nbhkdz.com冰点文库

人教版高数必修五第13讲:均值不等式(学生版)

时间:2018-04-25


均值不等式

__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

教学重点: 掌握均值不等式的证明及应用,会用均值不等式求函数的最大值或最小值; 教学难点: 利用均值不等式的证明。

1. 算术平均值与几何平均值 (1) 算术平均值:对任意两个正实数 a , b ,数 叫做 a , b 的算术平均值 ___________ (2) 几何平均值:对任意两个正实数 a , b ,数__________叫做 a , b 的几何平均值 2. 均值定理 如果 a , b ? R ,那么 ,当且仅当__________时,等号成立 ____________ 3. 均值不等式的常见变形
? (1) a ? b ? 2 ab a, b ? R

?

?

?

(2) ab ? ? (3)

? a?b ? ? ? a, b ? R ? ? 2 ?

2

b a ? ? 2 ( a , b 同号且不为 0) a b 2 (4) ? ab a, b ? R ? 1 1 ? a b

?

?

1

类型一: 均值不等式的理解 例1. 设 a ? 0, b ? 0 ,则下列不等式不成立的是() B. a 4 ? b4 ? 2a 2b2

A.

b a ? ?2 a b

C.

b2 a 2 ? ? a?b a b
1 1 2 C. + > a b ab ) a+b C.a< ab<b< 2

D. )

1 1 2 ? ? 2? a b a ?b

练习 1. 若 a、b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 ab

b a D. + ≥2 a b

练习 2. 设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 B.a< ab< a+b <b 2

a+b D. ab<a< <b 2

类型二: 均值不等式与最值 例 2. 若正数 x、y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 28 B. 5 C.5 D.6 )

)

练习 3. 设 x、y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值为( A.10 B.6 3 C.4 6 D.18 3

练习 4. 已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10 则 a5a16 的最大值为( A.100 B.75 C.50 D.25

)

类型三: 利用均值不等式证明不等式及应用 例 3. 已知 a、b、c∈R,求证: a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c). 2 练习 5. 已知 a、b 是正数,试比较 与 ab的大小. 1 1 + a b 1 1 练习 6.若 x>0,y>0,x+y=1,求证:(1+ )· (1+ )≥9.. x y 例 4. 在面积为 S(S 为定值)的扇形中,当扇形中心角为 θ,半径为 r 时,扇形周长最小,这时 θ、r 的值分别是( A.θ=1,r= S ) 4 B.θ=2,r= S 3 C.θ=2,r= S D.θ=2,r= S

练习 7. 设计用 32m2 的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通规定车厢宽为 2m,则车厢的最大容 积是( )
2

A.(38-3 73)m3

B.16m3

C.4 2m3

D.14m3

练习 8. 将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,每涨价 1 元,其销售量就 减少 20 个,为获得最大利润,售价应定在( A.每个 95 元 B.每个 100 元 ) C.每个 105 元 D.每个 110 元

1. 若 x>0,y>0,且 x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( A. 1 1 ≤ x+y 4 1 1 B. + ≥1 x y C. xy≥2 )

)

1 D. ≥1 xy

2. 已知 m、n∈R,m2+n2=100,则 mn 的最大值是( A.100 B.50 C.20

D.10 ) 1 1 D. 2 2≤ a +b 8 ) 4 D. 3

3. 若 a>0,b>0 且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是( 1 1 A. > ab 2 1 1 B. + ≤1 a b C. ab≥2

4. 实数 x、y 满足 x+2y=4,则 3x+9y 的最小值为( A.18 B.12 C.2 3 )

5.设 x+3y-2=0,则 3x+27y+1 的最小值为( A.7 3 B.3 9

C.1+2 2 )

D.5

1 1 6. 设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( a b A.8 B.4 C.1

1 D. 4

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

基础巩固 1. 若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是( A.a2+b2 B.2 ab ) C.[-2,+∞)
3

) D.a+b

C.2ab

2. 若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] B.[-2,0]

D.(-∞,-2]

x y + 3. 已知 x、y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 4. 已知 a、b 为实常数,函数 y=(x-a)2+(x-b)2 的最小值为__________ 5. a、b、c 是互不相等的正数,且 a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是( A.a>b>c B.c>a> b C.b>a>c D.a>c>b ) )

6. 设{an}是正数等差数列,{bn}是正数等比数列,且 a1=b1,a21=b21,则( A.a11=b11 B.a11>b11 C.a11<b11 ) D.18 D.a11≥b11

7. 已知 a>1,b>1,且 lga+lgb=6,则 lga· lgb 的最大值为( A.6 B.9 C.12

8. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 x 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小, 8 每批应生产产品( A.60 件 ) B.80 件 C.100 件 D.120 件

2 3 9. 已知 + =2(x>0,y>0),则 xy 的最小值是________. x y 10. 若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 11. 做一个面积为 1 m2,形状为直角三角形的铁架框,在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又 浪费最少)的是( A.4.6 m ) B.4.8 m C.5 m D.5.2 m

12. 光线透过一块玻璃,其强度要减弱

1 1 .要使光线的强度减弱到原来的 以下,至少需这样的玻璃 10 3

板________块.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771) 1 13. 一个矩形的周长为 l,面积为 S,给出下列实数对:①(4,1);②(8,6);③(10,8);④(3, ).其中 2 可作为(l,S)的取值的实数对的序号是________. a b `14. 已知正常数 a、b 和正实数 x、y,满足 a+b=10, + =1,x+y 的最小值为 18,求 a、b 的 x y 值.

能力提升 1 1 15. 已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 B.2 2 C.4 ) C.是增函数
4

) D.2 3

1 16. 设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)( x A.有最大值 B.有最小值

D.是减函数

?a+b?2 17. 已知 x>0,y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等比数列,则 的最小值是( cd A.0 B.1 C.2 D.4

)

18. 若 a、b、c、d、x、y 是正实数,且 P= ab+ cd,Q= ax+cy· A.P=Q B.P≥Q ) C.最大值 1 ) x+y C.x< <2xy<y 2 C.P≤Q

b d + ,则有( x y D.P>Q

)

x2-4x+5 5 19. 已知 x≥ ,则 f(x)= 有( 2 2x-4 5 A.最大值 4 5 B.最小值 4

D.最小值 1

20. 已知 y>x>0,且 x+y=1,那么( x+y A.x< <y<2xy 2

x+y B.2xy<x< <y 2

x+y D.x<2xy< <y 2

21. 设 a、b 是正实数,给出以下不等式: 2ab 2 ① ab> ;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2;④ab+ >2,其中恒成立的序号为( ab a+b A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ ) )

1 ?? 12-1?的最小值为( 2-1 22. 已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则? a ? ??b ? A.6 B.7 C.8 D.9

1 1 23.若直线 2ax-by+2=0(a>0, b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4, 则 + 的最小值为 a b ( 1 A. 4 ) 1 B. 2 C.2 D.4 )

24. 当 x>1 时,不等式 x+ A.(-∞,2]

1 ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( x-1 C.[3,+∞) )

B.[2,+∞)

D.(-∞,3]

1 4 25. 已知正数 x、y 满足 + =1,则 xy 有( x y 1 A.最小值 16 B.最大值 16

C.最小值 16

1 D.最大值 16

26. 若正实数 x、y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________ x1+x2 1 + + 27. 已知函数 f(x)=lgx(x∈R ),若 x1、x2∈R ,判断 [f(x1)+f(x2)]与 f( )的大小并加以证明. 2 2 a2 b2 c2 + 28. 已知 a、b、c∈R ,求证: + + ≥a+b+C b c a 3 29.求函数 y=1-2x- 的值域. x
5

30. 某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁 栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元.试求: (1)仓库面积 S 的取值范围是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?

31. 某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用为 12 万元, 以后每年增加 4 万元, 每年捕鱼收益 50 万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船;②总纯收入获利 最大时,以 8 万元出售该渔船.问哪种方案最合算?

课程顾问签字:

教学主管签字:

6


人教版高数必修五第13讲:均值不等式(学生版).doc

人教版高数必修五第13讲:均值不等式(学生版)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 人教版高数必修五第13讲:均值不等式(学生版)_...

人教版高数必修五第13讲:均值不等式(教师版).doc

人教版高数必修五第13讲:均值不等式(教师版)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 人教版高数必修五第13讲:均值不等式(教师版)_...

人教版高数必修五第10讲:不等关系与不等式(学生版).doc

人教版高数必修五第10讲:不等关系与不等式(学生版)_数学_高中教育_教育专区。...13. 已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( A.a2<b2 B....

数学:《均值不等式》(人教a版必修五)_图文.ppt

数学:均值不等式(人教a版必修五) - 3.2 均值不等式 寿光一中:张凤贵

数学:《均值不等式》(人教a版必修五)_图文.ppt

数学:均值不等式(人教a版必修五) - 3.2 均值不等式 寿光一中:张凤贵

数学:《均值不等式》(人教a版必修五)_图文.ppt

数学:均值不等式(人教a版必修五)_其它课程_初中教育_教育专区。数学:均值不等式(人教a版必修五) 3.2 均值不等式 寿光一中:张凤贵 新课讲授: 1.一...

数学:《均值不等式》(人教a版必修五)_图文.ppt

数学:均值不等式(人教a版必修五) - 3.2 均值不等式 寿光一中:张凤贵

数学:《均值不等式》(人教a版必修五)_图文.ppt

数学:均值不等式(人教a版必修五)_其它课程_高中教育_教育专区。数学:均值不等式(人教a版必修五) 3.2 均值不等式 寿光一中:张凤贵 新课讲授: 1.一...

高中数学必修五 均值不等式.doc

高中数学必修五 均值不等式_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五 ...高中数学 必修二 人教版... 暂无评价 38页 2.00 高中数学必修4_第三...

高中数学必修5 均值不等式.doc

高中数学必修5 均值不等式_高二数学_数学_高中教育_教育专区。均值不等式复习(学案)基础知识回顾 1.均值不等式: ab≤ a+b 2 (1)均值不等式成立的条件:___....

高中数学 均值不等式课件 新人教A版必修5_图文.ppt

高中数学 均值不等式课件 新人教A版必修5 - 算术平均数 与 几何平均数 新课

高中数学必修五均值不等式拔高训练题.doc

高中数学必修五均值不等式拔高训练题_数学_高中教育_教育专区。均值不等式专项...新课标人教A版高中数学必... 8页 5下载券 高中数学必修5第三章不等... ...

人教版高数必修五第10讲:不等关系与不等式(教师版).doc

人教版高数必修五第10讲:不等关系与不等式(教师版)_数学_高中教育_教育专区。...答案:C 13. 已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( A.a2<...

高中数学《3.2均值不等式(1)》学案新人教版必修5.doc

高中数学《3.2均值不等式(1)》学案新人教版必修5 - §3.2 【学习目标】 1.掌握均值定理的内容及推导; 均值不等式(一) 2.掌握均值不等式的变形,能应用不...

数学:《均值不等式》课件(2)(人教a版必修5)_图文.ppt

数学:《均值不等式》课件(2)(人教a版必修5) - 3.2 均值不等式 (2)

2015年人教B版高中数学必修五第三章不等式:均值不等式_....ppt

2015年人教B版高中数学必修五第三章不等式:均值不等式_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学 人教B版 必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 成才之路...

高中数学人教B版必修五课件:3.2 均值不等式(二)_图文.ppt

高中数学人教B版必修五课件:3.2 均值不等式(二)_数学_高中教育_教育专区。第三章 3.2 均值不等式 (二) [学习目标] 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用...

最新人教版高中数学必修5第三章《均值不等式》例题与探究.doc

最新人教版高中数学必修5第三章《均值不等式》例题与探究 - 典题精讲 例 1 已

高中数学必修五《均值不等式》教案.doc

高中数学必修五均值不等式》教案_数学_高中教育_教育专区。基本不等式 第二课时

数学:第三章《均值不等式及其应用(第2课时)》课件(新人教A版必修5).ppt

数学:第三章《均值不等式及其应用(第2课时)》课件(新人教A版必修5) - a