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高一数学必修一讲义之1.3函数的基本性质

时间:2018-07-01


1.3 函数的基本性质

一、一周知识概述 函数的单调性、奇偶性是函数的两个基本性质,也是本周学习的重点内容,通过学习, 同学们要掌握这些概念的形成过程,同时还要学会判断一些函数的单调性、奇偶性,用函 数的单调性求一些函数的最大(小)值。另外,同学们还要学会对函数图象的分析,通过 观察,可以解决有关函数的单调性,奇偶性和最值等问题。信息技术的使用也是一个重点, 那样可以使书与形的结合表现得更加自然。 二、重难点知识归纳 1、函数的单调性 (1)定义: 设函数 y=f(x)的定义域为 A :区间 ,

如果对于区间 I 上的任意两个自变量的值

,当

时,都有___________,

那么就说 f(x)在区间 I 上是增函数(increasing function). 区间 I 称为 y=f(x)的单调 增区间;

如果对于区间 I 上的任意两个自变量的值

,当

时,都有____________,

那么就说 f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function). 区间 I 称为 y=f(x)的单调 减区间. 函数是增函数还是减函数.是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是 增函数,而在另一些区间上可能是减函数,因此函数的单调性是函数的局部性质. (2)图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具 有(严格的)单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是_________, 减函数的图象从左 到右是___________. (3)判定方法 ①定义法:

1)取值:对任意

,且



2)作差:



3)变形:把差化为乘积或平方和的形式 4)判定差的正负; 5)根据判定的结果作出相应的结论.

如果

>0,那么___________________________

如果 ②图象法 2、函数的最值

<0,那么___________________________

(1)定义:一般地,设

,如果存在实数 M 满足:

①对于任意的

,都有

②存在

,使得

那么,我们称 M 是函数

的__________(maximum value).

同理,设

,若存在实数 M 满足:

①对于任意的

,都有

②存在

,使得

我们称 M 是函数 (2)注意:

的__________(minimum value).

①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在

,使得



②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 . (3)求函数最值的常用方法有:

,都有

①配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取 值范围确定函数的最值. ②换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. ③数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值 3、函数奇偶性 (1)定义: 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 ,都有____________,那么函数 f(x)就叫做偶 函数(even function). 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有_____________,那么函数 f(x)就叫做 奇函数(odd function). 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性. 奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数. (2)图象特点: 偶函数关于________对称 奇函数关于________对称 (3)判定方法 函数定义域关于_________对称是函数具有奇偶性的必要条件 首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数.

若对称, ①再根据定义判定;

②有时判定 来判定;

比较困难,可考虑根据是否有



③利用定理或借助函数图象判定. 三、典型例题解析 例 1、若函数 f(x)=ax +2(a-1)x+b 在区间(-∞,4)上是减函数,那么实数 a 的取值
2

范围是( )

A.[0,+∞)

B.{ }

C.(0,

]

D.[0, ]

例 2、若 y=f(x) A.(a, -f(a)) C.(-a, -f(-a))

是奇函数,则下列坐标表示的点一定在 y=f(x)图象上的是( B.(-a, -f(a)) D.(a, f(-a ))



例 3、某商品在最近 30 天内的价格 f(t)与时间 t(单位:天)的函数关系是 f(t)=t+10 (0<t≤30,t∈N),销售量 g(t)与时间 t 的函数关系是 g(t)=-t+35(0<t≤30,t∈N), 则这种商品的日销售金额的最大值是______________.

例 4、已知函数

.

(1)用定义证明该函数在 (2)判断该函数的奇偶性.

上是减函数;

例 5、已知函数 (1)求函数 f(x)的解析式;

是奇函数,且

.

(2)判断函数 f(x)在(0,1]上的单调性,并加以证明.


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