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高中数学奥林匹克竞赛训练题(25)

时间:2012-04-07


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数学奥林匹克高中训练题(25)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题30)设 A = {1, 2} ,则从 A 到 A 的映射中,满足 f [ f ( x )] = f ( x ) 的个数是(C). (A) 1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个

2.(训练题30)在顶点为 (1997, 0) , (0,1997) , ( ?1997, 0) , (0, ?1997) 的正方形 R (包括 边界)中,整点的个数为(B) 个. (A)7980011 (B)7980013

(C)7980015

(D)7980017

3.(训练题30)设 M = {( x, y ) | xy = 1, x > 0}, N = {( x, y ) | arctan x + arc cot y = π } ,那么 (B). (A) M U N = {( x, y ) | xy = 1} (C) (D) M U N = {( x, y ) | xy = 1且x, y不同时为负数} 4.(训练题30)在四面体 ABCD 中,面 ABC 及 BCD 都是边长为 2a 的等边三角形,且 (B) M U N = M

M UN = N

AD = 2 2a, M , N 分别为棱 AB, CD 的中点,则 M 与 N 在四面体上的最短距离为(A).
(A) 2a (B)

3 a 2

(C) a

(D)

5 a 2

5.(训练题30)已知三个三角形 ?, ?1 , ? 2 的周长分别为 p, p1 , p2 .若 ? ? ?1 ? ? 2 ,且较小的 两个三角形 ?1 和 ? 2 可以互不重叠地放入大三角形 ? 的内部,则 p1 + p2 的最大值是(B). (A) p (B) 2 p (C) 3 p (D) 2 p

6.(训练题30)以正 n 边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于(D). (A) [

n2 ] 10

(B) [

n2 ] 11

(C) [

n2 ] 12

(D)非上述答

案 二、填空题(本题满分42分,每小题7分) 1.(训练题30)设 p, q ∈ N ,且 1 ≤ p < q ≤ n ,其中 n 是不小于3的自然数,则形如

p 的全体 q

分数之和为

1 n(n ? 1) 4



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2.(训练题30)在 ?ABC 中,已知三个角 A, B, C 成等差数列.若其对边分别为 a, b, c ,并且

c ? a 等于 AC 边上的高 h ,则 sin

C?A = 2

1 2



3.(训练题30)若 2 f (1 ? x ) + 1 = xf ( x ) ,则 f ( x ) =

x?3 x ?x+4
2



4.(训练题30)在 ?ABC 中, D 在 BC 上, BD : DC = 3 : 2 , E 在 AD 上, AE : ED = 5 : 6 , 延长 BE 交 AC 于 F ,则 BE : EF =

9:2


2

5 . ( 训 练 题 30) 数 列 {an } 满 足 a1 = p, an +1 = an + 2an , 则 通 项 an =

( p + 1)2 ? 1

n?1



6.(训练题30)已知集合 A = {1, 2,3, 4,5, 6}, B = {6, 7,8,9} ,从 A 中选3个元素, B 中选2个 元素,能够组成 90 个有5个元素的新集合.

三、(训练题30)(本题满分23分)已知 M 是抛物线 y 2 = 2 px 的动弦 AB 上的点, O 为坐标原 点, OA ⊥ OB, OM ⊥ AB ,求点 M 的轨迹方程. ( x ? p ) 2 + y 2 = p 2 ( x ≠ 0) 四、(训练题30)(本题满分24分)黑板上写着11和13这两个数,现在从事如下操作:(1)将某 个数重写一遍;(2)将两数相加,写上和数.试证明:①119这个数永远不会出现在黑板上; ②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现. 五 、 ( 训 练 题 30)( 本 题 满 分 25 分 ) 已 知 m ≥ 0, f (x) = x2 + mx + m +1 , 求 证 : 对 一 切

x1 , x2 ,L, xn ∈ R+ . 均 有 f ( n x1 x2 L xn ) ≤

n

f ( x1 ) f ( x2 )L f ( xn ) 等 号 当 且 仅 当

x1 = x2 = L = xn 时成立.

第二试
一、(训练题30)(本题满分50分)已知 ?ABCD 为任意凸四边形,分别以 AD, BC 为边在四边 形外作正 ?ADH 和正 ?BCF ;以 AB, CD 为底边在四边形作顶角为120 的等腰三角形
0

?ABE 和 ?CDG .求证: FH ⊥ EG ,且 FH = 3EG .
二、(训练题30)(本题满分50分) 若干个同学参加数学竞赛,其中任何 m( m ≥ 3) 个同学都有

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唯一的公共朋友(当甲是乙的朋友时,乙也是甲的朋友) ,问有多少同学参加数学竞赛. 三、(训练题30)(本题满分50分) α 是个循环小数, f k ( m) 表示 α 的小数点后第 k 位开始,连 续 m 位上的数字之积,证明存在自然数 p, q ,对任意的 s, t 均有 [ f p ( s )] = [ f q (t )] .
1 s 1 t

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