,180° ), 所以 0° ≤α-20° <180° ,解之可得 20° ≤α<200°. 10.解 αAD=αBC=60° ,αAB=αDC=0° ,αAC=30° ,αBD=120° . 3 kAD=kBC= 3,kAB=kCD=0,kAC= ,kBD=- 3. 3 3-0 3 11.解 设 P(x,0),则 kPA= =- , -1-x x+1 1-0 1 kPB= = ,依题意, 3-x 3-x 由光的反射定律得 kPA=-kPB, 3 1 即 = ,解得 x=2,即 P(2,0). x+1 3-x 12.解

y y-0 = 其意义表示点(x,y)与原点连线的直线的斜率. x x-0 点(x,y)满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,则点(x,y)在线段 AB 上,并且 A、B 两点的 2 坐标分别为 A(2,4),B(3,2),如图所示.则 kOA=2,kOB= . 3 y 2 所以得 的最大值为 2,最小值为 . x 3 f?c? f?b? f?a? 13. > > c b a f?x? 解析 画出函数的草图如图, 可视为过原点直线的斜率. x

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

【课时目标】 1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直.2.能根据两 条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.

1.两条直线平行与斜率的关系 (1)对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜率分别为 k1、k2,有 l1∥l2?________. (2)如果直线 l1、l2 的斜率都不存在,并且 l1 与 l2 不重合,那么它们都与________垂直, 故 l1________l2. 2.两条直线垂直与斜率的关系 (1)如果直线 l1、l2 的斜率都存在,并且分别为 k1、k2,那么 l1⊥l2?__________. (2)如果两条直线 l1、l2 中的一条斜率不存在,另一个斜率是零,那么 l1 与 l2 的位置关系 是________.

一、选择题 1.有以下几种说法:(l1、l2 不重合) ①若直线 l1,l2 都有斜率且斜率相等,则 l1∥l2; ②若直线 l1⊥l2,则它们的斜率互为负倒数; ③两条直线的倾斜角相等,则这两条直线平行; ④只有斜率相等的两条直线才一定平行. 以上说法中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 2.以 A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以 A 点为直角顶点的直角三角形 D.以 B 点为直角顶点的直角三角形 3.已知 A(1,2),B(m,1),直线 AB 与直线 y=0 垂直,则 m 的值( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 4.已知 A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线 AB 与直线 CD 平行,则 m 的值为( ) A.1 B.0 C .0 或 2 D.0 或 1 5.若直线 l1、l2 的倾斜角分别为 α1、α2,且 l1⊥l2,则有( ) A.α1-α2=90° B.α2-α1=90° C.|α2-α1|=90° D.α1+α2=180° 6.顺次连接 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)所构成的图形是( ) A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对 二、填空题 7.如果直线 l1 的斜率为 a,l1⊥l2,则直线 l2 的斜率为________. 8.直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 是关于 k 的方程 2k2-3k-b=0 的两根,若 l1⊥l2,则 b= ________;若 l1∥l2,则 b=________. 9.已知直线 l1 的倾斜角为 60° ,直线 l2 经过点 A(1, 3),B(-2,-2 3),则直线 l1, l2 的位置关系是____________. 三、解答题

10.已知△ABC 三个顶点坐标分别为 A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边 的高所在直线的斜率.

11.已知△ABC 的顶点坐标为 A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC 为直角三角形, 试求 m 的值.

能力提升 12.已知△ABC 的顶点 B(2,1),C(-6,3),其垂心为 H(-3,2),则其顶点 A 的坐标为 ________. 13.已知四边形 ABCD 的顶点 A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求 m 和 n 的值, 使四边形 ABCD 为直角梯形.

判定两条直线是平行还是垂直要“三看”: 一看斜率是否存在, 若两直线的斜率都不存 在,则两直线平行,若一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在,则两直线垂直;斜 率都存在时,二看斜率是否相等或斜率乘积是否为-1;两直线斜率相等时,三看两直线是 否重合,若不重合,则两直线平行.

3. 1 . 2

两条直线平行与垂直的判定

答案

知识梳理 1.(1)k1=k2 (2)x 轴 ∥ 2.(1)k1k2=-1 (2)垂直 作业设计 1.B [①③正确,②④不正确,l1 或 l2 可能斜率不存在.] 2 3 2.C [kAB=- ,kAC= ,kAC· kAB=-1,∴AB⊥AC.] 3 2 3.B [直线 AB 应与 x 轴垂直,A、B 横坐标相同.] 4.D [当 AB 与 CD 斜率均不存在时,m=0,此时 AB∥CD,当 kAB=kCD 时,m=1, 此时 AB∥CD.] 5.C 6.B [kAB=kDC,kAD≠kBC,kAD· kAB=-1,故构成的图形为直角梯形.] 1 7.- 或不存在 a 9 8.2 - 8 b 解析 若 l1⊥l2,则 k1k2=- =-1,∴b=2. 2 9 若 l1∥l2,则 k1=k2,Δ=9+8b=0,∴b=- . 8 9.平行或重合 解析 由题意可知直线 l1 的斜率 k1=tan 60° = 3, -2 3- 3 直线 l2 的斜率 k2= = 3, -2-1 因为 k1=k2,所以 l1∥l2 或 l1,l2 重合. 10.解

由斜率公式可得 6-?-4? 5 kAB= = , 6-?-2? 4 6-6 kBC= =0, 6-0 6-?-4? kAC= =5. 0-?-2? 由 kBC=0 知直线 BC∥x 轴, ∴BC 边上的高线与 x 轴垂直,其斜率不存在. 设 AB、AC 边上高线的斜率分别为 k1、k2, 由 k1· kAB=-1,k2· kAC=-1, 5 即 k1· =-1,k2· 5=-1, 4

4 1 解得 k1=- ,k2=- . 5 5 ∴BC 边上的高所在直线斜率不存在; 4 AB 边上的高所在直线斜率为- ; 5 1 AC 边上的高所在直线斜率为- . 5 -1-1 -1-m m+1 1 11.解 kAB= =- ,kAC= =- , 2 3 5-1 5-2 m-1 kBC= =m-1. 2-1 1 ? m+1? 若 AB⊥AC,则有- · =-1, 2 ?- 3 ? 所以 m=-7. 1 若 AB⊥BC,则有- · (m-1)=-1, 2 所以 m=3. m+1 若 AC⊥BC,则有- · (m-1)=-1, 3 所以 m=± 2. 综上可知,所求 m 的值为-7,± 2,3. 12.(-19,-62) 解析 设 A(x,y),∵AC⊥BH,AB⊥CH, 1 且 kBH=- , 5 1 kCH=- , 3 y-3 ? ?x+6=5, ∴? y-1 ?x-2=3. ? 13.解
? ?x=-19, 解得? ?y=-62. ?

∵四边形 ABCD 是直角梯形,∴有 2 种情形: (1)AB∥CD,AB⊥AD, 由图可知:A(2,-1). (2)AD∥BC,AD⊥AB, m-2 -1 ? ?kAD=kBC ? ? ?kAD· kAB=-1 n-2 n+1 ? n-2 3 ? ? = ? =-1 ? ?m-2· m-5

?m= 5 ∴? 8 ?n=-5

16

? ?m=2 .综上? 或 ?n=-1 ?

?m= 5 ? 8 ?n=-5

16



§3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
【课时目标】 1.掌握坐标平面内确定一条直线的几何要素.2.会求直线的点斜式方 程与斜截式方程.3.了解斜截式与一次函数的关系.

1.直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 已知条件 点 斜 式 斜 截 式 点 P(x0,y0) 和斜率 k 斜率 k 和在 y 轴上的截距 b

示意图

方程 ________ ________

使用范围 斜率 存在 存在 斜率

________

2.对于直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, (1)l1∥l2?________________________; (2)l1⊥l2?________________.

一、选择题 1.方程 y=k(x-2)表示( ) A.通过点(-2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线 2.已知直线的倾斜角为 60° ,在 y 轴上的截距为-2,则此直线方程为( A.y= 3x+2 B.y=- 3x+2 C.y=- 3x-2 D.y= 3x-2 3.直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限,则有( ) A.k>0,b>0 B.k>0,b<0 C.k<0,b>0 D.k<0,b<0 4.直线 y=ax+b 和 y=bx+a 在同一坐标系中的图形可能是( )

)

(

5.集合 A={直线的斜截式方程},B={一次函数的解析式},则集合 A、B 间的关系是 ) A.A=B B.B?A C.A?B D.以上都不对 6.直线 kx-y+1-3k=0 当 k 变化时,所有的直线恒过定点( ) A.(1,3) B.(-1,-3) C.(3,1) D.(-3,-1)

二、填空题 7.将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° ,再向右平移 1 个单位长度,所得到的直线为 ______________. 8 .已知一条直线经过点 P(1,2)且与直线 y =2x +3 平行,则该直线的点斜式方程是 ________. 9.下列四个结论: y-2 ①方程 k= 与方程 y-2=k(x+1)可表示同一直线; x+1 ②直线 l 过点 P(x1,y1),倾斜角为 90° ,则其方程是 x=x1; ③直线 l 过点 P(x1,y1),斜率为 0,则其方程是 y=y1; ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程. 正确的为________(填序号). 三、解答题 10.写出下列直线的点斜式方程. (1)经过点 A(2,5),且与直线 y=2x+7 平行; (2)经过点 C(-1,-1),且与 x 轴平行.

11.已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求 BC 边上的高 所在的直线方程.

能力提升 1 12.已知直线 l 的斜率为 ,且和两坐标轴围成三角形的面积为 3,求 l 的方程. 6

13.等腰△ABC 的顶点 A(-1,2),AC 的斜率为 3,点 B(-3,2),求直线 AC、BC 及∠ A 的平分线所在直线方程.

1.已知直线 l 经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程.用点斜式求直 线方程时, 必须保证该直线斜率存在. 而过点 P(x0, y0),斜率不存在的直线方程为 x=x0.直 线的斜截式方程 y=kx+b 是点斜式的特例. 2.求直线方程时常常使用待定系数法,即根据直线满足的一个条件,设出其点斜式方 程或斜截式方程,再根据另一条件确定待定常数的值,从而达到求出直线方程的目的.但在 求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形.

§ 3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 答案
知识梳理 1.y-y0=k(x-x0) y=kx+b 2.(1)k1=k2 且 b1≠b2 (2)k1k2=-1 作业设计 1.C [易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于 x 轴.] 2.D [直线的倾斜角为 60° ,则其斜率为 3, 利用斜截式直接写方程.] 3.B 4.D 5.B [一次函数 y=kx+b(k≠0); 直线的斜截式方程 y=kx+b 中 k 可以是 0,所以 B?A.] 6.C [直线 kx-y+1-3k=0 变形为 y-1=k(x-3), 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).] 1 1 7.y=- x+ 3 3 1 解析 直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° 所得到的直线方程为 y=- x,再将该直线向 3 1 1 1 右平移 1 个单位得到的直线方程为 y=- (x-1),即 y=- x+ . 3 3 3

8.y-2=2(x-1) 9.②③ 10.解 (1)由题意知,直线的斜率为 2, 所以其点斜式方程为 y-5=2(x-2). (2)由题意知,直线的斜率 k=tan 0° =0, 所以直线的点斜式方程为 y-(-1)=0,即 y=-1. 11.解 设 BC 边上的高为 AD,则 BC⊥AD, 2+3 3 ∴kAD· kBC=-1,∴ · k =-1,解得 kAD= . 5 0-3 AD 3 ∴BC 边上的高所在的直线方程为 y-0= (x+5), 5 3 即 y= x+3. 5 1 12.解 设直线 l 的方程为 y= x+b, 6 则 x=0 时,y=b;y=0 时,x=-6b. 1 由已知可得 · |b|· |6b|=3, 2 2 即 6|b| =6,∴b=± 1. 1 1 故所求直线方程为 y= x+1 或 y= x-1. 6 6 13.解 直线 AC 的方程:y= 3x+2+ 3. ∵AB∥x 轴,AC 的倾斜角为 60° , ∴BC 的倾斜角为 30° 或 120° . 3 当 α=30° 时,BC 方程为 y= x+2+ 3,∠A 平分线倾斜角为 120° , 3 ∴所在直线方程为 y=- 3x+2- 3. 当 α=120° 时,BC 方程为 y=- 3x+2-3 3,∠A 平分线倾斜角为 30° , 3 3 ∴所在直线方程为 y= x+2+ . 3 3

3.2.2

直线的两点式方程

【课时目标】 1.掌握直线方程的两点式.2.掌握直线方程的截距式.3.进一步巩 固截距的概念.

1.直线方程的两点式和截距式 名称 已知条件 P1(x1,y1), 两 P2(x2,y2), 点 其中 x1≠x2, 式 y1≠y2 截 距 式 在 x,y 轴上的 截距分别为 a,b 且 ab≠0

示意图

方程 y-y1 = y2-y1 x-x1 x2-x1

使用范围 斜率存在 且不为 0

斜率存在且不为 0, 不过原点

2.线段的中点坐标公式

? ?x= 若点 P1、 P2 的坐标分别为(x1, y1)、 (x2, y2), 设 P(x, y)是线段 P1P2 的中点, 则? ?y= ?



一、选择题 1.下列说法正确的是( ) y-y1 A.方程 =k 表示过点 M(x1,y1)且斜率为 k 的直线方程 x-x1 x y B.在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b 的直线方程为 + =1 a b C.直线 y=kx+b 与 y 轴的交点到原点的距离为 b D.不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 2.一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程( ) A.可以写成两点式或截距式 B.可以写成两点式或斜截式或点斜式 C.可以写成点斜式或截距式 D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 x y 3.直线 2- 2=1 在 y 轴上的截距是( ) a b A.|b| B.-b2 C.b2 D.± b 4.在 x、y 轴上的截距分别是-3、4 的直线方程是( ) x y x y A. + =1 B. + =1 3 -4 -3 4 x y x y C. - =1 D. + =1 4 4 -3 -3 x y x y 5.直线 - =1 与 - =1 在同一坐标系中的图象可能是( ) m n n m

6.过点(5,2),且在 x 轴上的截距(直线与 x 轴交点的横坐标)是在 y 轴上的截距的 2 倍的 直线方程是( ) A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x+2y-9=0 或 2x-5y=0 二、填空题 7.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的点斜式方式为______________. 8 .过点 P(6 ,- 2) ,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程是 ________________. 9.过点 P(1,3)的直线 l 分别与两坐标轴交于 A、B 两点,若 P 为 AB 的中点,则直线 l

的截距式是______________. 三、解答题 10.已知直线 l 的斜率为 6,且被两坐标轴所截得的线段长为 37,求直线 l 的方程.

11.三角形 ABC 的三个顶点分别为 A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)求边 AC 和 AB 所在直线的方程; (2)求 AC 边上的中线 BD 所在直线的方程; (3)求 AC 边上的中垂线所在直线的方程.

能力提升 12.已知点 A(2,5)与点 B(4,-7),点 P 在 y 轴上,若|PA|+|PB|的值最小,则点 P 的坐 标是________. 13.已知直线 l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零,求直线 l 的方程.

1.直线方程的几种形式,都可以用来求直线的方程,但各有自己的限制条件,应用时 要全面考虑.(1)点斜式应注意过 P(x0,y0)且斜率不存在的情况.(2)斜截式,要注意斜率不 存在的情况.(3)两点式要考虑直线平行于 x 轴和垂直于 x 轴的情况.(4)截距式要注意截距 都存在的条件. 2.直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义,在求直线方程时,应抓住这些几何 特征,求直线方程. 3.强调两个问题: (1)截距并非距离,另外截距相等包括截距均为零的情况,但此时不能用截距式方程表 示,而应用 y=kx 表示.不是每条直线都有横截距和纵截距,如直线 y=1 没有横截距,x= 2 没有纵截距. y2-y1 y-y1 x-x1 (2)方程 y-y1= (x-x1)(x1≠x2)与 = (x ≠x ,y ≠y )以及(y-y1)(x2-x1) x2-x1 y2-y1 x2-x1 1 2 1 2 =(x-x1)(y2-y1)代表的直线范围不同(想一想,为什么?).

3. 2. 2
知识梳理 x y 1. + =1 a b x1+x2 y1+y2 2. 2 2 作业设计 1.A 2.B 3.B [令 x=0 得,y=-b2.] 4.A

直线的两点式方程

答案

n 5.B [两直线的方程分别化为斜截式:y= x-n, m m y= x-m,易知两直线的斜率的符号相同,四个选项中仅有 B 选项的两直线的斜率符 n 号相同.] 6.D [当 y 轴上截距 b=0 时,方程设为 y=kx, 2 将(5,2)代入得,y= x,即 2x-5y=0; 5 x y 9 当 b≠0 时,方程设为 + =1,求得 b= ,∴选 D.] 2b b 2 3 7.y- =2(x-2) 2 1 解析 kAB=- ,由 k· kAB=-1 得 2 3 2, ?, k=2,AB 的中点坐标为? ? 2? 3 点斜式方程为 y- =2(x-2). 2 x y x 8. + =1 或 +y=1 3 2 2 -2 x y 6 解析 设直线方程的截距式为 + =1,则 + =1,解得 a=2 或 a=1,则直 a a+1 a a+1 x y x y x y x 线的方程是 + =1 或 + =1,即 + =1 或 +y=1. 3 2 2 2+1 2 1+1 1

x y 9. + =1 2 6 解析 设 A(m,0),B(0,n),由 P(1,3)是 AB 的中点可得 m=2,n=6, 即 A、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6). x y 则 l 的方程为 + =1. 2 6 10.解 方法一 设所求直线 l 的方程为 y=kx+b. ∵k=6,∴方程为 y=6x+b. 令 x=0,∴y=b,与 y 轴的交点为(0,b); b b - ,0?. 令 y=0,∴x=- ,与 x 轴的交点为? ? 6 ? 6 b 2 2 ? 根据勾股定理得? ?-6? +b =37, ∴b=± 6.因此直线 l 的方程为 y=6x± 6. x y 方法二 设所求直线为 + =1,则与 x 轴、y 轴的交点分别为(a,0)、(0,b). a b 由勾股定理知 a2+b2=37. a2+b2=37, ? ? b 又 k=- =6,∴? b a ? ?-a=6.
?a=-1, ? 或? ?b=-6 ?b=6. ? ? y y 因此所求直线 l 的方程为 x+ =1 或-x+ =1. 6 -6 x y 11.解 (1)由截距式得 + =1, -8 4 ∴AC 所在直线方程为 x-2y+8=0, y-4 x 由两点式得 = , 6-4 -2 ∴AB 所在直线方程为 x+y-4=0. y-2 x-?-4? (2)D 点坐标为(-4,2),由两点式得 = . 6-2 -2-?-4? ∴BD 所在直线方程为 2x-y+10=0. 1 (3)由 kAC= ,∴AC 边上的中垂线的斜率为-2, 2 又 D(-4,2),由点斜式得 y-2=-2(x+4), ∴AC 边上的中垂线所在直线方程为 2x+y+6=0. 12.(0,1) 解析 要使|PA|+|PB|的值最小,先求点 A 关于 y 轴的对称点 A′(-2,5),连接 A′B, 直线 A′B 与 y 轴的交点 P 即为所求点. 1 13.解 当直线 l 经过原点时,直线 l 在两坐标轴上截距均等于 0,故直线 l 的斜率为 , 7 1 ∴所求直线方程为 y= x, 7 即 x-7y=0. x y 当直线 l 不过原点时,设其方程 + =1, a b 由题意可得 a+b=0, ① 7 1 又 l 经过点(7,1),有 + =1, ② a b

解此方程组可得?

?a=1, ?

x y 由①②得 a=6,b=-6,则 l 的方程为 + =1,即 x-y-6=0. 6 -6 故所求直线 l 的方程为 x-7y=0 或 x-y-6=0.

3.2.3

直线的一般式方程

【课时目标】 1. 了解二元一次方程与直线的对应关系. 2. 掌握直线方程的一般式. 3. 根 据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式之间的关系.

1.关于 x,y 的二元一次方程________________(其中 A,B________________)叫做直线 的一般式方程,简称一般式. 2.比较直线方程的五种形式(填空) 各常数的 形式 方程 局限 几何意义 点斜式 不能表示 k 不存在的直线 (x0,y0)是直线上一定点,k 是斜率 斜截式 不能表示 k 不存在的直线 k 是斜率,b 是 y 轴上的截距 两点式 x1≠x2,y1≠y2 (x1,y1)、(x2,y2)是直线上两个定点 不能表示与坐标轴平行及过原 a 是 x 轴上的非零截距, b 是 y 轴上的非零 截距式 点的直线 截距 A C 当 B≠0 时,- 是斜率,- 是 y 轴上的 B B 一般式 无 截距

一、选择题 1.若方程 Ax+By+C=0 表示直线,则 A、B 应满足的条件为( ) A.A≠0 B.B≠0 C.A· B≠0 D.A2+B2≠0 2.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0 的倾斜角为 45° ,则 m 的值为( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3 3.直线 x+2ay-1=0 与(a-1)x+ay+1=0 平行,则 a 的值为( ) 3 3 A. B. 或 0 2 2 C.0 D.-2 或 0 4.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 5.直线 l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图形 大致是( )

6.直线 ax+by+c=0 (ab≠0)在两坐标轴上的截距相等,则 a,b,c 满足( A.a=b B.|a|=|b|且 c≠0 C.a=b 且 c≠0 D.a=b 或 c=0

)

二、填空题 7.直线 x+2y+6=0 化为斜截式为________,化为截距式为________. 8 .已知方程 (2m2 + m - 3)x + (m2 - m)y - 4m + 1 = 0 表示直线,则 m 的取值范围是 ______________. 9.已知 A(0,1),点 B 在直线 l1:x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,直线 AB 的一般 式方程为________. 三、解答题 10.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)斜率为 3,且经过点 A(5,3); (2)过点 B(-3,0),且垂直于 x 轴; (3)斜率为 4,在 y 轴上的截距为-2; (4)在 y 轴上的截距为 3,且平行于 x 轴; (5)经过 C(-1,5),D(2,-1)两点; (6)在 x 轴,y 轴上截距分别是-3,-1.

11.已知直线 l1:(m+3)x+y-3m+4=0,l2:7x+(5-m)y-8=0,问当 m 为何值时, 直线 l1 与 l2 平行.

能力提升 12.将一张坐标纸折叠一次,使点(0,2)与点(4,0)重合,且点(7,3)与点(m,n)重合,则 m +n 的值为( ) 34 A.8 B. C.4 D.11 5 13.已知直线 l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求 a 的取值范围.

1.在求解直线的方程时,要由问题的条件、结论,灵活地选用公式,使问题的解答变 得简捷. 2.直线方程的各种形式之间存在着内在的联系,它是直线在不同条件下的不同的表现 形式,要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化,如把一般式 Ax+By+C=0 化为截 距式有两种方法:一是令 x=0,y=0,求得直线在 y 轴上的截距 B 和在 x 轴上的截距 A;二 是移常项,得 Ax+By=-C,两边除以-C(C≠0),再整理即可. 3.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法: ①若一个斜率为零,另一个不存在则垂直.若两个都存在斜率,化成斜截式后则 k1k2 =-1. ②一般地,设 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2?A1A2+B1B2=0,第二种方法可避免讨论,减小失误.

3.2.3 直线的一般式方程
知识梳理 1.Ax+By+C=0 不同时为 0 2.y-y0=k(x-x0) y=kx+b x y + =1 Ax+By+C=0 a b 作业设计 1.D y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1

答案

2m2-5m+2 [由已知得 m2-4≠0,且 = 1, m2-4 解得:m=3 或 m=2(舍去).] 3.A 3 3 4.A [由题意知,直线 l 的斜率为- ,因此直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 2 2 即 3x+2y-1=0.] 5.C [将 l1 与 l2 的方程化为斜截式得: y=ax+b,y=bx+a, 根据斜率和截距的符号可得 C.] 6.D [直线在两坐标轴上的截距相等可分为两种情形: (1)截距等于 0,此时只要 c=0 即可; c c (2)截距不等于 0,此时 c≠0,直线在两坐标轴上的截距分别为- 、- .若相等,则 a b c c 有- =- ,即 a=b. a b 综合(1)(2)可知, 若 ax+by+c=0 (ab≠0)表示的直线在两坐标轴上的截距相等, 则 a=b 或 c=0.] 1 x y 7.y=- x-3 + =1 2 -6 -3 8.m∈R 且 m≠1 解析 由题意知,2m2+m-3 与 m2-m 不能同时为 0, 2.D

3 由 2m2+m-3≠0 得 m≠1 且 m≠- ; 2 由 m2-m≠0,得 m≠0 且 m≠1,故 m≠1. 9.x-y+1=0 解析 AB⊥l1 时,AB 最短,所以 AB 斜率为 k=1, 方程为 y-1=x,即 x-y+1=0. 10.解 (1)由点斜式方程得 y-3= 3(x-5), 即 3x-y+3-5 3=0. (2)x=-3,即 x+3=0. (3)y=4x-2,即 4x-y-2=0. (4)y=3,即 y-3=0. y-5 x-?-1? (5)由两点式方程得 = , -1-5 2-?-1? 即 2x+y-3=0. x y (6)由截距式方程得 + =1,即 x+3y+3=0. -3 -1 11.解 当 m=5 时,l1:8x+y-11=0,l2:7x-8=0. 显然 l1 与 l2 不平行,同理,当 m=-3 时,l1 与 l2 也不平行. 7 -?m+3?= m-5 当 m≠5 且 m≠-3 时,l1∥l2? , 8 3m-4≠ 5-m

? ? ?

∴m=-2. ∴m 为-2 时,直线 l1 与 l2 平行. 12.B [点(0,2)与点(4,0)关于直线 y-1=2(x-2)对称,则点(7,3)与点(m,n)也关于直线 y-1=2(x-2)对称, n+3 ?m+7 ? ? ? 2 -1=2? 2 -2? 则? n-3 1 ? ?m-7=-2 34 故 m+n= .] 5 13.

?m=5 ,解得? 31 ? n= 5

3



3 1 (1)证明 将直线 l 的方程整理为 y- =a(x- ),∴l 的斜率为 a, 5 5 1 3 且过定点 A( , ). 5 5 1 3 而点 A( , )在第一象限,故 l 过第一象限. 5 5 ∴不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限. 3 -0 5 (2)解 直线 OA 的斜率为 k= =3. 1 -0 5 ∵l 不经过第二象限,∴a≥3.

§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标
【课时目标】 1.掌握求两条直线交点的方法.2.掌握通过求方程组解的个数,判定 两直线位置关系的方法. 3. 通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想.

1.两条直线的交点 已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0. ? ? ?A1x+B1y+C1=0 ?x=x0 若两直线方程组成的方程组? 有唯一解? ,则两直线______,交 ?A2x+B2y+C2=0 ?y=y0 ? ? 点坐标为________. 2.方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组 两直线 交点 方程系数特征 的解 位置关系 A1B2=A2B1 无解 两直线____交点 平行 B1C2≠B2C1 两条直线有 有唯一解 相交 A1B2≠A2B1 ______个交点 两条直线有 A1B2=A2B1 有无数个解 重合 ________个交点 B2C1=B1C2

一、选择题 1.直线 l1:( 2-1)x+y=2 与直线 l2:x+( 2+1)y=3 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.重合 2.经过直线 2x-y+4=0 与 x-y+5=0 的交点,且垂直于直线 x-2y=0 的直线的方 程是( ) A.2x+y-8=0 B.2x-y-8=0 C.2x+y+8=0 D.2x-y+8=0 3.直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10 和 2x-y=10 相交于一点,则 a 的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4. 两条直线 l1: 2x+3y-m=0 与 l2: x-my+12=0 的交点在 y 轴上, 那么 m 的值为( ) A.-24 B.6 C.± 6 D.以上答案均不对 5.已知直线 l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,l1∥l2,则 m 的值是( ) A.m=3 B.m=0 C.m=0 或 m=3 D.m=0 或 m=-1 6.直线 l 与两直线 y=1 和 x-y-7=0 分别交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点为 M(1, -1),则直线 l 的斜率为( ) 3 2 3 2 A. B. C.- D.- 2 3 2 3 二、填空题 7.若集合{(x,y)|x+y-2=0 且 x-2y+4=0}?{(x,y)|y=3x+b},则 b=________. 8.已知直线 l 过直线 l1:3x-5y-10=0 和 l2:x+y+1=0 的交点,且平行于 l3:x+ 2y-5=0,则直线 l 的方程是______________. 9.当 a 取不同实数时,直线(2+a)x+(a-1)y+3a=0 恒过一个定点,这个定点的坐标 为________.

三、解答题 10.求经过两直线 2x+y-8=0 与 x-2y+1=0 的交点,且在 y 轴上的截距为 x 轴上截 距的两倍的直线 l 的方程.

11.已知△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点分别是 D(-2,-3),E(3,1),F(-1,2).先 画出这个三角形,再求出三个顶点的坐标.

能力提升 12.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为 x-2y+1=0,∠A 的角平分线所在 直线的方程为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2),求点 A 和点 C 的坐标.

13.一束平行光线从原点 O(0,0)出发,经过直线 l:8x+6y=25 反射后通过点 P(-4,3), 求反射光线与直线 l 的交点坐标.

1.过定点(x0,y0)的直线系方程 y-y0=k(x-x0)是过定点(x0,y0)的直线系方程,但不含直线 x=x0;A(x-x0)+B(y-y0) =0 是过定点(x0,y0)的一切直线方程. 2.与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+D=0(D≠C).与 y=kx+b 平 行的直线系方程为 y=kx+m(m≠b). 3.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+ C2=0 交点的直线系方程是 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但此方程中不含 l2; 一般形式是 m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0), 是过 l1 与 l2 交点的所有直线 方程.

§ 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 答案
知识梳理 1.相交 (x0,y0) 2.无 1 无数 作业设计 1.A [化成斜截式方程,斜率相等,截距不等.] 2.A [首先解得交点坐标为(1,6),再根据垂直关系得斜率为-2,可得方程 y-6=- 2(x-1),即 2x+y-8=0.] ?4x+3y=10 ? 3.B [首先联立? ,解得交点坐标为(4,-2),代入方程 ax+2y+8=0 得 ? ?2x-y=10 a=-1.] m 12 4.C [2x+3y-m=0 在 y 轴上的截距为 ,直线 x-my+12=0 在 y 轴上的截距为 , 3 m 12 m 由 = 得 m=± 6.] m 3 5.D [l1∥l2,则 1· 3m=(m-2)· m2, 解得 m=0 或 m=-1 或 m=3. 又当 m=3 时,l1 与 l2 重合, 故 m=0 或 m=-1.] 6. D [设直线 l 与直线 y=1 的交点为 A(x1,1), 直线 l 与直线 x-y-7=0 的交点为 B(x2, 1+y2 y2),因为 M(1,-1)为 AB 的中点,所以-1= 即 y2=-3,代入直线 x-y-7=0 得 2 -3+1 2 x2=4,因为点 B,M 都在直线 l 上,所以 kl= =- .故选 D.] 3 4-1 7.2 ?x+y-2=0 ?x=0 ? ? 解析 首先解得方程组? 的解为? , ?x-2y+4=0 ?y=2 ? ? 代入直线 y=3x+b 得 b=2. 8.8x+16y+21=0 9.(-1,-2) 解析 直线方程可写成 a(x+y+3)+2x-y=0,则该直线系必过直线 x+y+3=0 与直 线 2x-y=0 的交点,即(-1,-2).

10.解 (1)2x+y-8=0 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4 和 8,符合题意. (2)当 l 的方程不是 2x+y-8=0 时, 设 l:(x-2y+1)+λ(2x+y-8)=0, 即(1+2λ)x+(λ-2)y+(1-8λ)=0. 据题意,1+2λ≠0,λ-2≠0. 1-8λ 1-8λ 令 x=0,得 y=- ;令 y=0,得 x=- . λ-2 1+2λ 1-8λ ?-1-8λ?解之得 λ=1,此时 y=2x. ∴- =2· ? 1+2λ? 8 3 λ-2 ? ? 2 ∴所求直线方程为 2x+y-8=0 或 y= x. 3 11.解

如图,过 D,E,F 分别作 EF,FD,DE 的平行线,作出这些平行线的交点,就是△ABC 的三个顶点 A,B,C. 由已知得,直线 DE 的斜率 1+3 4 4 kDE= = ,所以 kAB= . 5 5 3+2 因为直线 AB 过点 F,所以直线 AB 的方程为 4 y-2= (x+1),即 4x-5y+14=0.① 5 由于直线 AC 经过点 E(3,1),且平行于 DF, 同理可得直线 AC 的方程 5x-y-14=0.② 联立①,②,解得点 A 的坐标是(4,6). 同样,可以求得点 B,C 的坐标分别是(-6,-2),(2,-4). 因此,△ABC 的三个顶点是 A(4,6),B(-6,-2),C(2,-4). 12.解

如图所示, 由已知, A 应是 BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点. ?x-2y+1=0 ?y=0 ? ? 由? ,得? , ?y=0 ?x=-1 ? ? 故 A(-1,0). 又∠A 的角平分线为 x 轴, 故 kAC=-kAB=-1,(也可得 B 关于 y=0 的对称点(1,-2). ∴AC 方程为 y=-(x+1), 又 kBC=-2, ∴BC 的方程为 y-2=-2(x-1),

? ? ?y=-?x+1? ?x=5 由? ,得? , ?y-2=-2?x-1? ?y=-6 ? ? 故 C 点坐标为(5,-6). 13.解 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a,b),由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中 点在 l 上得 b ? 4? ·- =-1 ?a=4 a ? 3? ? ,解得? , a b ?b=3 ? 8× +6× =25 2 2

? ? ?

∴A 的坐标为(4,3). ∵反射光线的反向延长线过 A(4,3), 又由反射光线过 P(-4,3),两点纵坐标相等,故反射光线所在直线方程为 y=3. 7 ? ? ?x=8 ?y=3 由方程组? ,解得? , ?8x+6y=25 ? ?y=3 ? 7 ? ∴反射光线与直线 l 的交点坐标为? ?8,3?.

3. 3. 2

两点间的距离

【课时目标】 1.理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法.2.能熟练应用 两点间的距离公式解决有关问题,进一步体会解析法的思想.

1.若平面上两点 P1、P2 的坐标分别为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P1、P2 两点间的距离 公式为 |P1P2|=________________. 特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离为|OP|=________. 2.用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为: 第一步:________________________________________________. 第二步:________________________. 第三步:____________________________________.

一、选择题 1.已知点 A(-3,4)和 B(0,b),且|AB|=5,则 b 等于( ) A.0 或 8 B.0 或-8 C.0 或 6 D.0 或-6 2.以 A(1,5),B(5,1),C(-9,-9)为顶点的三角形是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.无法确定 3.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于( ) A.5 B.4 2 C.2 5 D.2 10 4.已知点 A(1,2),B(3,1),则到 A,B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( ) A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5

5.已知 A(-3,8),B(2,2),在 x 轴上有一点 M,使得|MA|+|MB|最短,则点 M 的坐标是 ) A.(-1,0) B.(1,0) 22 ? 22? ? C.? 5 ,0? D.? ?0, 5 ? 6.设 A,B 是 x 轴上两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y +1=0,则直线 PB 的方程为( ) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 ( 二、填空题 7.已知点 A(x,5)关于点 C(1,y)的对称点是 B(-2,-3),则点 P(x,y)到原点的距离是 ________. 8.点 M 到 x 轴和到点 N(-4,2)的距离都等于 10,则点 M 的坐标为______________. 9.等腰△ABC 的顶点是 A(3,0),底边长|BC|=4,BC 边的中点是 D(5,4),则此三角形的 腰长为________. 三、解答题 10.已知直线 l:y=-2x+6 和点 A(1,-1),过点 A 作直线 l1 与直线 l 相交于 B 点, 且|AB|=5,求直线 l1 的方程.

11.求证:三角形的中位线长度等于底边长度的一半.

能力提升 12.求函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值.

13.求证: x2+y2+ x2+?1-y?2+ ?1-x?2+y2+ ?1-x?2+?1-y?2≥2 2.

1.坐标平面内两点间的距离公式,是解析几何中的最基本最重要的公式之一,利用它 可以求平面上任意两个已知点间的距离. 反过来, 已知两点间的距离也可以根据条件求其中 一个点的坐标. 2.平面几何中与线段长有关的定理和重要结论,可以用解析法来证明.用解析法解题 时, 由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的, 但不同的平面直 角坐标系会使计算有繁简之分,因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”.

3. 3. 2

两点间的距离

答案

知识梳理 1. ?x2-x1?2+?y2-y1?2 x2+y2 2.建立坐标系,用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算结果“翻译” 成几何关系 作业设计 1.A [由 ?-3?2+?4-b?2=5,解得 b=0 或 8.] 2.B a b 3.C [设 A(a,0),B(0,b),则 =2, =-1, 2 2 解得 a=4,b=-2, ∴|AB|=2 5.] 4.B [设到 A、B 距离相等的点 P(x,y), 则由|PA|=|PB|得, 4x-2y=5.] 5.B

[(如图)A 关于 x 轴对称点为 A′(-3,-8), 则 A′B 与 x 轴的交点即为 M, 求得 M 坐标为(1,0).] 6.A [由已知得 A(-1,0),P(2,3),由|PA|=|PB|,得 B(5,0),由两点式得直线 PB 的方 程为 x+y-5=0.] 7. 17

解析

2 , ?1=x- 2 由题意知? 5-3 ?y= 2 ,

? ?x=4, 解得? ?y=1. ?

∴d= 42+12= 17. 8.(2,10)或(-10,10) 解析 设 M(x,y),则|y|= ?x+4?2+?y-2?2=10. ? ? ?x=2, ?x=-10, 解得? 或? . ?y=10 ?y=10 ? ? 9.2 6 解析 1 |BD|= |BC|=2, 2

|AD|= ?5-3?2+?4-0?2=2 5.在 Rt△ADB 中, 由勾股定理得腰长|AB|= 22+?2 5?2=2 6. 10.解 由于 B 在 l 上,可设 B 点坐标为(x0,-2x0+6). 由|AB|2=(x0-1)2+(-2x0+7)2=25, 化简得 x2 0-6x0+5=0,解得 x0=1 或 5. 当 x0=1 时,AB 方程为 x=1, 当 x0=5 时,AB 方程为 3x+4y+1=0. 综上,直线 l1 的方程为 x=1 或 3x+4y+1=0. 11.证明

如图所示,D,E 分别为边 AC 和 BC 的中点,以 A 为原点,边 AB 所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系. 设 A(0,0),B(c,0),C(m,n), 则|AB|=c, 又由中点坐标公式, m n? c+m n? , ,E? 可得 D? ? 2 2? ? 2 ,2?, c+m m c 所以|DE|= - = , 2 2 2 1 所以|DE|= |AB|. 2 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半. 12.解

原式可化为 y= ?x-4?2+?0-2?2 + ?x-0?2+?0-1?2. 考虑两点间的距离公式,如图所示, 令 A(4,2),B(0,1),P(x,0),

则上述问题可转化为:在 x 轴上求一点 P(x,0), 使得|PA|+|PB|最小. 作点 A(4,2)关于 x 轴的对称点 A′(4,-2), 由图可直观得出 |PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|, 故|PA|+|PB|的最小值为 A′B 的长度. 由两点间的距离公式可得|A′B|= 42+?-2-1?2=5, 所以函数 y= x2-8x+20+ x2+1的最小值为 5. 13.

证明 如图所示,设点 O(0,0),A(x,y),B(1,0),C(1,1),D(0,1),则原不等式左边=|OA| +|AD|+|AB|+|AC|, ∵|OA|+|AC|≥|OC|= 2,|AB|+|AD|≥|BD|= 2, ∴|OA|+|AD|+|AB|+|AC|≥2 2(当且仅当 A 是 OC 与 BD 的交点时等号成立), 故原不等 式成立.

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离
【课时目标】 1.会应用点到直线的距离公式求点到直线的距离.2.掌握两条平行直 线间的距离公式并会应用.3.能综合应用平行与垂直的关系解决有关距离问题.

定义

点到直线的距离 点到直线的垂 线段的长度

两条平行直线间的距离 夹在两条平行直 线间____________的长

图示

公式(或求法)

点 P(x0,y0)到直线 l:Ax+By+ C=0 的距离 d= ________________

两条平行直线 l1:Ax+By+C1 =0 与 l2:Ax+By+C2=0 之间 的距离 d= __________________

一、选择题 1.点(2,3)到直线 y=1 的距离为( ) A.1 B.-1 C.0 2.原点到直线 3x+4y-26=0 的距离是( 26 7 26 24 A. B. C. 7 5 5

D.2 ) 27 D. 5

3.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是原点,则|OP|的最小值是( ) A. 10 B.2 2 C. 6 D.2 4.P、Q 分别为 3x+4y-12=0 与 6x+8y+6=0 上任一点,则|PQ|的最小值为( ) 9 18 A. B. C.3 D.6 5 5 5.过点 P(0,1)且和 A(3,3),B(5,-1)距离相等的直线的方程是( ) A.y=1 B.2x+y-1=0 C.y=1 或 2x+y-1=0 D.2x+y-1=0 或 2x+y+1=0 6.两平行直线 l1,l2 分别过点 P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕 P、Q 旋转,但始终 保持平行,则 l1,l2 之间的距离的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.[0,5] C.(0,5] D.[0, 17] 二、填空题 7.过点 A(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为______________. 8.若直线 3x+4y+12=0 和 6x+8y-11=0 间的距离为一圆的直径,则此圆的面积为 ________. 9. 已知直线 3x+2y-3=0 和 6x+my+1=0 互相平行, 则它们之间的距离是________. 三、解答题 3 10.已知直线 l 经过点 P(-2,5),且斜率为- . 4 (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 m 与 l 平行,且点 P 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程.

11.△ABC 的三个顶点是 A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3). (1)求 BC 边的高所在直线方程; (2)求△ABC 的面积 S.

能力提升 12.如图,已知直线 l1:x+y-1=0,现将直线 l1 向上平移到直线 l2 的位置,若 l2、l1 和坐标轴围成的梯形面积为 4,求 l2 的方程.

13.已知正方形的中心为直线 2x-y+2=0,x+y+1=0 的交点,正方形一边所在的直 线方程为 x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.

1.在使用点到直线的距离公式时,应注意以下两点: (1)若方程不是一般式,需先化为一般式. (2)当点 P 在直线上时,公式仍成立,点 P 到直线的距离为 0. 2.在使用两平行线间的距离公式时,要先把直线方程化为一般式,且两直线方程中 x, y 的系数要化为分别相等的数. 3.注意数形结合思想的运用,将抽象的代数问题几何化,要能见“数”想“形”,以 “形”助“数”.

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 答案
知识梳理 公垂线段 |Ax0+By0+C| A +B
2 2

|C2-C1| A2+B2

作业设计 1.D [画图可得;也可用点到直线的距离公式.] 2.B 3.B [|OP|最小值即为 O 到直线 x+y-4=0 的距离, |-4| ∴d= =2 2.] 2 |3+12| 4.C [|PQ|的最小值即为两平行线间的距离,d= =3.] 5 5.C [①所求直线平行于 AB, ∵kAB=-2,∴其方程为 y=-2x+1,即 2x+y-1=0. ②所求直线过线段 AB 的中点 M(4,1), ∴所求直线方程为 y=1.] 6.C [当这两条直线 l1,l2 与直线 PQ 垂直时,d 达到最大值,此时 d= ?2+1?2+?-1-3?2=5. ∴0<d≤5.] 7.2x+y-5=0 解析

如图所示,只有当直线 l 与 OA 垂直时,原点到 l 的距离最大, 1 此时 kOA= ,∴kl=-2, 2 ∴方程为 y-1=-2(x-2), 即 2x+y-5=0. 49 8. π 16 7 13 9. 26 解析 直线 3x+2y-3=0 变为 6x+4y-6=0, |-6-1| 7 13 ∴m=4.由两条平行线间的距离公式得 d= 2 2= . 26 6 +4 10.解 (1)由点斜式方程得, 3 y-5=- (x+2), 4 ∴3x+4y-14=0. (2)设 m 的方程为 3x+4y+c=0, 则由平行线间的距离公式得, |c+14| =3,c=1 或-29. 5

∴3x+4y+1=0 或 3x+4y-29=0. 11.解 (1)设 BC 边的高所在直线为 l, 3-?-1? 由题知 kBC= =1, 2-?-2? -1 则 kl= =-1, kBC 又点 A(-1,4)在直线 l 上, 所以直线 l 的方程为 y-4=-1×(x+1), 即 x+y-3=0. (2)BC 所在直线方程为: y+1=1×(x+2),即 x-y+1=0, 点 A(-1,4)到 BC 的距离 |-1-4+1| d= 2 =2 2, 1 +?-1?2 又|BC|= ?-2-2?2+?-1-3?2=4 2 1 则 S△ABC= · |BC|· d 2 1 = ×4 2×2 2=8. 2 12.解 设 l2 的方程为 y=-x+b(b>1),则图中 A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b). ∴|AD|= 2,|BC|= 2b. 梯形的高 h 就是 A 点到直线 l2 的距离, |1+0-b| |b-1| b-1 2+ 2b b-1 故 h= = = (b>1),由梯形面积公式得 × =4, 2 2 2 2 2 ∴b2=9,b=± 3. 但 b>1,∴b=3. 从而得到直线 l2 的方程是 x+y-3=0. 13.解 设与直线 l:x+3y-5=0 平行的边的直线方程为 l1: x+3y+c=0. ? ?2x-y+2=0 由? 得正方形的中心坐标 P(-1,0), ?x+y+1=0 ? 由点 P 到两直线 l,l1 的距离相等, |-1-5| |-1+c| 则 2 2= 2 , 1 +3 1 +32 得 c=7 或 c=-5(舍去).∴l1:x+3y+7=0. 又∵正方形另两边所在直线与 l 垂直, ∴设另两边方程为 3x-y+a=0,3x-y+b=0. ∵正方形中心到四条边的距离相等, |-3+a| |-1-5| ∴ 2 2= 2 ,得 a=9 或-3, 3 +1 1 +32 ∴另两条边所在的直线方程为 3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴另三边所在的直线方程分别为 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

习题课

直线的位置关系与距离公式

【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式,能灵活应用它们解

决有关的综合问题.

1.

? |P P |= . ? 三个距 ?2?点P?x ,y ?到直线l:Ax+By+C=0 离公式? 的距离d= . ??3?平行线l :Ax+By+C =0与l :Ax+ ? By+C =0间的距离d= .
1 2 0 0 1 1 2 2

?1?两点P1?x1,y1?,P2?x2,y2?的距离

2.三种常见的对称问题 (1)点关于点的对称 点 P(x0,y0)关于点 M(a,b)的对称点为 P′________________. (2)点关于直线的对称 若 两 点 P1(x1 , y1) 与 P2(x2 , y2) 关 于 直 线 l : Ax + By + C = 0 对 称 , 则 由 方 程 组 x +x y +y ? ?A·1 2+B·1 2+C=0, 2 2 可得点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 A≠0, ? ? ? x1≠x2). (3)线关于点、线的对称 线是点构成的集合,直线的方程是直线上任一点 P(x,y)的坐标 x,y 满足的表达式,故 求直线关于点、线的对称,可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称.

一、选择题 1.点(3,9)关于直线 x+3y-10=0 的对称点为( ) A.(-13,1) B.(-2,-6) C.(-1,-3) D.(17,-9) 2.和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( ) A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0 3.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是( ) A.(5,-3) B.(9,0) C.(-3,5) D.(-5,3) 4.过点(1,3)且与原点的距离为 1 的直线共有( ) A.3 条 B.2 条 C.1 条 D .0 条 5. 若点(5, b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间, 则整数 b 的值为( A.5 B.-5 C.4 D.-4 6.已知实数 x,y 满足 5x+12y=60,则 x2+y2-2x-4y+5的最小值是( ) 31 89 A. B. C.13 D.不存在 13 13

)

二、填空题 7.点 A(4,5)关于直线 l 的对称点为 B(-2,7),则 l 的方程为________________. 8.如图所示,已知△ABC 的顶点是 A(-1,-1),B(3,1),C(1,6),直线 l 平行于 AB, 1 且分别交 AC、BC 于 E、F,△CEF 的面积是△CAB 面积的 ,则直线 l 的方程为________. 4

9.设点 A(-3,5)和 B(2,15),在直线 l:3x-4y+4=0 上找一点 P,使|PA|+|PB|为最小, 则这个最小值为________. 三、解答题 10.一条直线被直线 l1:4x+y+6=0 和 l2:3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好是坐 标原点,求这条直线的方程.

11.已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线 l′的方程. (1)l′与 l 平行且过点(-1,3); (2)l′与 l 垂直且 l′与两坐标轴围成的三角形面积为 4; (3)l′是 l 绕原点旋转 180° 而得到的直线.

能力提升 12.直线 2x-y-4=0 上有一点 P,求它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大 值.

13.已知 M(1,0)、N(-1,0),点 P 为直线 2x-y-1=0 上的动点,求|PM|2+|PN|2 的最小 值及取最小值时点 P 的坐标.

1. 在平面解析几何中, 用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件, 把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解. 2.关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点 的连线与已知直线垂直,“平分”是指:两对称点连成线段的中点在已知直线上,可通过这 两个条件列方程组求解. 3.涉及直线斜率问题时,应从斜率存在与不存在两方面考虑,防止漏掉情况.

习题课
知识梳理

直线的位置关系与距离公式
|Ax0+By0+C| (2) A2+B2

答案

1.(1) ?x2-x1?2+?y2-y1?2 (3) |C2-C1| A2+B2

y1-y2 B 2.(1)(2a-x0,2b-y0) (2) = x1-x2 A 作业设计 1.C [设对称点为(x0,y0), y -9 ? ?x -3=3, 则由? x +3 y +9 ? 2 +3· 2 -10=0, ?
0 0 0 0

?x0=-1, ? 得? ] ?y0=-3. ?

2.B

5 - ,0?,由对称直线的特征知,所求直线斜 [直线 3x-4y+5=0 与 x 轴交点为? ? 3 ?

3 率为 k=- . 4 5 3 x+ ?,即 3x+4y+5=0.] ∴y=- ? 4? 3? 3.A [当 PQ 与已知直线垂直时,垂足 Q 即为所求.] 4.B [当直线斜率不存在时,直线方程为 x=1,原点到直线距离为 1,满足题意.当 |3-k| 直线斜率存在时,设直线方程为 y-3=k(x-1)即 kx-y+3-k=0.由已知 2 =1,解得 k +1 4 k= ,满足题意.故共存在 2 条直线.] 3 31 5.C [把 x=5 代入 6x-8y+1=0 得 y= , 8 31 把 x=5 代入 3x-4y+5=0 得 y=5,∴ <b<5. 8

又∵b 为整数,∴b=4.] 6.A [ x2+y2-2x-4y+5= ?x-1?2+?y-2?2, 它表示点(x,y)与(1,2)之间的距离, 两点距离的最小值即为点(1,2)到直线 5x+12y=60 的距离, |1×5+2×12-60| 31 ∴d= = .] 13 13 7.3x-y+3=0 8.x-2y+5=0 1 解析 由已知,直线 AB 的斜率 k= , 2 1 ∵EF∥AB,∴直线 EF 的斜率为 k= . 2 1 ∵△CEF 的面积是△CAB 面积的 , 4 ∴E 是 CA 的中点, 5? 5 1 ∴点 E 的坐标? ?0,2?,直线 EF 的方程是 y-2=2x,即 x-2y+5=0. 9.5 13 解析 设点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为(a, b), 则由 AA′⊥l 且 AA′被 l 平分, b-5 3 ? ?a+3×4=-1, 得? a-3 b+5 ?3× 2 -4× 2 +4=0. ? 解之得 a=3,b=-3.∴点 A′的坐标为(3,-3), ∴(|PA|+|PB|)min=|A′B|= ?3-2?2+?-3-15?2=5 13. 10.解 设所求直线与直线 l1 交于 A(x0,y0),它关于原点的对称点为 B(-x0,-y0), 且 B 在直线 l2 上, ? ?4x0+y0+6=0, 由? ?-3x0+5y0-6=0, ?

?x =-23, 解得? 6 ?y =23,
0 0

36

6 23 1 ∴所求直线方程为 y= x=- x, 36 6 - 23 即 x+6y=0. 3 (1)直线 l:3x+4y-12=0,kl=- , 4 3 又∵l′∥l,∴kl′=kl=- . 4 3 ∴直线 l′:y=- (x+1)+3,即 3x+4y-9=0. 4 4 (2)∵l′⊥l,∴kl′= . 3 4 设 l′与 x 轴截距为 b,则 l′与 y 轴截距为- b, 3 1 ? 4 ? - b =4, 由题意可知,S= |b|· 2 ? 3 ? 11.解

∴b=± 6. 4 4 ∴直线 l′:y= (x+ 6)或 y= (x- 6). 3 3 (3)∵l′是 l 绕原点旋转 180° 而得到的直线, ∴l′与 l 关于原点对称. 任取点(x0,y0)在 l 上,则在 l′上对称点为(x,y). x=-x0,y=-y0,则-3x-4y-12=0. ∴l′为 3x+4y+12=0. 12.解 找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点.设 A′(a, b+1 ? ?a-4×2=-1 b),则? 4+a b-1 ?2× 2 - 2 -4=0 ?



? ?a=0 解得? ,所以|A′B|= ?4-1?2+?3-0?2=3 2. ?b=1 ? 13.解 ∵P 为直线 2x-y-1=0 上的点, ∴可设 P 的坐标为(m,2m-1),由两点的距离公式得 |PM|2+|PN|2=(m-1)2+(2m-1)2+(m+1)2+(2m-1)2=10m2-8m+4.(m∈R) 2 12 12 m- ?2+ ≥ , 令 f(m)=10m2-8m+4=10? 5 ? ? 5 5 2 1? 2 2 2 ∴当 m= 时,|PM| +|PN| 取最小值,此时 P? ?5,-5?. 5


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